河北師大近世代數(shù)課件 第2講--3-7節(jié)代數(shù)運(yùn)算與三種運(yùn)算律-一一映射 (3)

1、 第10節(jié) 等價關(guān)系與集合分類第第4講講, 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2, 3, 4,Z, 34, 24, 14,43210ZqqnZnAZqqnZnAZqqnZnAZqqnZnA例例1 1 設(shè)整數(shù)集設(shè)整數(shù)集) 3 , 2 , 1 , 0( iAiZ可知，可知，是整數(shù)集是整數(shù)集的一些子集的一些子集，并具有，并具有以下特征：以下特征：) 3 , 2 , 1 , 0( iAijiAAji303210iiAAAAAZ（1） （2） （3）這三條性質(zhì)說明，整數(shù)集恰好被分成一些（四個）兩兩不相交的非空子集的并，這里的每個子集恰好由除以4余數(shù)相同的整數(shù)組成。Zm一般的，任取一個正整數(shù)一

2、般的，任取一個正整數(shù)，都能將，都能將成成m個兩兩不相交的非空子集的并，個兩兩不相交的非空子集的并，使得每個使得每個子集恰好是由除以子集恰好是由除以余數(shù)相同余數(shù)相同的整數(shù)組成的。的整數(shù)組成的。m則被則被分解成偶數(shù)子集和分解成偶數(shù)子集和特別地，取特別地，取2,m Z奇數(shù)子集的并。奇數(shù)子集的并。分解分解021222()( )()0()( )()1()( )()2ijijijijijijAaMRaAaMRaAaMRa秩秩秩 2( )(); ,1,2ijijMRaaR i j設(shè)設(shè)R是是矩陣組成的集合，令矩陣組成的集合，令)(2RM易知，易知，的這三個子集滿足以下特征：的這三個子集滿足以下特征： ) 2

3、, 1 , 0( iAijiAAji202102)(iiAAAARM（1） （2）（3）上一切二階上一切二階說明：說明：二階矩陣集恰好被分成三個兩兩不相交的非空子集二階矩陣集恰好被分成三個兩兩不相交的非空子集并，而每個子集恰好是由秩相同的二階方陣組成的。并，而每個子集恰好是由秩相同的二階方陣組成的。,iAA iI iAiI ，,ijAAi jIij 對且IiiAAAA設(shè)設(shè)為任一個集合，而為任一個集合，而是是的一些的一些I其中其中是指標(biāo)集，如果是指標(biāo)集，如果（2 2）（3 3）A則稱則稱是是的一個分類的一個分類, ,而而中每個元素中每個元素iAA都叫做都叫做在在下的一個類下的一個類. .的一些子

4、集組成的集合，的一些子集組成的集合，（1 1）Z10123,A A A A 例例1 1中，中，的分類的分類使在同一類里的整數(shù)除以使在同一類里的整數(shù)除以4 4之后余數(shù)都相同，而之后余數(shù)都相同，而分在不同類里的整數(shù)除以分在不同類里的整數(shù)除以4 4后，得到的余后，得到的余數(shù)也必然不同數(shù)也必然不同. .之下，同一類的二階方陣秩數(shù)都相同，而分在不之下，同一類的二階方陣秩數(shù)都相同，而分在不同類里的二階方陣，其秩數(shù)不然不同同類里的二階方陣，其秩數(shù)不然不同. .)(2RM2012,AAA 在分類在分類例例2中，中，注意注意：可以看出，對每一個確定的分類來說，：可以看出，對每一個確定的分類來說，凡是分在同一類里

5、的元素都具有某種共同的性質(zhì)，凡是分在同一類里的元素都具有某種共同的性質(zhì)，而分在不同類的元素所具有的這種性質(zhì)也必不同。而分在不同類的元素所具有的這種性質(zhì)也必不同。 “同類元素都具有某種關(guān)系，不同類的元素一定沒有這種關(guān)系”這種看法所指的“某種關(guān)系”完全由具體的集合、具體的分類所內(nèi)定的，決不會千篇一律地都是“差被4整除”這種關(guān)系，比如例2. 但不管上述談到的“某種關(guān)系”具體怎樣，一般來說，集合的任何一個分類都是利用元素間的“某種關(guān)系”而得到的. 這就是下面要討論的問題:定義定義 設(shè)設(shè)A為集合，為集合，D 對，錯對，錯 ，那么，那么Aba,由上述定義知，由上述定義知，中任一對元中任一對元，都可以，都可

6、以判定是否符合這個關(guān)系判定是否符合這個關(guān)系. .ARDAA到到的每個映射的每個映射就叫做就叫做的一個的一個關(guān)系（也稱為二元關(guān)系）關(guān)系（也稱為二元關(guān)系）. 若若對),( :baRab，就稱，就稱與與 符合關(guān)系符合關(guān)系錯),( :baR若若ab，就稱，就稱與與不符合關(guān)系，記為不符合關(guān)系，記為.aRbaRb，記為，記為；在在Z中，定義中，定義1:( , ),( , ),Ra baba bab對 若錯 若2: (,),(,),Ra ba ba ba b對 若錯 若3: ( , ),( , )1)( , ),( ,b)1)Ra baba ba baba對 若 與 不互素 即錯 若 與 互素 即 “大于大

7、于”關(guān)系關(guān)系 “整除整除”關(guān)系關(guān)系 “不互素不互素”關(guān)系關(guān)系 4:( , ),( , ),4Ra baba bab對 若4|錯 若:( , ),( , ),Ra baba bab對 若秩秩錯 若秩秩)(2RM在在中，定義中，定義R（實(shí)際上，（實(shí)際上，就是例就是例2中的中的“秩相等秩相等”的關(guān)系）的關(guān)系）設(shè)設(shè)M是整數(shù)集，規(guī)定是整數(shù)集，規(guī)定0aaRbb 不是整數(shù)集的關(guān)系不是整數(shù)集的關(guān)系.RA上述的例子分析可知：不是用上述的例子分析可知：不是用一個二元關(guān)系都能給一個二元關(guān)系都能給確定一個分類；確定一個分類；是需要具有特殊性質(zhì)才行是需要具有特殊性質(zhì)才行. 的任何的任何A也就是說，能夠給集合也就是說，能

8、夠給集合確定分類的二元關(guān)系確定分類的二元關(guān)系為此，我們必須研究下列特殊的二元關(guān)系為此，我們必須研究下列特殊的二元關(guān)系:, .aA aa ,Acba如果具有以下三種性質(zhì)：如果具有以下三種性質(zhì)：2.2.對稱律（對稱性）：對稱律（對稱性）：3.3.推移律（傳遞性）：推移律（傳遞性）：時，習(xí)慣稱時，習(xí)慣稱A設(shè)是集合設(shè)是集合上的二元關(guān)系，上的二元關(guān)系，1 1. .反射律（反身性）：反射律（反身性）：,Aba當(dāng)當(dāng)時必有時必有ab .ba當(dāng)當(dāng)時必有時必有ab且且bc .ac那么關(guān)系叫做那么關(guān)系叫做aba與與b等價等價.A上的上的等價關(guān)系等價關(guān)系.并且當(dāng)并且當(dāng)定理1：集合A的每個分類都決定了A的一個等價關(guān)系.

9、abab 與與IiAAiA證明：設(shè)證明：設(shè)是是的一個分類，用的一個分類，用規(guī)定規(guī)定上一個二元關(guān)系：上一個二元關(guān)系：顯然是顯然是的一個關(guān)系，須證是等價關(guān)系的一個關(guān)系，須證是等價關(guān)系. .AA,iiaAiIaAaaAaa 有有使使故故 與與 同同在在中中反身性：反身性：,Aba 則 與 在 中ibaAba2.2.對稱性：對稱性：若若 ,則存在某個使同屬于iia bAa bA我們可以我們可以在同一類里在同一類里,Acba,與 同在 中 與 同在ijabAbcA, .與 同在ijiAAacAac 3.傳遞性：傳遞性：若若,且，故存在使ab bci jI ijbAA ，由分類的特性知，由分類的特性知綜上

10、，證得是等價關(guān)系綜上，證得是等價關(guān)系.集合A的任一個等價關(guān)系都可確定A的一個分類. , Aa axA xa a ： aaaa 證明：證明：令令，如此確定的這些子集具有：，如此確定的這些子集具有：(1)(1)ba ,xabxa xb ,ab （2 2）當(dāng)當(dāng)a與與b不等價時：不等價時：，由的對稱性和傳遞性知，由的對稱性和傳遞性知，推出矛盾，所以，推出矛盾，所以. .a b若若 a AAa ，AaaaaAaAAaa是（3 3）的一個分類的一個分類. . a bab baba注意：（注意：（1 1）（2 2）若）若/ A AA設(shè)設(shè)是是上等價關(guān)系確定的分類，上等價關(guān)系確定的分類，并稱，并稱為為的關(guān)于等價

11、關(guān)系的商集的關(guān)于等價關(guān)系的商集. .習(xí)慣上記習(xí)慣上記/ AA/ AaaA aa因?yàn)橐驗(yàn)椋敲疵總€，那么每個一個代表一個代表,而每類的一個代表組成的集合叫做而每類的一個代表組成的集合叫做叫做這個等價類的叫做這個等價類的叫做叫做A的一個等價類，而的一個等價類，而A的一個全體代表團(tuán)的一個全體代表團(tuán).等價類與其代表元素的選取無關(guān)等價類與其代表元素的選取無關(guān)( )ab nZn0Z:,(,)Ra bZ aRbn ababnq qZaRban稱 與b模 同余. 任取任取，可以在，可以在中確定一種等價關(guān)系中確定一種等價關(guān)系Rn則稱則稱為模為模的同余關(guān)系，并將的同余關(guān)系，并將記為記為 由同余關(guān)系確定的分類中的類

12、為模由同余關(guān)系確定的分類中的類為模n的剩余類的剩余類.RZnZ而由同余關(guān)系引導(dǎo)出來的商集而由同余關(guān)系引導(dǎo)出來的商集習(xí)慣上記為習(xí)慣上記為.Z0, 2 ,0, ,2 ,1, 21,1,1,1,21,1,1, 1,1,21,310,1,1,nnnnnnnnnnnZnnnnnn 可以知道，中共有 元：（要求熟練掌握）（要求熟練掌握）例例6 設(shè) 試確定集合 上的全部等價關(guān)系. , ,Sa b cS解解由定理知，只要求出的 全部分類,也 S即求出的 所有可能的子集劃分即可 S(1) 如果 分劃為一個子集, 則有 ;S 1S (2) 如果 分劃為兩個子集, 則有3種分法S 234,;ab cba cca b (3) 如果 分劃為三個子集, 則有 S 5,abc 因此, 上共有五個不同的等價關(guān)系, 它們是S1 , , , , , , , , a