2020屆江蘇省南通市高考第二次調研數學模擬試卷有答案(加精)

1、/-/南通市高三第二次調研測試數學 注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷共4 頁，包含填空題（共14 題） 、解答題（共6 題） ，滿分為160 分，考試時間為 120 分鐘?？荚嚱Y束后，請將答題卡交回。2 答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5 毫米簽字筆填寫在答題卡上。3 作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5 毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B 鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。參考公式：柱體的體積公式V柱體Sh，其中S為柱體的底面積，h 為高14 小題，每小題5 分，共計70 分請把答案填寫

2、在答題卡相應位置上/-/11， 0， 1， 2， 3 ， A 1， 0， 2e U A 2z1 a i ， z2 3 4 i ，其中 i 為虛數單位若z1 為純虛數，則實數a 的值為z240， 100 上，其頻率分布直方圖如圖所示，4 題）0.0300.0250.0150.0100.0053 某班 40 名學生參加普法知識競賽，成績都在區(qū)間則成績不低于60 分的人數為4 如圖是一個算法流程圖，則輸出的S 的值為C，以線段AC， BC 為鄰邊作矩形，則該矩形的面積5 在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 大于 32 cm2的概率為6 在 ABC 中，已知AB 1， AC 2， B 45

3、，則 BC 的長為7 在平面直角坐標系xOy 中，已知雙曲線C 與雙曲線x2 y 1 有公共的漸近線，且經過點3P 2， 3 ，則雙曲線C 的焦距為8 在平面直角坐標系xOy 中，已知角x 軸的非負半軸，終邊分別經過點A(1 ， 2)， B (5， 1) ，則 tan(） 的值為9設等比數列an 的前 n 項和為Sn若S3，S9，S6成等差數列，且a83，則a5 的值為10 已知 a， b， c均為正數，且abc 4（ a b） ，則 a b c的最小值為x 3，11 在平面直角坐標系xOy 中，若動圓C 上的點都在不等式組3 0， 表示的平面區(qū)域3 0C 的標準方程為e12 設函數 f (x

4、)1， x 0，2(其中3mx 2 ， x 0e 為自然對數的底數）有3 個不同的零點，則實數m 的取值范圍是13 在平面四邊形ABCD 中，已知AB 1， BCuuur uuur4， CD 2， DA 3，則 AC BD 的值為14 已知 a 為常數，函數f （x）2 x 2ax 1x2 ，則 a 的所有值為3二、解答題：本大題共6 小題，共計90 分請在答題卡指定區(qū)域證明過程或演算步驟1514 分）在平面直角坐標系xOy 中，設向量a cossinsincos ， c12，2316171 ）若 a2）設如圖，在三棱柱端點）求證：b c ，求 sin (56 ， 014 分），且ABC A1

5、B1C1） 的值；a/ b cAB AC，點E ， F 分別在棱BB1 ， CC1上（均異于ABE ACF ， AE BB 1， AF CC11 ）平面AEF平面BB1C1C；2) BC / 平面 AEFA16 題）14 分）如圖，在平面直角坐標系xOy 中，B1，B2 是橢圓x22ay2 1（ a b 0） 的短軸端點，P 是b橢圓上異于點B1， B2的一動點當直線PB1 的方程為y x 3時，線段PB1 的長為4 21 ）求橢圓的標準方程；2）設點 Q 滿足：QB1 PB1 ， QB2 PB2 求證：PB1B2與QB1B2的面積之比為定值18 （本小題滿分16 分）將一鐵塊高溫融化后制成一

6、張厚度忽略不計、面積為矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線100dm2 的l1， l2裁剪成A， B， C 三個矩形（B， C 全等） ，用來制成一個柱體現有兩種方案：方案：以l1 為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B， C 中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；方案：以l1 為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B， C 中各裁剪出一個正方形（各邊分別與l1 或l2垂直）作為正四棱柱的兩個底面1）設B ， C 都是正方形，且其內切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；2）設 l1 的長為 x dm，則當x為多少時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？19 （本小題滿分16 分）設等比數列

7、a1， a2， a3， a4的公比為q， 等差數列b1， b2，差為d，且q 1， d 0 記 ciai bi （ i 1， 2， 3， 4） 1）求證：數列c1 ， c2 ， c3不是等差數列；2）設a11 ， q 2 若數列c1 ， c2， c3是等比數列，求b2關于d 的函數關系式及其定義域；3）數列c1 ， c2 ， c3 ， c4 能否為等比數列？并說明理由20 （本小題滿分16 分）設函數 f （ x ） x a sin x （ a 0 ） （ 1 ）若函數y f （ x ） 是 R 上的單調增函數，求實數a 的取值范圍；l1A（第 18 題）0b3，b4 的公2)設a 21 ，

8、g( x )f(x) bln x 1 (b R， b 0)， g (x)是 g( x)的導函數x0 ， 使 g( x0 ) 0 ；若對任意的x 0 ， g ( x ) 0 ，求證：存在2若 g( x1 ) g( x2 ) ( x1 x2 ) ，求證：x1 x2 4b 南通市高三第二次調研測試數學 （附加題）注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷共2 頁，均為非選擇題（第2123 題） 。本卷滿分為40 分，考試時間為30 分鐘?？荚嚱Y束后，請將答題卡交回。2 答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上，并用2B 鉛筆正確填涂

9、考試號。3 作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B 鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。21【選做題】本題包括A、 B、 C、 D 四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A 選修4- 1：幾何證明選講 （本小題滿分10 分）換T1 ，如圖，A， B， C 是 O 上的 3 個不同的點，半徑OA 交弦 BC 于點D求證： DB DC OD2 OA28 選修4- 2：矩陣與變換 （本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy 中，已知A（0， 0），

10、 B（3， 0 ）， C（ 2， 2） 設變T2 對應的矩陣1020分別為 M， N，求對ABC 依次實施變換T1 ， T2 后所得圖形的面積0201C 選修4- 4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，求以點P 2， 為圓心且與直線l ： sin2相切的圓的極坐標方程33D 選修4- 5：不等式選講 （本小題滿分10 分）已知a， b， c為正實數，且a b c 1 ，求證：1 a c 2 2c a 2b【必做題】第22、 23 題，每小題10 分，共計20 分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22 （本小題滿分10 分）在某公司舉行的年終慶典活

11、動中，主持人利用隨機抽獎軟件進行抽獎：由電腦隨機生成一張如圖所示的3 3 表格，其中1 格設獎 300 元， 4 格各設獎200 元，其余4 格各設獎100 元，點擊某一格即顯示相應金額 某人在一張表中隨機不重復地點擊3 格，記中獎總金額為X 元1 )求概率P( X 600 ) ；2）求X 的概率分布及數學期望E(X)22 題）23 （本小題滿分10 分）2n 12(1 x ) a0a1x a2x2n 1 a2n 1xn*N 記Tn( 2k 1)an k k02）化簡Tn 的表達式，并證明：對任意的1）求T2 的值；N* ， Tn 都能被4n 2整除南通市高三第二次調研測試數學學科參考答案及評

12、分建議14 小題，每小 題 5 分，共計70 分1 已知集合U 1 ， 0， 1， 2， 3 ， A 1， 0， 2 ，則 eU A 【答案】1 ， 32 已知復數z1 a i ， z2 3 4i ，其中 i 為虛數單位若z1 為純虛數，則實數a的值為12z2【答案】433 某班 40 名學生參加普法知識競賽，成績都在區(qū)間40， 100 上，其頻率分布直方圖如圖所示，則成績不低于60 分的人數為【答案】300.0300.0250.0150.0100.005頻率（第 3 題）4 如圖是一個算法流程圖，則輸出的S 的值為1255 在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點C，以線段AC， BC

13、為鄰邊作矩形，則該矩形的面積大于概率為1【答案】136 在 ABC 中，已知AB 1， AC 2， B 45 ，則 BC 的長為【答案】26227 在平面直角坐標系xOy 中，已知雙曲線C 與雙曲線x2 y 1 有公共的漸近線，且經過3點 P 2 ， 3 ，則雙曲線C 的焦距為【答案】4 38 在平面直角坐標系xOy 中，已知角， 的始邊均為x 軸的非負半軸，終邊分別經過點4 題）32 cm2的A（1 ， 2）， B （5， 1） ，則 tan（ ） 的值為2)設5 ， 06，且 a/ b c ，求 的值解： ( 1)因為 a cos ， sinsin ， cos ， c12，【答案】979

14、設等比數列an的前 n 項和為Sn若S3，S9，S6成等差數列，且a83，則a5 的值為【答案】610 已知a， b， c均為正數，且abc 4( a b) ，則 a b c的最小值為【答案】8x 3，11 在平面直角坐標系xOy 中，若動圓C 上的點都在不等式組x 3y 3 0， 表示的平面x 3y 3 0區(qū)域內，則面積最大的圓C 的標準方程為【答案】(x 1)2 y2 4x 2，1 )若 a b c ，求 sin () 的值；，12 設函數 f(x)2(其中e為自然對數的底數)有3個不同的零點，3x 3mx 2 ， x 0則實數 m 的取值范圍是【答案】1 ，uuur uuur13 在平面

15、四邊形ABCD 中，已知AB 1， BC 4， CD 2， DA 3，則 AC BD 的值為【答案】1014 已知 a為常數，函數f(x)x 的最小值為2 ，則 a的所有值為a x21 x23【答案】4， 146 小題，共計90 分15 (本小題滿分14 分)sin ， cos在平面直角坐標系xOy 中，設向量a cos ， sin ， b所以 a b c 1 ，且 a b cos sin sin cos sin ()3分a b c ，所以 a b 2 c2 ，即a2 2a b b2 1 ，所以 1 2sin （） 1 1 ，即 sin （）12 6 分（ 2）因為5 ，所以 a y21（ a

16、 b 0 ） 的短軸端點，P 是 b ， 1 622依題意，b c sin12 ， cos238 分a/ b c ，所以23 cos2312sin210化簡得，12sin23 cos21 ，所以 sin1 32 12分因為 0 ，所以 2 333所以 ，即 14 分36216 （本小題滿分14 分）AC，點E， F 分別在棱BB1 ， CC1 上（均異如圖，在三棱柱ABC A1B1C1 中，AB16 題）于端點），且 ABE ACF ， AE BB1， AF CC1求證： （ 1 ）平面AEF平面BB1C1C；（ 2） BC / 平面 AEF證明： （ 1）在三棱柱ABC A1B1C1 中，B

17、B1 / CC1因為 AF CC1，所以 AF BB12 分又 AE BB1， AE I AF A， AE， AF 平面AEF，所以BB1平面AEF5 分7分又因為 BB1 平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C（ 2）因為AE BB1， AF CC1， ABE ACF， AB AC，所以 Rt AEB Rt AFC所以 BE CF9 分又由（ 1 ）知， BE CF所以四邊形BEFC 是平行四邊形從而 BC EF11 分 又 BC 平面 AEF， EF 平面 AEF，所以 BC / 平面AEF 14 分17 （本小題滿分14 分）如圖，在平面直角坐標系xOy 中，B1，2B2是橢圓

18、x2a橢圓上異于點B1， B2的一動點當直線PB1 的方程為y x 3時，線段PB1的長為4 21 ）求橢圓的標準方程；2）設點Q 滿足：QB1PB1 ， QB2 PB2 求證：PB1B2與QB1B2的面積之比為定值解：設 P x0 ， y0 ， Q x1 ， y11）在 yx 3 中，令 x 0 ，得y 3 ，從而 b3所以橢圓的標準方程為2）方法一：2分2 x a2y2y91，32得 x2a2x391所以x06a29 a24分0PB1所以 4 2x02y03 22 x02 6a92 x 18直線 PB1的斜率為kPB1y0x0聯立兩直線方程，消去所以所以方法二：QB1 PB1 ， 所以直線

19、QB1 的方程為：QB2的方程為：x1x0 ， y0S PB1B2x0QB1B2設直線PB1，在橢圓x0x1a2 182y 1 93，yy06分QB1的斜率為kQB1x0y0x03xy，得x12x181 上，所以12分2 14分PB2的斜率為k，k ，則直線2 y0x0 y03x33 x02 x018PB1QB1 PB1 ， 直線 QB1 的方程為y 1 x 3 k8分10分2y901 ，從而將 y kx 3 代入x2 y 1 ，得2k2 1 x2 12kx 0，189y022 x02y kx 3 所以 kQB2P 是橢圓上異于點B1， B2的點，所以2x0 ， y0 在橢圓 18ky03 y

20、03x0x0聯立 y yx00 ，從而x012k2k28分22y91 上，所以x1082y0x02912，得 kPB2，所以直線QB2的方程為y 2kx1x k2kx所以 S PB1B2S QB1B22 y0912k33， 則 x62k ，即x162k32k2 12k2 1x0x112k2k2 16k2k2 12 14分1 ，從而y0210分12分2 x02l1 Bl 2（第 18 題） 0方法一：a x2 ，a 100x即4a ，2x，209分所得正四棱柱的體積V2a xx ， 0 x 2 10， 4400， x 2 10. x11分18 （本小題滿分16 分）將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度

21、忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線 l1， l2裁剪成A， B， C 三個矩形（B， C 全等） ，用來制成一個柱體現有兩種方案：方案：以l1 為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B， C 中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；方案：以l1 為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B， C 中各裁剪出一個正方形（各邊分別與l1 或 l 2垂直）作為正四棱柱的兩個底面（ 1）設B ， C 都是正方形，且其內切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；2）設 l1 的長為 x dm，則當x為多少時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？解： （ 1）設所得圓柱的半徑為r

22、 dm，則 2 r 2r 4r 100，解得 r 5 2 1 6 分2 12）設所得正四棱柱的底面邊長為a dm，/-/3x ， 0 x 2 10，記函數 p（x） 4400 ， x 2 10. x則 p（x） 在 0， 2 10 上單調遞增，在2 10 ， 上單調遞減，所以當 x 2 10 時， pmax（x） 20 10 所以當 x 2 10 ， a 10 時，Vmax20 10 dm314 分方法二：2a x （本小題滿分16 分）設等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數列b1，b2，b3，b4的公差為d，且q 1 ， d 0記ciaibi （i1，2，3，4）（ 1）求證：數

23、列c1 ， c2 ， c3不是等差數列；（ 2）設a1 1， q 2 若數列c1 ， c2 ， c3 是等比數列，求b2 關于d 的函數關系式及其定義域； （ 3）數列c1 ， c2 ， c3 ， c4 能否為等比數列？并說明理由解： （ 1）假設數列c1 ， c2， c3是等差數列，則2c2c1c3 ，即2 a2b2a1b1a3b3因為b1 ，b2 ，b3 是等差數列，所以2b2b1b3從而2a2a1a3 2 分2又因為a1 ， a2 ， a3是等比數列，所以a2a1a3所以a1 a2 a3 ，這與q 1 矛盾，從而假設不成立所以數列c1 ， c2 ， c3 不是等差數列4 分 ，從而 a1

24、0 11 分a所得正四棱柱的體積V a2x a2 2020a 20 10 a所以當 a10， x 2 10 時， Vmax 20 10 dm314 分答： （ 1）圓柱的底面半徑為5 2 1 dm；2 1（ 2）當 x 為 2 10 時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大16 分【評分說明】直接“由 x 2x 2x100得， x 2 10 時正四棱柱的體積最大”給 2分；方法一中的求解過程要體現V p（x） 2 10 ，凡寫成V p（x） 2 10 的最多得5分，其它類似解答參照給分（ 2）因為a1 1 ， q 2 ，所以 an 2n 1/-/-/-/22c22c1c3，所以2b21 b2d4

25、b2d ，即b23d ，6 分c2 2 b2 0 ，得 d2 3d 2 0，所以d 1且 d 2又 d 0，所以b2 d2 3d ，定義域為dR d 1， d 2，8分3)方法一：q1，設c1， c2， c3， c4成等比數列，其公比為a1 b1 c1 ，10分則a1q b1 d=c1q1，a1q2 b1 2d =c1q1233a1qb1 3d =c1q1 .將 +2得，q1c1 q12，將 +2得，a1q q 1c1q1q121 ， 12 分a10 ，q 1 ，由得c10 ， q11q1 ，從而a1c1 14分代入得b10再代入，得0 ，與 d 0 矛盾所以 c1， c2，c3，c4不成等比

26、數列16分方法二：假設數列c1 ，c2 ，c3 ， c4 是等比數列，則c2c3c1c2c4c310分所以c3c2c2c1c4c3c3c2a3 a2 d a4 a3a2a1da3a2兩邊同時減1得，a3 2a2 a1 a4 2a3 a2a2a1da3a2d12分a1，a2，a3，a4 的公比為q q 1a32a2a1q a3 2a2a2a1 da3a2a1 d又 a3 2a2 a12a1 q 10 ，所以 q a2 a1da3a2 d ，即q 1 d 014分這與 q1，且 d0 矛盾，所以假設不成立所以數列c1 ， c2，c3， c4不能為等比數列16分20 (本小題滿分16 分)設函數 f

27、 ( x ) x a sin x ( a 0 ) 1 )若函數y f ( x ) 是 R 上的單調增函數，求實數a 的取值范圍；2)設a12 ， g( x ) f ( x ) bln x 1 ( b R ， b0)， g ( x )是 g( x)的導函數若對任意的x 0，g ( x ) 0，求證：存在x0 ，使 g( x0 )0； 若 g( x1 )g( x2 ) ( x1x2) ，求證：x1 x2 4b2解： ( 1)由題意，f x 1 acosx 0對 x R 恒成立，a 0 ，所以 1 cosx對 x R 恒成立，acosx max 1 ，所以 1 1 ，從而 0 a 1 3分a2)g

28、x x 1 sin x bln x 1 ，所以 g x 1 1 cosx b 22x若 b 0 ，則存在b2 0 ，使 gb21 21 cos 2b0 ，不合題意，所以 b 0 5 分3取 x0 e b ，則 0 x0 1 3此時 g x0x01 sin x0b ln x01 1 1 b ln e b 110 所以存在x00 ，使 g x008 分t ，則 t1依題意，不妨設0 x1x2 ，令x2x1x1sin x1 1)知函數y x sin x單調遞增，所以x2sin x2從而x2 x1sin x2sin x1 10 分11gx1g x2 ，所以x12sinx1blnx11x22sin x2

29、bln x2 1 ，所以 b ln x2ln x1x21x12 sin x2sin x1x2x1所以 2b lnxx22 lxn1x1 012分設 htlnxx22lxn1 x1x1 x2 ，即證明tln t1t ，只要證明ln tt1tlnt t 1 tt12t 1 ，所以 h t2t t0在 1，恒成立所以 h t 在 1 ，單調遞減，故h t h 10 ，從而得證所以 2bx1 x2 ，即x1x2 4b2 16 分所以 DB DC OD 2 OA2 10分數學 （附加題）21 【選做題】本題包括A、 B、 C、 D 四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答若多做，則按作答的前兩題

30、評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A 選修 4- 1：幾何證明選講 （本小題滿分10 分）如圖， A， B， C 是 O 上的 3 個不同的點，半徑OA 交弦 BC 于點 D求證： DB DC OD2 OA2證明：延長AO 交 O 于點E，則 DB DC DE DA OD OE OA OD 5 分因為 OE OA，所以 DB DC OA OD OA OD OA2 OD 2在平面直角坐標系10M 10， N02解：依題意，依次實施變換T1 ， T2 所對應的矩陣NM2010010220025分200則020020362024，002000224所以A（ 0， 0）， B（3， 0），

31、C（ 2， 2） 分別變?yōu)辄cA（0， 0）， B（6， 0）， C（4， 4）B 選修4- 2：矩陣與變換 （本小題滿分10分）xOy中，已知A（0， 0）， B（ 3， 0）， C（ 2， 2 ） 設變換T1 ， T2對應的矩20，求對ABC 依次實施變換T1 ， T2后所得圖形的面積0112從而所得圖形的面積為21 6 4 12 10 分C 選修4- 4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）2 相切的圓的極坐標3在極坐標系中，求以點P 2， 為圓心且與直線l ： sin3方程解：以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系xOy則點 P 的直角坐標為1 ，3 2 分將直線 l ： sin2 的方程變形為：sin cos cos sin 2 ，333化為普通方程得，3x y 4 05分所以 P 1，3 到直線 l ： 3x y 4 0的距離為：4232122故所求圓的普通方程為x 1 y 34 8 分化為極坐標方程得，4sin6 10 分D 選修4- 5：不等式選講 （本小題滿分10 分）a， b， c為正實數，且a b c 1 ，求證：1 a c 2 2c a 2b證明：因為a， b， c 為正實數，所以 1 a c a 2b 3cc a 2b c a 2ba c 2b cac 2 bc2 ac 4 bc ac 2 bc2（當且僅當a b c取“ =”） 1