2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-條件概率、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布講義(理)(含解析)新人教A版

1、第7節(jié) 條件概率、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布考試要求 1.了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系；2.會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率；3.了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征， 并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4.了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征|知識(shí)郵tn聆I回顧效%西實(shí)暴上知識(shí)梳理1 .條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A, B為兩個(gè)事件，且RA)>0,稱RB|A)=詈祟=為在事件A發(fā)生的條件下，事件P ( A)B發(fā)生的條件概率(1)0 w RB|A) W1；(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件

2、，則P( BU q A) =RB| A)+P(Q A)2 .事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè) A, B為兩個(gè)事件，如果 P(AB = P(A)P(B),則稱事件 A與事件B相互獨(dú)立.(2)性質(zhì)：若事件 A與B相互獨(dú)立，則 A與B, A與B, A與B也都相互獨(dú)立， RB| A) = P(B), PfA|B)=FA).3 .全概率公式(1)完備事件組：設(shè)Q是試驗(yàn)E的樣本空間，事件 A, A ，A是樣本空間的一個(gè)劃分，滿足： AUA2U U A= Q.A, A2,，A兩兩互不相容，則稱事件 A, A ，A組成樣本空間 Q的一個(gè)完備事件 組.(2)全概率公式設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間， A1, A,，An

3、是兩兩互斥的事件， 且有P(A)>0, i =1, 2,，n,21A = S,則對(duì)任一事件 B,有RB)=& 1P(A) P(B| A)稱滿足上述條件的 A, A,，A 為完備事件組.4 .獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中 A(i=1, 2,，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則R XXX A)= RA)P(A)P(A3)RA).(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率為p, 則RX= k) = dpk(1- p)nk(k=0, 1,2,，n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

4、XR n, p),并稱p為成功概率.5 .正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) a, b(avb),隨機(jī)變量X滿足RavXw b) = %，(x)dx,則稱隨機(jī)變 a，一 、21(x ,)量X服從正態(tài)分布，記為 XN w , /J其中(J)ff( x) = se2-( o- >0). 勺2-2,2(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸上方，與x軸不相交，與x軸之間的面積為1;曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=禮對(duì)稱;曲線在x=處達(dá)到峰值_1_2 2 71當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由 (T確定,b越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散(3)正態(tài)總體在

5、三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P( (1 d <X< (1 + (T) = 0.682 6 ;P( -2(r <X<+ 2 b ) =0.954 4;P( -3(r <X<+ 3(T ) =0.997 4.微點(diǎn)提醒1 .相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB = P(A) R B),互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(AU B) = P(A> +P(B».2 .若X服從正態(tài)分布，即XN(T2),要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X=對(duì)稱和曲線與x軸之間的面積為1.基礎(chǔ)自測(cè)疑支

6、辨析1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或“X”)(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.()(2)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式R AB) = P( A)P( B)都成立.()(3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X= k)=Cnpk(1 -p)n k, k=0, 1, 2,，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.()(4)從裝有3個(gè)紅球，3個(gè)白球的盒中有放回地任取一球，連取 3次，則取到紅球的個(gè)數(shù) X 服從超幾何分布.()解析 對(duì)于(1),相互獨(dú)立事件的發(fā)生互不影響，而互斥事件是不能同時(shí)發(fā)生，故 (1)錯(cuò)；對(duì) 于(2),只有當(dāng)A, B為相互獨(dú)立事件時(shí)，公式 R

7、A§ =RA)P(B)才成立；對(duì)于(4),取到紅 球的個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布.答案 (1) X (2) X (3) V (4) X教材歐&2 .(選彳23P54練習(xí)2改編)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A. 一101B. 一32D 924人， 一，一2A, “第二次拿到紅球”為事件 B,依題意P(A)=12o解析 設(shè)“第一次拿到白球”為事件12X315，P(AB =10X9 =話生P (AB) 1故A)= P (A) =3答案 B 3.(選彳23P75B2改編)已知

8、隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(3 , 1),且RX>2c1) = RX<c +3),貝U c =.解析XN3, 1), .正態(tài)曲線關(guān)于x=3對(duì)稱，且 RX>2c 1) = RKc+ 3), 2c 1 + c+3 = 2X3> . c= . 34答案.3去縻然聆上4.(2018 全國(guó)出卷)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為 p,各成員的支付方式相 互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)=2.4, P(X= 4)<P(X= 6),則 p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析 由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符

9、合二項(xiàng)分布，所以D(X)=10P(1 p) = 2.4 ,所以 p=0.6 或 p=0.4.由 P(X= 4)< P( X= 6),得 C4op4(1 p) 6<C6op6(1 p) 4, 即(1 _p)2<p2,所以 p>0.5 ,所以 p= 0.6.答案 B5.(2019 汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等 23則這兩個(gè)人中恰有一人獲得獎(jiǎng)的概率分別為力7甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,等獎(jiǎng)的概率為(A.4B.|解析 根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲得乙沒(méi)有獲得或甲沒(méi)有獲得乙獲得,則所求概率是 2X 1-3 +3X 1-23

10、443512答案 D6.(2019 青島聯(lián)考)已知隨機(jī)變量XN(1 ,屋)，若 P(X>0) =0.8 ,則 P(X> 2)=解析隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N1 , b2)，正態(tài)曲線關(guān)于 x= 1對(duì)稱，P(X>2)= RXW0)= 1-P(X>0) = 0.2.答案 0.2以例求汕苫由聚焦突破考點(diǎn)一條件概率與事件獨(dú)立性【例1】(1)( 一題多解)從1, 2, 3, 4, 5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件 A= "取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件 B= "取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則 P(B|A) = ()1A.8121B.4C.5口.2解析,C2+ C2 4 2

11、C2 1 一，m- P(A) 1 “一 u，RAB P(E) “.由條件概率計(jì)算公式，得P(B| A)C510 5C5 101P (AB10 1一P (A)24.5法二 事件A包括的基本事件：(1, 3), (1, 5), (3, 5), (2, 4)共4個(gè).事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2 , 4) 一種情形，即n(AB) =1.故由古典概型概率 R B| A) = n黑 =1.n(A)4答案 B (2)(2019 天津和平區(qū)質(zhì)檢)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為2和3.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立 . 3 5求至少有一種新產(chǎn)品

12、研發(fā)成功的概率；若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲 利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列2解 記E= 甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功, F= 乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功,由題設(shè)知 P(E)=-, P(E)3=3P(F)=?P(F)=|，且事件E與F，E與FE與F，EMF都相互獨(dú)立記H 至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功 ，則 k E F,1 22于是 PH) = P(E)FF)=-x-=-, 3 5 15故所求的概率為 R H =2131-PH)=1-=-設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為0, 100, 120, 220,因?yàn)?RX= 0) = P( EF)122

13、x -=一35 151331RX= 100) = P(EF) =-x-= =-3 515 52 24RX= 120) = PEFi=-X-=-, 3 5 152 362RX= 220) = REFi=3x 5=5.故所求的分布列為X0100120220P2142155155規(guī)律方法1.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求 P(丹和P(AB),得口日內(nèi)=|黑，這是求條件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù) n(A ,再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB，得R B| A)="黑.n( A)2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法(1)利

14、用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.【訓(xùn)練1】(1)(2019 珠海一模)夏秋兩季，生活在長(zhǎng)江口外淺海域的中華魚回游到長(zhǎng)江，歷經(jīng)三千多公里的溯流博擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長(zhǎng)大到15厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海.一個(gè)環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個(gè)體能長(zhǎng)成熟的概率為0.15 ,雌性個(gè)體長(zhǎng)成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為0.05 ,若該批魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域已長(zhǎng)成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為11A.0.05B.0.007 5C.D.36一 _ ，

15、一 ，,_ _ 11 , 一則燈(2) (2018 濮陽(yáng)二模)如圖，已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是 2,且是相互獨(dú)立的,亮的概率為()B.3D.4解析(1)設(shè)事件A為魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域長(zhǎng)成熟，事件 B為該雌性個(gè)PfAB0.051體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知 RA) =0.15 , P(A§ = 0.05 RB|A)=曝?=不=%P(A)0.153(2)燈泡不亮包括兩種情況：四個(gè)開關(guān)都開，下邊的2個(gè)都開，上邊的2個(gè)中有一個(gè)開，1111111111113.燈泡不鳧的概率是 2X 2X2X2+ 2X2X2X2+2X-X-X- = ,. 燈亮和燈不亮是兩個(gè)對(duì)立事件,31

16、3，燈鳧的概率是1 一6=6.答案(1)C(2)C考點(diǎn)二全概率公式【例2】 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%二廠生產(chǎn)的占50%三廠生產(chǎn)的占20%已知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% 1% 1%問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？解 設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件B為“任取一件為i廠的產(chǎn)品"，i = 1, 2, 3.BUB2U R=S,由全概率公式得P(A) =P(A| Bi)P(B) + P(A| B2) P( B2) + P( A| R)P(B).RB)=0.3, RB2)=0.5, P(B3)=0.2,RA|B)=0.02, P(A B)= 0.01 ,

17、 P(A| 固=0.01 ,故 P(A) = P(AB)RB)+RA|B2)RB) + P(AE3)P(B3)=0.02X0.3+0.01 x 0.5+0.01 x 0.2= 0.013.規(guī)律方法 全概率公式是計(jì)算概率的一個(gè)很有用的公式，通常把 B, B,，Bn看成導(dǎo)致A 發(fā)生的一組原因.如若A是“次品”，必是 n個(gè)車間生產(chǎn)了次品；若 A是“某種疾病”，必是幾種病因?qū)е?A發(fā)生；若A表示“被擊中”，必有幾種方式或幾個(gè)人打中(1)何時(shí)用全概率公式：多種原因?qū)е率录陌l(fā)生(2)如何用全概率公式：將事件分解成兩兩不相容的完備事件組(3)從本質(zhì)上講，全概率公式是加法公式與乘法公式的結(jié)合【訓(xùn)練2】一個(gè)盒

18、子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次，求第二次取到白球的概率.解 A= 第一次取到白球, B= 第二次取到白球.因?yàn)锽= ABJ AB,且AB與AB互不相容，所以654 6PB)=P(AEB + P(AE)=P(A)P(B|A) + PA)P(B|A) = -x-+-x9=0.6. 10 9 10 9考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490 , 495 , (495 , 500,，(510, 515.由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖)

19、.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；從該流水線上任取 2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求 Y的分布列.解(1)質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品的頻率為 5X0.05+5X0.01= 0.3,所以質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40X0.3= 12(件).(2)重量超過(guò)505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過(guò) 505克的產(chǎn)品數(shù)量為 28件，X的取值為 0, 1, 2,X服從超幾何分布C28 63C2G28 28RX= 0)=區(qū)=的 RX= 1) =-G2T=65,RX= 2)=11的X的分布

20、列為(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)505克的概率為12 240= 10.X012P63130286511130從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過(guò)505克的件3數(shù)Y的可能取值為0, 1,2,且YB2,*3RY= k) = G2 1-2 kk10，所以 RY= 0) =C0 74910 100'13已丫= 1)=C2-而7102150'Y012P49100215G91GGRY= 2) = C2 10100.，Y的分布列為規(guī)律方法利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=

21、k) = dpk(1 p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件 A發(fā)生的概率是 一個(gè)常數(shù)p； (2) n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了 k次的概率.【訓(xùn)練3】 為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過(guò)100 km/h的有40人，不超過(guò)100 km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過(guò) 100 km/h的有20人，不超過(guò)100 km/h的有25人.(1)在被調(diào)查的駕駛員中

22、，從平均車速不超過(guò)100 km/h的人中隨機(jī)抽取 2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車平均車速超過(guò)100 km/h且為男性駕駛員的車輛為 X,求X的分布列.解(1)平均車速不超過(guò)100 km/h的駕駛員有40人，從中隨機(jī)抽取 2人的方法總數(shù)為 c4g,件數(shù)為&區(qū)，所以所求的概率記“這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件 A,則事件A所包含的基本事&區(qū) 15X25 25P(A = C2o = 20X39=52,(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車

23、速超過(guò) 100 km/h且為男性駕駛員的概率為4010025'故XB 3, 2 .5所以 P(x= 0) = cG| 327透1 2RX= 1)=C3 554125'X0123P2754368125125125125/ 2RX= 2)=536125,33 2RX= 3)=C3 58125.所以X的分布列為考點(diǎn)四正態(tài)分布【例4】(1)(2019 鄭州模擬)已知隨機(jī)變量己服從正態(tài)分布N(2,(T2),且P(己<4) = 0.8 ,則 R0< 9) = ()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)(2019 茂名一模)設(shè)XN1 , 1),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，

24、那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是()(注：若 XN )，則 P( w b<XW(r) = 68.26%,P( w2(r<XW+ 2 (t) =95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587解析 (1)因?yàn)殡S機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(2 , (t2),科=2,得對(duì)稱軸為x=2, RE<4) =0.8 ,P( >4)= P(<0)= 0.2 ,P(0< E <4) = 0.6.(2) XN(1 , 1) , i = 1,(r = 1. P( l b <X< + b ) =

25、68.26%,.P(0<X<2) = 68.26%,則 P(1<X<2) =34.13%,，陰影部分的面積為1 0.34 13 =0.658 7.向正方形 ABCD中隨機(jī)投擲 10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是10 000X0.658 7 = 6 587.答案(1)A(2)D規(guī)律方法(1)利用3 (T原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的,(T 進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于 (jib, + d), ( (12(r,(i+2(r), ( 3 o- ,+ 3 (T)中的哪一個(gè).(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要

26、是正態(tài)曲線關(guān)于直線x= 對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個(gè)結(jié)論的活用：P(Xv a) = 1 - P(X> a); RXv 林一a) = P(X> 林 + a).【訓(xùn)練4】(2019 淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且XN(800,502).則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為()(參考數(shù)據(jù)：若XN(W ,2),有P(<XW+ b) =0.682 6, R 2(r<Xw+ 2 b)=0.954 4 , R 3(T <X<+ 3(T ) = 0.997 4)A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4

27、 D.0.954 421 -0.954 4解析 XN(800 , 502) ,P(700<X< 900)= 0.954 4, . P(X>900) =2= 0.0228,P(X< 900)= 10.022 8 = 0.977 2.答案 A反思與政思維升華1 .古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為 RB|8=昆坐="絆，其中，在RA)n(A)實(shí)際應(yīng)用中P(B| A)= n”是一種重要的求條件概率的方法 .n(A)2 .全概率公式的理論和實(shí)用意義在于：在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算 P(B)不易，但B總是伴隨著某個(gè) A出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組 A 往往可以簡(jiǎn)化

28、計(jì)算.3 .二項(xiàng)分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實(shí)際應(yīng)用和理論分析中都有重要的地位 (1)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了 n次.(2)對(duì)于二項(xiàng)分布，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是 RX= k) =dpkq，k.其中k=0, 1,，n, q= 1-p.易錯(cuò)防范1.運(yùn)用公式P(AB=P(A)RB)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立.2.注意二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別.有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二

29、項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體數(shù)量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理|棘心素養(yǎng)提升U現(xiàn)升門數(shù)據(jù)分析一一三局兩勝制的概率問(wèn)題1 .數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建 模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.2.教材和考題中涉及到“三局兩勝制”的概率計(jì)算問(wèn)題，對(duì)于“三局兩勝”的比賽賽制其實(shí)是有兩種：一種是比賽完3局，勝兩局的一方獲勝；另一種是比賽的一方先獲勝兩局則比賽 結(jié)束，兩種不同的賽制對(duì)于同一問(wèn)題的概率計(jì)算結(jié)果是否一樣呢？我們可通過(guò)教材的習(xí)題對(duì) 此問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)識(shí).【例

30、題】(選彳2-3P59習(xí)題2.2B組1)甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6 ,乙勝的概率為0.4 ,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？你對(duì)局制長(zhǎng)短的 設(shè)置有何認(rèn)識(shí)？解 每局比賽只有兩個(gè)結(jié)果，甲獲勝或乙獲勝，每局比賽可以看成是相互獨(dú)立的，所以甲獲勝的局?jǐn)?shù)X是隨機(jī)變量，X服從二項(xiàng)分布.(1)在采用3局2勝制中，X蛻3, 0.6),事件X2表示“甲獲勝”.所以甲獲勝的概率為 P(X>2)= RX= 2) +RX= 3) = C3X0.6 2X0.4 + 0.6 3=0.648.(2)在采用5局3勝制中，XB(5 , 0.6),事件X>3表示“甲獲勝”.所以甲獲

31、勝的概率為 P(X> 3)= P(X= 3) +P(X= 4) + P(X= 5) = C3X 0.6 3X 0.4 2+C5X 0.6 4X 0.4 + 0.6 5=0.683. 可以看出采用5局3勝制對(duì)甲更有利，由此可以猜測(cè)“比賽的總局?jǐn)?shù)越多甲獲勝的概率越 大”，由此可以看出為了使比賽公平，比賽的局?jǐn)?shù)不能太少.在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景中，比賽局?jǐn)?shù)越少，對(duì)乙隊(duì)越有利；比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)甲隊(duì)越有利 拓展延伸先后參賽對(duì)比賽公平性的影響拓展1(兩方參賽)匣中有3紅5黑2白共10個(gè)球.現(xiàn)甲、乙二人輪流從匣中取球，甲先 取而乙后?。幻咳嗣看稳∫磺蚯胰『蟛环呕?.按規(guī)定先取到紅球者獲勝，而出現(xiàn)白球時(shí)為平

32、局.分別求甲獲勝、乙獲勝和平局的概率 .解甲獲勝則必為甲先取到了紅球，即：甲取到黑球時(shí)乙必取黑球，甲取到紅球后比賽馬上結(jié)束，比賽過(guò)程中不會(huì)取到白球.記8= "第i次取到黑球"，R= "第i次取到紅球”.則R 甲勝)=R R) + P( B8R) + R BBRRR)3 5 4 3 5 4 3 2 3 83=1o+ 10'9 , 8+10 ' 9 , 8 > 7 6= 210，同理可得R乙勝)=慧，P平局)=2. 2105拓展2(三方參賽)甲、乙、丙三人進(jìn)行比賽，規(guī)定每局兩個(gè)人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩局為止，此人即為冠

33、軍 .已知每次比賽雙方取勝的概率都是0.5 ,現(xiàn)假定甲、乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率解 記事件A, B, C分別為“甲、乙、丙獲冠軍”，事件 A, B, C分別為“第i局中甲、 乙、丙獲勝”.則 P(A) = P(AiAz) + R AGB3AA5) + P(AiG2BAGBAA8) + P( BC2AA4)+ R BGABCAAz)+1 . 1 . 1 . 1 . 1 , 1 .5=22+ 25+ 28+ 24+27+210+-=14.542因?yàn)榧?、乙兩人所處地位是?duì)稱的，所以P(B)=P(A)=五，P(C)=1-P(A)-PB)=7.55 2即甲、乙、丙得冠軍的概率分別為-> -

34、> ;.14 14 7分層限時(shí)塌煉分從出泰力基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)、選擇題1.打靶時(shí)，甲每打 10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo),則他們同時(shí)中靶的概率是 (14A.2512B.253D.5解析因?yàn)榧酌看?0次可中靶8次，乙每打，410次可中靶7次，所以P(甲)57P（乙 ） = 10, 4714所以他們都中靶的概率是-170=-答案 A2.(2019 衡水模擬)先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是 ()1A. 一 8B.37 D.-8解析三次均反面朝上的概率是1 =1,所以至少一次正面朝上的概率是11=7.288 8答案 D3 .某地區(qū)空

35、氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75 ,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6 ,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析 記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良",RA）"75，"0.6.由條件概率，得抽丹=株=黑=0.8.答案 A4 .已知某批零件的長(zhǎng)度誤差 （單位：毫米）服從正態(tài)分布 N（0, 32）,從中隨機(jī)取一件， 其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3, 6）內(nèi)的概率為（附：若隨機(jī)變量 E服從正態(tài)分布 N w2(T),則 Rw(r<E<w

36、+ (T) = 68.26%, P(2(t<E<w + 2(t) =95.44%.)(A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%解析依題設(shè)，XN。，32）,其中=0，b=3. .P(-3<X<3) = 0.682 6 , R 6<X<6) = 0.954 4.因此1R3< X<6) = 2P( - 6<X<6) R 3<X<3)1=2(0.954 4 0.682 6) = 0.135 9 = 13.59%.答案 B5.（2019 廈門二模）袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3

37、次中恰有2次抽到黃球的概率是（）2A.53B.518C.-12554 D.- 125解析袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取 3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率3R = 5,_2 3 2354次中恰有2次抽到黃球的概率是 P= C2 5 1-=.答案 二、填空題6 .已知隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N0 , 82),若RX>2) = 0.023，則P(-2<X<2) =. 解析 因?yàn)?=0，所以 P(X>2) = RX< 2) =0.023 ,所以 P(-2<X<2)= 1 2X0.023 = 0.954.答案 0.9547 .某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如

38、下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8 ,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立.則該選手恰好回答了 4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于 .解析 記“該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪”為事件A,由題意，若該選手恰好回答了 4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，故 P(A) = 1X0.2 X 0.8 X 0.8 = 0.128.答案 0.1288 .某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？?若該電梯在底層有 5個(gè)乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯

39、的概率均為1,用X表示這5位乘客在第20層下電梯的3人數(shù)，則RX= 4) =.解析 考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是 5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故X1B5，3 ,k5-k即有 P(X= k) =Ck 1 X 2, k=0, 1, 2, 3, 4, 5.33_ 4 1 42 10故 R X= 4) = G 3 X 3 = ,4Q.3324310答案243 三、解答題“立定投籃”9.在某中學(xué)籃球體育測(cè)試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項(xiàng)測(cè)試,與“三步上籃”各有2次投籃機(jī)會(huì)，先進(jìn)行“立定投籃”測(cè)試，如果合格才有機(jī)會(huì)進(jìn)行“三.小明同學(xué)“立定投籃”步上籃”測(cè)試，為了節(jié)約時(shí)間，每項(xiàng)只需且必

40、須投中一次即為合格1 3的命中率為2, “三步上籃”的命中率為 4,假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機(jī)會(huì)且每次投籃是否命中互不影響.(1)求小明同學(xué)一次測(cè)試合格的概率;（2）設(shè)測(cè)試過(guò)程中小明投籃的次數(shù)為E ,求E的分布列.解 設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件A,第i次“三步上籃”命中為事件B(i =1,132),依題意有P(A)=2，P(B)=4(i = 1, 2), “小明同學(xué)一次測(cè)試合格”為事件C.(1) P(C) = P(AA) + P(A1A2B1B2) + RABB2)= P(A)P(A2)+P(A1)P(A)P(B1)RR) + P(A) P(B)RB2)P(C)11 -21X -x2

41、31 -421+ 2*1-1964.=1 一6419 4564(2)依題意知己=2, 3, 4,5 F( 己=2) =P(A1B) +RAA) = P(A)P(B) + RA) - P(A2)=-,8P( E =3) =P(ABB)+ RAAB) +P(ABB2)=P( A) P( B1) P( B2) + P(A) P( A2) P( B) +RA1)RB)P(B)=而,R E =4)=P(AAB) = RA)RA2)RB)=行故投籃的次數(shù) E的分布列為:234P5518161610.空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQuality Index ，簡(jiǎn)稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照 AQI大小分為六級(jí)：050為優(yōu)；51100為良；101150為輕度污染;151200為中度污染；201300為重度污染；300以上為嚴(yán)重污染.一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的數(shù)據(jù)分別為：45, 50, 75, 74, 9390, 117,118, 199, 215. 利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良（AQIW100）的天數(shù);（2）將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為E ,求E的分布列.解（1）從所給數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4,該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為36 = 3,10 5