高考數(shù)學 考前最后一輪基礎知識鞏固之第二章 第11課 函數(shù)模型及其應用

1、第11 課 函數(shù)模型及其應用【考點導讀】1.能根據(jù)實際問題的情境建立函數(shù)模型，結合對函數(shù)性質的研究，給出問題的解答2.理解數(shù)據(jù)擬合是用來對事物的發(fā)展規(guī)律進行估計的一種方法，會根據(jù)條件借助計算工具解決一些簡單的實際問題3.培養(yǎng)學生數(shù)學地分析問題，探索問題，解決問題的能力【基礎練習】1.2006年11月15日起，國內投寄首重100g以內的外部信函的郵資標準：每封信不超過20g時付郵資120分，超過20g而不超過40g付郵資240分，超過40g而不超過60g付郵資360分，依次類推如果某人所寄一封信的質量為82.5g，那么他應付郵資為_600_分2.今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：1.993.04.05.16

2、.121.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律， 其中最接近的一個的序號是_第3題3.以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開（如圖），已知籬笆的總長為定值l，則這塊場地的最大面積是_4.某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經(jīng)過1年，這種物質剩留的質量是原來的84%，則這種物質的剩留量關于時間的函數(shù)關系式為_5.某摩托車生產企業(yè)，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x <

3、 1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價投入成本)×年銷售量.()寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；()為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？解：（）由題意得y = 1.2×(1+0.75x)1×(1 + x) ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）整理得 y = 60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）. （）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當即 解不等式得.

4、答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0 < x < 0.33. 【范例解析】例1.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示()寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q=g(t)；()認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)解：()由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關系為 由圖二可得種植

5、成本與時間的函數(shù)關系為g(t)= (t150)2+100，0t300 ()設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)g(t)，即 當0t200時，配方整理得h(t)=(t50)2+100，所以，當t=50時，h(t)取得區(qū)間0，200上的最大值100；當200<t300時，配方整理得：h(t)=(t350)2+100，所以，當t=300時，h(t)取得區(qū)間（200，300上的最大值87.5 綜上，由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間0，300上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大 點評：本小題主要考查由函數(shù)圖像建立

6、函數(shù)關系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力例2.某工廠第一季度某產品月生產量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件為了估測以后每個月的產量，以這3個月的產量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產品的月產量y與月份x的關系模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)(其中a，b，c為常數(shù))已知4月份的產量為1.36萬件，問：用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?為什么?分析：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解：設二次函數(shù)，由，解得：，由得，解得：，即又，作為模擬函數(shù)更好點評：函數(shù)模型不確定，需要我們去探索，嘗試，找到最合適的模型本題給了兩個函數(shù)模型供選擇，如何選？結合條件中的數(shù)據(jù)進行處理例3.甲、乙兩地相距S千

7、米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比、比例系數(shù)為b；固定部分為a元（）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（II）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解：（）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為 故所求函數(shù)及其定義域為 ()依題意知S，a，b，v都為正數(shù)，故有當且僅當即時上式中等號成立若，則當時，全程運輸成本y最小，若，則當時，有=因為cv0，且a>bc2，故有abcvabc2>0，所以，且

8、僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，全程運輸成本y最小綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為；當時行駛速度應為v=c點評：本小題主要考查建立函數(shù)關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識，考查綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力【反饋演練】1把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是_ 2某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.7，已知山頂?shù)臏囟仁?4.1，山腳的溫度是26，則此山的高度為_17_m3為了穩(wěn)定市場，確保農民增收，某農產品的市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關，且使與其前三個月的市場收購價格之差的平

9、方和最小若下表列出的是該產品前6個月的市場收購價格：月份1234567價格（元/擔）687867717270則7月份該產品的市場收購價格應為_ 71_元 4某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為_45.6_萬元 5四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半設剩余酒的高度從左到右依次為，則它們的大小關系正確的是（ A ）A B C D6一根長為1的鐵絲

10、，分成兩段分別圍成一個正方形和一個圓，當正方形和圓的面積之和最小時，正方形的周長為 7建造一個容積為8m3 ，深為2m的長方體無蓋水池如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為_1120_元8為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒. 已知藥物釋放過程中，第8題室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式為 （）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下

11、時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 0.6 小時后，學生才能回到教室9在經(jīng)濟學中，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為.某公司每月最多生產100臺報警裝置，生產x臺的收入函數(shù)為(單位:元)，其成本函數(shù)為(單位:元)，利潤是收入與成本之差則利潤函數(shù)的最大值為_74120_元，邊際利潤函數(shù)的最大值為_2440_元第10題xy10某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省?解：由題意得 xy+x2=8，y=(0<x<4). 則框架用料長度為l=2x+2y+2()=(+

12、)x+4. 當(+)x=,即x=84時等號成立. 此時，x=84，故當x為84m，y為m時，用料最省.11某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元（I）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？（II）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)的表達式；（III）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤實際出廠單價成本）解：（I）設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為個，則 因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元（II）當時， 當時， 當時， 所以（III）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則 當時，；當時， 因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元； 如果訂購1000個，利潤是11000元12設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為(1)，畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白（1）怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最??？（2）如果要求，那么為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小?