2018年人教版中考壓軸題匯編《因動點產(chǎn)生的相似三角形問題》及答案(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例1 2018上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（k0）與直線yx2都經(jīng)過點A(2, m) （1）求k與m的值；（2）此雙曲線又經(jīng)過點B(n, 2)，過點B的直線BC與直線yx2平行交y軸于點C，聯(lián)結(jié)AB、AC，求ABC的面積；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線yx2與y軸交于點D，在射線CB上有一點E，如果以點A、C、E所組成的三角形與ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標(biāo)圖1 例2 2017年武漢市中考第24題如圖1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5

2、 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）如圖2，連接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在ABC的一條中位線上圖1 圖2例3 2017年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標(biāo)為_，點C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？

3、如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1例4 2018年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、

4、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1例5 2017年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從點B出發(fā)

5、，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2例6 2017年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請

6、求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo),圖1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題答案例1 2018上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（k0）與直線yx2都經(jīng)過點A(2, m) （1）求k與m的值；（2）此雙曲線又經(jīng)過點B(n, 2)，過點B的直線BC與直線yx2平行交y軸于點C，聯(lián)結(jié)AB、AC，求ABC的面積；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線yx2與y軸交于點D，在射線CB上有一點E，如果以點A、C、E所組成的三角形與ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標(biāo)圖1 動感體驗請打開幾何畫板

7、文件名“15寶山嘉定24”，拖動點E在射線CB上運動，可以體驗到，ACE與ACD相似，存在兩種情況思路點撥1直線AD/BC，與坐標(biāo)軸的夾角為452求ABC的面積，一般用割補法3討論ACE與ACD相似，先尋找一組等角，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例分兩種情況列方程滿分解答（1）將點A(2, m)代入yx2，得m4所以點A的坐標(biāo)為(2, 4)將點A(2, 4)代入，得k8（2）將點B(n, 2)，代入，得n4所以點B的坐標(biāo)為(4, 2)圖2設(shè)直線BC為yxb，代入點B(4, 2)，得b2所以點C的坐標(biāo)為(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B兩點間的水平距離和豎直距離都是2，

8、B、C兩點間的水平距離和豎直距離都是4所以AB，BC，ABC90 所以SABC8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD，AC由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE與ACD相似，分兩種情況：如圖3，當(dāng)時，CEAD此時ACDCAE，相似比為1如圖4，當(dāng)時，解得CE此時C、E兩點間的水平距離和豎直距離都是10，所以E(10, 8)圖3 圖4考點伸展第（2）題我們在計算ABC的面積時，恰好ABC是直角三角形一般情況下，在坐標(biāo)平面內(nèi)計算圖形的面積，用割補法如圖5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y軸由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，

9、SBCN8，得SABC8圖5例2 2017年武漢市中考第24題如圖1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）如圖2，連接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在ABC的一條中位線上圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動點P運動，可以體驗到，若BPQ可以兩次成為直角三角形，與ABC相似當(dāng)AQCP時，ACQCDPPQ的中點H在ABC的

10、中位線EF上思路點撥1BPQ與ABC有公共角，按照夾角相等，對應(yīng)邊成比例，分兩種情況列方程2作PDBC于D，動點P、Q的速度，暗含了BDCQ3PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然滿分解答（1）RtABC中，AC6，BC8，所以AB10BPQ與ABC相似，存在兩種情況： 如果，那么解得t1 如果，那么解得圖3 圖4（2）作PDBC，垂足為D在RtBPD中，BP5t，cosB，所以BDBPcosB4t，PD3t當(dāng)AQCP時，ACQCDP所以，即解得圖5 圖6（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E由于H是PQ的中點，HF/PD，所以F是QD的中

11、點又因為BDCQ4t，所以BFCF因此F是BC的中點，E是AB的中點所以PQ的中點H在ABC的中位線EF上考點伸展本題情景下，如果以PQ為直徑的H與ABC的邊相切，求t的值如圖7，當(dāng)H與AB相切時，QPAB，就是，如圖8，當(dāng)H與BC相切時，PQBC，就是，t1如圖9，當(dāng)H與AC相切時，直徑，半徑等于FC4所以解得，或t0（如圖10，但是與已知0t2矛盾）圖7 圖 8 圖9 圖10例3 2017年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標(biāo)為_，點C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探

12、索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在OQAB的時刻，也存在OQAB的時刻思路點撥1第（2）題中，等腰

13、直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)

14、，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90。因此OCQQOA當(dāng)時，BQAQOA此時OQB90所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例4 2018年黃

15、岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠處也不等于45觀察右圖，可以體驗到，CB

16、F保持45，存在BFCBCE的時刻思路點撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示點F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時，BHEH最小設(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)

17、，即時，BCEFBC設(shè)點F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例5 2017年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形O

18、ABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時點A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直

19、線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證3第（3）題的示

20、意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時， 解得 此時點A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而

21、且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例6 2017年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo),圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”