不等式恒成立問(wèn)題解法(老師用)

1、函數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題解法（老師用）恒成立問(wèn)題的基本類(lèi)型：類(lèi)型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類(lèi)型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類(lèi)型3：。類(lèi)型4： 恒成一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有：例1：若不等式對(duì)滿(mǎn)足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對(duì)于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討

2、論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿(mǎn)足題意；（2）時(shí)，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對(duì)任意x都成立；（2）對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類(lèi)求函數(shù)的最值問(wèn)題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對(duì)比上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最

3、大值取不到，即a取也滿(mǎn)足條件，所以。 所以，我們對(duì)這類(lèi)題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取

4、值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。同步練習(xí)1、設(shè)其中，如果時(shí)，恒有意義，求的取值范圍。分析：如果時(shí)，恒有意義，則可轉(zhuǎn)化為恒成立，即參數(shù)分離后，恒成立，接下來(lái)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：如果時(shí)，恒有意義，對(duì)恒成立.恒成立。令，又則對(duì)恒成立，又在上為減函數(shù)，。2、設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意恒成立對(duì)

5、于任意恒成立，令，所以原問(wèn)題，又即 易求得。3、 已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。方法一）分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來(lái)求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立設(shè)則方法二）題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次不等式，從而可利用二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化為

6、a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,則t-1,1,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t-1,1恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在-1，1內(nèi)單調(diào)遞減，f(t)min=f(1)=2-a,2-a>0a<24、 設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：在f(x)a不等式中，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問(wèn)題。解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當(dāng)=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)&l

7、t;0時(shí)，即-2<a<1時(shí)，對(duì)一切x-1,+)，F(xiàn)(x) 0恒成立；）當(dāng)=4（a-1)(a+2) 0時(shí)由圖可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜上所述：a的取值范圍為-3，1。5、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對(duì)數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過(guò)特指求解a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設(shè)T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2), <恒成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a&g

8、t;1,并且必須也只需故loga2>1,a>1,1<a2.6、已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號(hào)兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（-20，0）此時(shí)縱截距為-6a-3=160,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。7、對(duì)于滿(mǎn)足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的