不等式的證明 第四課時 人教版

1、不等式的證明 第四課時【自學導引】1利用放縮法證明不等式時，需要有明確目標，才能放縮適當，其理論依據是不等式的傳遞性2換元法是把試題中反復出現的代數式用一個字母代換或用一個熟悉的函數替換，達到化繁為簡，化生為熟，化難為易的目的，但要注意換元的等價性3根據題意，構造一個熟悉函數、或易證明單調性的函數，把證明不等式化歸為比較函數值的大小【思考導學】1a2b21等價于acos，bsin，R1等價于xacos，ybsin，R2f(x)(m0)在(0，)上為增函數，f(n)在1，上為減函數3的大小關系為【典例剖析】例1已知ABC三邊長是a、b、c，且m為正數求證： (教材P17第9題)分析：構造函數f(

2、x)(x0，m0)不等式右邊f(xié)(c)，左邊f(xié)(a)f(b) 易知單調性f(x)，隨x增大而增大單調增函數因abc，故有f(ab)f(c)，只要證f(a)f(b)f(ab)即可因此縮小的目標是把f(a)f(b)縮小為f(ab)即可證明：設函數f(x)(x0，m0)易知f(x)隨x增大而增大，f(x)在x(0，)是增函數f(a)f(b)f(ab)，abc，f(ab)f(c)點評：ABC中：abc；當a0，b0，m0時， 恒成立，因此，也可不構造函數例2已知1x2y22，求證：x2xyy23證明：設xrcos，yrsin(1r，02)x2xyy2r2cos2rcos·rsinr2sin2r

3、2(1sin2)1sin2，1r22r2(1sin2)3，即：x2xyy23點評：三角函數是熟悉函數，它有很多重要性質換元時注意要等價，如1r，02例3求證：(nN*且n0)證明：又故原不等式成立點評：不等式的放縮要有明確的目標，依據目標確定要放縮的大小，及時調整結構形式，從而達到證明的目的例4設a、b、cR，證明：a2acc23b(abc)0，并指出等號何時成立證明：將左邊整理成關于a的二次式，f(a)a2(c3b)ac23b23bc，求f(a)0的判別式，得(c3b)24(c23b23bc)3(c2b22bc)3(bc)20f(a)0，當0時，等號成立，即bc0，這時f(a)a2acc23

4、aba22abb2(ab)20abc點評：在用比較法或綜合法無效時，如果能整理成關于某變數的二次式f(a)0或f(a)0時，可考慮用判別式法【隨堂訓練】1設x0，y0，M，則M、N的大小關系是_解析：答案：MN2設ab1，a0，b0，則a2b2的最大值是_解析：設acos2，bsin2(02)則a2b2cos4sin4cos4sin42sin2cos22sin2cos2(cos2sin2)2sin221sin221答案：13設a、b、c、dR，a2b21，c2d21，則abcd的最小值等于( )A B C D解析：1a2b22ab12ab1同理12cd1abcd的最小值為答案：B4下列函數中，

5、y的最小值是4的是( )Ay2x (xR且x0)By2x4·2x(xR)Cy (xR)Dysinx(0x)解析：若x0，y4，否定Ay2x4·2x24當且僅當2x4·2x即x1時取等號，可選B若，則x241，這是不可能的，故否定C同理，sinx，否定D答案：B【強化訓練】1已知a0，b0，c0，且abc，設M，則M、N的大小關系是( )AMNBMNCMND不能確定解析：答案：A2設x2513，y2514，z()15，則下列關系式成立的是( )AxyzBxzyCyxzDzyx解析：函數yax，當a1時為增函數，且有a01，當0a1時為減函數，1x2513y2514z

6、()15()01，yxz答案：C3若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是( )A0，B2，2 C， D2，2解析：設asin，bcos，(02absincos2 (sincos)2sin()2ab2答案：D4設m、n、x、yR且m2n29，x2y24，則mxny的最大值是( )AB6C D5解析：設m3cos，n3sin，x2cos，y2sin，mxny6coscos6sinsin6cos()6答案：B5設abc，nN且，則n的最大值為( )A2B3C4D5解析：設abx，bcy，則x0，y0acxy，故原不等式可化為n2，而24nmax4答案：C6設a、b、c、dR，則( )AmnB

7、mnCmnDmn解析：設A(a，b)、B(c，d)、O(0，0)|OA|OB|AB|，得mn答案：D7若x2y2m(m0)，實行三角代換時，可設x_，y_若x2y2a(a0)，則可設x_，y_若y，當設xcos時，y_，的取值范圍選在_；如令xsin，則y_，此時_答案：(其中02）sin cos(其中0，02）sin 0， cos 8已知a0，的最小值為_解析：設t8，當且僅當a4時取等號 (t8)可證t在8，上是增函數，故t最小值是答案：9求證：1證明：設y則yx2(y1)xy10xR，當y0時，(y1)24y(y1)01y，當y0時，x1故110已知：a，b，cR求證：abc分析：在第一

8、個根號內含a、b，在第二個根號內含a、c，放縮的目標是第一個根號縮為(b)2，第二個根號縮為(c)2證明：abc11已知：a2，求證：loga(a1)·loga(a1)1證明：a2 a11loga(a1)0，loga(a1)0，且不等式loga(a1)·loga(a1)1【學后反思】1利用函數的單調性證明不等式難點是構造單調性易證的函數(或是熟悉的函數)如例1，設函數f(x) (m為常數，x0)2利用放縮法證明不等式，關鍵要有明確的放縮目標，而這個目標來源于對試題的分析；如例1，f(a)f(b)要縮成f(ab)，“隨堂訓練”第1題要縮成，“強化訓練”第10題把第一個根號縮為

9、b，把第二個根號縮為c3換元要等價，要注意考慮新元的范圍如例2，1r，02，有1r2cos2r2sin221x2y22“強化訓練”第8題，設t8【教學建議】不等式的證明方法很多，在進行其他證明方法的教學時，建議突出換元法、反證法、放縮法的教學講解換元法證題時，應強化新元的范圍不等式證明的習題課【雙基再現】1比較法是最重要，最基本的方法，作差比較法的步驟是：作差，變形，判斷差的符號，變形是手段，判斷差的符號才是目的作商比較法的步驟是：作商、變形、判斷商與1的大小2分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法分析法是執(zhí)果索因，步步尋求上一步成立的充分條件其邏輯關系是：B(結論)B1B2BnA(已知)綜合法是

10、由因導果，利用已證明過的不等式或不等式性質，推導所要證明的不等式，其邏輯關系是：通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法表述證明過程，所以分析法和綜合法經常結合在一起使用3不等式的證明方法還有：放縮法、換元法、反證法、數學歸納法、利用函數的單調性證法等4牢記公式a2b22ab(a，bR)，(a0，b0)，學會變式使用公式和把公式變形應用記住由上述公式推出的常用結論：如a2b2c2abacbc，a2b2【典例剖析】例1已知(0，求證：2sin2證法一：(作差比較法)2sin2x(0，)sin0，1cos0，(2cos1)202sin202sin2證法二：(作商比較法)4cos(1cos)1(2co

11、s1)210，sin0，1cos001，2sin2證法三：(分析法)要證明2sin2成立，只要證明4sincos(0，)，sin0只要證明4cos上式可變形為44(1cos)1cos0，4(1cos)24當且僅當cos，即時取等號44(1cos)成立不等式2sin2成立證法四：(綜合法)4(1cos)4，(1cos0，當且僅當cos即時取等號)4cos (0，)，sin04sincos 2sin2點評：應體會四種證法的特點及優(yōu)缺點例2若2a26b23，求證:ab證明：2a26b23，2b21可設asin，bcos，0，2asin，bcosabsincossincossin()ab點評：對于ma

12、2nb2c，m、n、c為正常數，a，b為變數，可施行如下三角變換：右邊變1，1，令sin，cos，0，2(若n0，其余條件不變時，可設sec，tan例3已知a0，b0，c0，且abc1求證：錯證：證明：引入參數t0(構造使用均值不等式的條件)，則同理 (t213b1) (t213c1)(當且僅當時，即abc時上述三式同時取等號) 把abc代入abc1解得代入式得點評：錯證的原因分析：當取“”號時，應有13a113b113c11，但abc1，所以不是最大值此類問題不能直接證明時，常常引進參數，以便過渡例4已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1求證：a、b、c、d中至少有一個是負數證明：假

13、設a、b、c、d都是非負數，abcd1，(ab)(cd)1又(ab)(cd)acbcadbdacbd，acbd1這與已知acbd1矛盾 a、b、c、d中至少有一個是負數點評：與“至少”有關的命題常常用“反證法”例5已知實數a，b，c滿足abc5，a2b2c29，求證：a，b，c的值都不小于1，又都不大于2證明一：將c5ab代入a2b2c29中得：a2(b5)a(b25b8)0a為實數(b5)24(b25b8)(b1)(73b)01b2，同理：1a2，1c2證明二：令f(x)2x22(ab)xa2b2x22axa2x22bxb2(xa)2(xb)20(恒正)20 2(ab)24×2&#

14、215;(a2b2)04(5c)28(9c2)0 (c1)(3c7)0 1c2同理1a2，1b2點評：此不等式涉及到二次函數問題，故可用判別式法，也可以用構造函數法，又已知條件是x，y，z的輪換對稱式，故只需求出一個變量的范圍，同理可求另兩個變量范圍【能力提高】1已知ab0，全集UR，Mx|b|x，Nx|xa，Px|bx，則( )APMUNBPUMNCPMNDPMN解析：在ab0的條件下，將a、b、表示在數軸上用數形結合的方法，就可得到答案ab0，ba把它們在數軸上表示出來：如圖容易得出PMUN答案：A2設x0，y0，則A、B的大小關系是( )AABBABCAB DAB解析：用放縮法答案：B3

15、已知ab0，則下列各式中成立的是( )ABCD解析：可用作差法又ab00答案：D4已知a、bR，且ab，ab2，則( )A1abBab1Cab1Dab1解法一：排除法令a0，b2可排除A、D、C解法二：a2b22ab2(a2b2)(ab)24a2b22，1又ab等號不成立1又aba(2a)2aa2(a1)211(ab，a1)故B正確答案：B5若a、b、cR且abbcca1，則下列不等式成立的是( )Aa2b2c22B(abc)23C Dabc解法一：排除法令a2，b1，c可排除C、D；令abc可排除A解法二：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac2(a2b2c2)2(abbcac)即a

16、2b2c2abbcac1(abc)2a2b2c22(abbcca)3答案：B6設實數x、y滿足x2(y1)21，當xyd0恒成立時，d的取值范圍為_解析：設xcos，y1sin()d(xy)(sincos)1sin()1恒成立只需dsin()1的最大值便可而sin()1的最大值為1d1答案：1，)7設a0，b0且ab1，的最大值為_解析：取yy2而由1ab2可得aby答案：8已知，a0，b0，求證：(ab)2 (ab)2證明：要證明(ab)2(ab)2·，只需證明(ab)(ab)2a0，b0 ab20只需證明ab只需證明只需證明顯然上式成立成立9已知a，b，c分別為一個三角形的三邊之長，求證：分析：若用abc，即1，則有3，顯然這種證法不可以把原式變化為，根據試題特征只要證明即可證明：a、b、c為三角形三邊長，abc2(ab)abc0 兩邊同乘以2c同理 10已知x、y、z均大于零，求證：證明：由已知同理:三式相加得：11求證：