高考勻速圓周運動動力學問題歸類及實例分析

1、勻速圓周運動動力學問題及實例分析基礎知識歸納1.圓周運動的動力學問題做勻速圓周運動的物體所受合外力提供向心力，即F合F向，或F合m2r.2.豎直平面內(nèi)的圓周運動中的臨界問題(1)輕繩模型：一輕繩系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動.小球能到達最高點(剛好做圓周運動)的條件是小球的重力恰好提供向心力，即mgm，這時的速度是做圓周運動的最小速度vmin.(2)輕桿模型：一輕桿系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球能到達最高點(剛好做圓周運動)的條件是在最高點的速度v0.當v0時，桿對小球的支持力等于小球的重力；當0<v<時，桿對小球的支持力小于小球的重力；當v時，桿對小球的支持力等于零；當v&

2、gt;時，桿對小球提供拉力.重點難點突破一、圓周運動的動力學問題解決有關圓周運動的動力學問題，首先要正確對做圓周運動的物體進行受力分析，必要時建立坐標系，求出物體沿半徑方向的合外力，即物體做圓周運動時所能提供的向心力，再根據(jù)牛頓第二定律等規(guī)律列方程求解.二、圓周運動的臨界問題圓周運動中臨界問題的分析，首先應考慮達到臨界條件時物體所處的狀態(tài)，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點，結合圓周運動的知識，綜合解決問題.1.在豎直面內(nèi)做圓周運動的物體豎直面內(nèi)圓周運動的最高點，當沒有支撐面(點)時，物體速度的臨界條件：v臨.繩與小球的情況即為此類臨界問題，因為繩只能提供拉力不能提供支持力.豎直面內(nèi)圓周運動的最高

3、點，當有支撐面(點)時，物體的臨界速度：v臨0.桿與球的情況為此類臨界問題，因為桿既可以提供拉力，也可提供支持力或側(cè)向力.2.當靜摩擦力提供物體做圓周運動的向心力時，常會出現(xiàn)臨界值問題.典例精析1.圓周運動的動力學問題【例1】質(zhì)量為m的物體沿著半徑為r的半球形金屬球殼滑到最低點時的速度大小為v，如圖所示，若物體與球殼之間的動摩擦因數(shù)為，則物體在最低點時()A.向心加速度為B.向心力為m(g)C.對球殼的壓力為D.受到的摩擦力為m(g)【解析】物體在最低點沿半徑方向受重力、球殼對物體的支持力，兩力的合力提供物體做圓周運動在此位置的向心力，由牛頓第二定律有FNmg，物體的向心加速度為，向心力為，物

4、體對球殼的壓力為m(g)，在沿速度方向，物體受滑動摩擦力，有FFNm(g)，綜上所述，選項A、D正確.【答案】AD【思維提升】勻速圓周運動動力學規(guī)律是物體所受合外力提供向心力，即F合F向，或F合mm2rm.這一關系是解答勻速圓周運動的關鍵規(guī)律.【拓展1】鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的，彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外高度差h的設計不僅與r有關，還取決于火車在彎道上行駛的速率.下表中是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之相對應的軌道的高度差h.彎道半徑r(m)660330220165132110內(nèi)外軌高度差h(m)0.050.100.150.200.250.30(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導出

5、h與r關系的表達式，并求出當r440 m時，h的設計值.(2)鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國鐵路內(nèi)外軌的距離設計值L1.435 m，結合表中數(shù)據(jù)，求出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v.(路軌傾角很小時，可認為tan sin )【解析】(1)分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)C660×50×103 m33 m2，因此hr33(或h)當r440 m時，有hm0.075 m75 mm(2)轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)外軌對車輪均沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖所示.由牛頓第二定律得mgtan m因為很小，有tan sin 由可得v代入數(shù)據(jù)

6、解得v15 m/s54 km/h2.圓周運動的臨界問題【例2】(2009安徽)過山車是游樂場中常見的設施.下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R12.0 m、R21.4 m.一個質(zhì)量為m1.0 kg的小球(可視為質(zhì)點)，從軌道的左側(cè)A點以v012.0 m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L16.0 m.小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)0.2，圓形軌道是光滑的.假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊.重力加速度取g10 m/s2，計算結果保留小數(shù)點后一位數(shù)字.試求：(1)小球在經(jīng)過第一個

7、圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大??；(2)如果小球恰能通過第二個圓形軌道，B、C間距L應是多少；(3)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑R3應滿足的條件；小球最終停留點與起點A的距離.【解析】(1)設小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v1，根據(jù)動能定理mgL12mgR1小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律Fmgm由式解得F10.0 N(2)設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v1，由題意知mgmmg(L1L)2mgR2由式解得L12.5 m(3)要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：.軌道半徑較小時，小球恰

8、好能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v3，應滿足mgmmg(L12L)2mgR3由式解得R30.4 m.軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動能定理有mg(L12L)2mgR30解得R31.0 m為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應滿足(R2R3)2L2(R3R2)2解得R327.9 m綜合、，要使球不脫離軌道，則第三個圓軌道半徑需滿足0<R30.4 m或1.0 mR327.9 m當0<R30.4m時，小球最終停留點與起始點A距離為L，則mgL0解得L36.0 m當1.0 mR327.9 m時，小球最終停留點與起始點A的距離為L，則LL2(LL12L)26.0 m【思維

9、提升】本題側(cè)重考查圓周運動臨界條件的應用.物體運動從一種物理過程轉(zhuǎn)變到另一物理過程，常出現(xiàn)一種特殊的轉(zhuǎn)變狀態(tài)，即臨界狀態(tài).通過對物理過程的分析，找出臨界狀態(tài)，確定臨界條件，往往是解決問題的關鍵.【拓展2】如圖所示，用一連接體一端與一小球相連，繞過O點的水平軸在豎直平面內(nèi)做圓周運動，設軌道半徑為r，圖中P、Q兩點分別表示小球軌道的最高點和最低點，則以下說法正確的是( BC )A.若連接體是輕質(zhì)細繩時，小球到達P點的速度可以為零B.若連接體是輕質(zhì)細桿時，小球到達P點的速度可以為零C.若連接體是輕質(zhì)細繩時，小球在P點受到細繩的拉力可能為零D.若連接體是輕質(zhì)細桿時，小球在P點受到細桿的作用力為拉力，在

10、Q點受到細桿的作用力為推力【解析】本題考查豎直面內(nèi)的圓周運動，束縛物是細繩，物體在最高點的最小速度為，此時細繩拉力為零，A錯，C對；束縛物是細桿時，如果最高點的速度為，細桿拉力為零，如果v>，細桿為拉力，如果v<，細桿為推力，B對，D錯.【例3】如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，上面繩長l2 m，兩繩拉直時與軸的夾角分別為30°和45°，問球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩始終有張力(取g10 m/s2)？【解析】設兩細繩都被拉直時，A、B繩的拉力分別為TA、TB，小球的質(zhì)量為m，A繩與豎直方向的夾角為30°，B

11、繩與豎直方向的夾角為45°，經(jīng)受力分析，由牛頓第二定律得：當B繩中恰無拉力時FAsin mlsin FAcos mg由式解得1rad/s當A繩中恰無拉力時，F(xiàn)Bsin mlBsin FBcos mg由式解得2rad/s所以，兩繩始終有張力，角速度的范圍是rad/s<<rad/s【思維提升】此類問題中，往往是兩根繩子恰無拉力時為角速度出現(xiàn)極大值和極小值的臨界條件，抓住臨界條件、分析小球在臨界位置的受力情況是解決此類問題的關鍵.【拓展3】如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角30°，一條長為l的繩，一端固定在圓錐體的頂點O，另

12、一端系一個質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點)，小球以速率v繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運動.試分析討論v從零開始逐漸增大的過程中，球受圓錐面的支持力及擺角的變化情況.【解析】(1)臨界條件：小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為v0，小球受重力和繩子的拉力的合力提供向心力，則有F向mgtan 30° m，解得v0(2)當v<v0時，小球除受到重力和繩子的拉力外，還受到圓錐面的支持力，如圖所示，則有F向FTsin 30°FNcos 30°mFTcos 30°FNsin 30°mg速度越大，支持力越小.(3)當v>v0時，小球離開錐面飄起來，

13、設繩與軸線夾角為，則FTsins m速度越大，繩與軸線夾角越大.易錯門診【例4】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R(比細管的半徑大得多)，圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球(可視為質(zhì)點).A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2.它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0.設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應滿足的關系式是.【錯解】依題意可知在A球通過最低點時，圓管給A球向上的彈力N1為向心力，則有N1m1B球在最高點時，圓管對它的作用力N2為m2的向心力，方向向下，則有N2m2因為m2由最高點到最低點機械能守恒，則有m2g2RN1N2由式解得v0【錯因】錯解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏規(guī)范的解題過程.沒有作受力分析，導致漏掉重力，表面上分析出了N1N2，但實際并沒有真正明白為什么圓管給m2向下的力.總之從根本上看還是解決力學問題的基本功受力分析不過關.【正解】首