中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究

1、解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究王文彬極點與極線是圓錐曲線內(nèi)在的幾何特征，在解析幾何中必然有所反映，有所體現(xiàn).現(xiàn)將 具體研究結(jié)果報告如下：§ 1 點與極線的定義1.1 幾何定義如圖，P是不在圓錐曲線上的點，過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H ,連接EH,FG交于N ,連接EG,FH交于M ,則直線MN為點P對應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點，則過P點的切線即為極線.由圖1可知，同理PM為點N對應(yīng)的極線，PN為點M所對應(yīng)的極線.MNP稱為自極三點形.若連接MN交圓錐曲線于 點AB,則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.事實上，圖1也給出了兩切線交點P對應(yīng)的極線的一種

2、作法.1.2 代數(shù)定義已知圓錐曲線： Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F =0 ,則稱點P(x ,y )和直線00I： Ax -x Cy+y ( Df x) hx ( 6- y) +y 碟錐曲線F的一對極點和極線.0000X + X事實上，在圓錐曲線方程中，以X2替換X2,以方一替換X(另一變量y也是如此)即可得到點P(x,y )極線方程.特別地：X2 V2(1)對于橢圓一+入=1, a2 b2(2)對于雙曲線9 = 1,與點P(Xo，°y )對應(yīng)的極線方程為 去召1； 對于拋物線y2 = 2px,與點P(x«y)對應(yīng)的極線方程為yy = p(x + x).

3、§ 2 極點與極線的基本結(jié)論定理1當(dāng)P在圓錐曲線r上時，則極線I是曲線在P點處的切線；(2)當(dāng)P在r外時，則極線i是曲線從點P所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點 弦所在直線)；(3)當(dāng)P在r內(nèi)時，則極線I是曲線r過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對Ax2 + Cy2 + 2Dx+2Ey+F =0的方程，兩邊求Ax+ D-導(dǎo)得2Ax+2Cyy' + 2D + 2Ey' = 0,解得y 二 不無，于是曲線在P點處的切線斜率Ax + DAx + D為k=-,故切線I的方程為yy = 胃(x-x ),化簡得 Cv +E7 Cv +E 

4、6;Ax x + Cy y- Ax2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey =0 ,又點 P 在曲線上，故有000000Ax2 + Cy 2 + 2Dx +2Ey + F =0,從中解出Ax 2 +Cy 2,然后代和可得曲線在P點000000處的切線為l：Ax0x+Cy°y+D(x+Xo)+E(y+yo)+ F=。.(2)設(shè)過點P所作的兩條切線的切點分別為 M(x,yi)zN(x/ yp ,則由(1)知，在點M,N處的切線方程分別為A x快1Axx +Cyy + D(x +x) + E(y + y)+ F =0,又點 2222P在切線上，所以有Axx + D(x +

5、xq)+ E(y+ y°) + F =0和Ax x +Cy v + D(x +x )+ E(y + y ) + F = 0, 0 20 22020觀察這兩個式子，可發(fā)現(xiàn)點M(x/ypzN(X2, 丫2)都在直線AxQX + Cyoy+ D(x+xq) + E(y+ yQ) + F =0 上，£+y(y 戶x+ ( x + E V 和8 F 1又兩點確定一條直線，故切點弦MNAx x+Cy y+ D(x+x )+ E(y+ y ) + F =0.設(shè)曲線r過P(x,y)的弦的兩端點分別為S(x,y),T(x,y ),則由知，曲線在001122這兩點處的切線方程分別為Axx +

6、Cyy+D(X+x)+E(y+y) + F =0和 Ax x+Cy y+ D(x +x) + E(y + y) + F =0,設(shè)備切線一交點為則著AXm + Cyn+D(x + m) +E(y+n) +F =0,Ax m + Cy n+ D(x +m)+ E(y +n) + F =0, Qnxn)2222觀察兩式可發(fā)現(xiàn)S(X,y)T(X2, v)在直線Axm + Cyn+D(x+m) +E(y+n) +F =0 上,又兩點確定一條直線，所以直線ST的方程為Axm + Cyn+D(x+m) + E(y+n)+F =0,又直線 ST 過點 P(x,y ),所以 Ax m + Cy n+ D(x +

7、m) + E(y +n)+ F =0,因而點000000Q(m,n)在直線 Ax x+Cy y+ D(x +x) + E(y +y) + F =0上.0000所以兩切線的交點的軌跡方程是Ax'+Cyj+D(x°+x) + E(y +y) + F =0.定理2若圓錐曲線中有一些極線其點于點P ,則4些極線相目的極點共線于點P相 應(yīng)的極線，反之亦然.即極點與極線具有對偶性,如圖40)(2)所示.§ 3 極點與極線在教材中的體現(xiàn)極點與極線反映的是圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn).3.1 圓錐曲線的焦點與準(zhǔn)線是一對特殊的極點與極線 如果圓錐曲線是橢圓

8、3+）1,當(dāng)P（x°,°y）為其焦點F（c,。寸，極線xx V va2x2 v24+9 = 1變?yōu)閄=一，恰是橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線 4二1,當(dāng)ab2ca 22 b2xx v va2P（x°，y。）為其焦點F（c,O）時，極線東-$ = 1變?yōu)閤=w，恰是雙曲線的準(zhǔn)線；如果P圓錐曲線是拋物線y2 = 2px,當(dāng)P/）為其焦點F （與,0）時，極線y°y= p（x0+x）變 p為x=恰是拋物線的準(zhǔn)線.3.2 許多習(xí)題都有極點與極線的背景，均可借助極點與極線方法求解y，y，求吟瞌嵩F管,必B嗡,"故【例1】過拋物線y2 = 2px的焦點的

9、一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標(biāo)為三點對應(yīng)的極線方程分別受西而PV2V 2x=-, yy 二 p（一 +x"ny2y=p（ 2 +x）,由于AF,B三點共線，根據(jù)定理2可知，對應(yīng)的p三條嚶共點通x 二二代入后幽式得_ 2 122227y 2 p2圖 51p21 p2Vy2 p2yy; y2- ，y2y= v2_ ，兩式相除得 九 = % H y-p2.22作為課本一習(xí)題，2001年全國高考試卷19題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明 這一高考題.設(shè)拋物線y2 = 2px的焦點為F ,過焦點F的直線交拋物線于兩點A, B,點C 在拋物線的準(zhǔn)線上，且6c響亍于x軸，證明直線&

10、quot;AC）必過原點. V k-Fy= I簡證：如圖5,設(shè)筆丫尸兄% ，則C（一 丫2，從而葭=，=P , 萬一 *1 一 2p =y + p py占3.3教材中涉及到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定問題，均可化為極點與 圓錐曲線的位置關(guān)系問題來解決【例2】（1）已知拋物線的方程為y2 = 4x,直線I過定點P（-2,1）,斜率為k,問k為 何值時，直線I與拋物線只有一個公共點，有兩個公共點，沒有公共點？（2）已知雙曲線1=1,過點P（1,1）能否作直線I,與雙曲線交于AB兩點，且P是線段AB的中點?解：(1)直線I的方程為y-1 = k(x+2),即y=kx+2k+L設(shè)直線I對應(yīng)的極點為2P

11、(xzy ),則相應(yīng)的極線應(yīng)為y y=2(x+x )x,即丫 = _x+_2.，故"o,0o o ' 丫 2ky + y =2x1% = k + 2當(dāng)kw。時,k ,直線l與拋物線有兩個公共點=P(x,y)在拋物線外2o oV Y。k41oy2>4x 4(-+ 2),解得1。k2 k11vjc一且kwO；同理可求得當(dāng)k = 1或§=-1或k = 0時直線與拋物線只有一個公共點；當(dāng)k<1或k> g時直線與拋物線沒有公共點. (2)設(shè)A(x°, y°),則由P是線段AB的中點得B(2 xQy),而AB在雙曲線上，1,而 2X-名=1

12、2小4二1故，兩式相減得4x /y =乙即2X 坐】(2 X-六=100° 2是點(2,2)對應(yīng)的極線，但點(2,2)在雙曲線內(nèi)，故極線與雙曲線相離，這和已知“直線與 雙曲線相交”矛盾，故這樣的直線不存在.§ 4 極點與極線在各種考試中的深層體現(xiàn)4.1 高考試題中的極點與極線極點與極線作為具體的知識點盡管不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也 不屬于高考考查的范圍，但是極點與極線作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中必然 會有所反映.事實上，極點與極線的知識常常是解析幾何高考試題的命題背景.例3 (2006年全國試卷1121)已知拋物線X2 = 4y的焦點為F , A

13、,B是拋物線上的兩動點，且AF=XFB(X>0),過A,B兩點分別作拋物線的切線， 并設(shè)其交點為P.(1)詼明FP-AB為定值；(2)設(shè)AABP的面積為S,寫出S= f。)的表達(dá)式，并求S的最小值._解：設(shè)點P(x,1),A(x,y),B(x,y),01122F, A, B三點對應(yīng)的極線方程分別為 y=-1, xx=2(yi + y) , xx = 2(yy),由于 AB,卜三點共線，故相應(yīng)的三極線共點于P(x,-1),代入極線方程得*二行%-1),0ix2 = 2(y2-1)兩式相減得(X -X )x =2(y -y ).12012又FP = (x,-2),AB = (x -x,y -

14、y),故FPAB = x (x -x)-2(y -y) = 0.0212102121(2)設(shè)AB的方程為y=kx+1,與拋物線的極線方程x惹= 2(y jy)對比可知直線AB 對應(yīng)的極點為P(2k,廿r把y=kx+1代入x2 = 4y并由弦長公式得 伸|= 4(1 + k2),所 以SAABP=fAB|FP|=2Cl+k2)j4(1+k2).顯然，當(dāng)k = 0時，S取最小值4.【例4】(2005江西卷22)設(shè)拋物線C:y=x2的焦點為F ,動點P在直線I ： X-y-2= 0 上運(yùn)動，過P作拋物線的兩條切線PA,PB, 且與拋物線分別相切于AB 兩點.(1)求AAPB的重心G的軌跡方程；(2)

15、證明/PFA=/PFB.解：設(shè)點P(x,y),A(x,y),B(x,y),001122與x對於知直線I: xy2 = 0對應(yīng)的1極點為(彳,2), P為直線I上的動點，則點P對應(yīng)1的極線AB必恒過點(12).k c1y+7-2設(shè)AB:y2=k(xm ,可化為故直線AB對應(yīng)的極點為k kk-2),將直線AB的方程代入拋物線方程得x2-kx+萬-2 = 0 ,由此得x +x = kzy + y = k(x +x -1)+4= k-k+4, AAPB的重心G 的軌跡方程為 121212r . kk+z 卜邛=- = 21,消去k 即得y=：(4x2 x+2).k2 k+4+k_2 k2k + 231

16、y="-213-3k kk(2)由可設(shè)點 P(,萬2), A(xzx2);B(X2,X22),且xjX2=k,x15= -2,1 x +x 11FA = (x,X：彳)，F(xiàn)P = (、2 2,X"-R , FB = (x,x；-).所以coszAFP =上FP FAx +x11111+ (XX2 q)維力 _(X1X2 +4)(x12 +4 _FP|(x；+J |FP同理 cos/AFP =FP-FBHFFP所以有/PFAmNPFB.評析：上述解法不僅簡潔易Itr而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點 共線問題，往往都能起到事半功倍的效果.這里不再一一列舉.4.2競

17、賽試題中的極點與極線作為更高要求的數(shù)學(xué)競賽，有關(guān)極點與極線的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來越受到重視.【例5】(2002澳大利亞國家數(shù)學(xué)競賽)已知aABC為銳角三角形，以AB為直徑的。K 分別交AC,BC于RQ,分別過A和Q作。K的兩條切線交于點R,分別過B和P作。K 的兩條切線交于點S,證明點C在線段RS上.下面將圓加強(qiáng)為橢圓，并給出證明.證明：以AB為x軸，線段AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為+' = 1,并設(shè)點S(a,y)R(a,y,則R點對應(yīng)的極線AQ: +? = 1，代入橢圓方程解得點Q(a(y 2-b2) 2b2yy22 + b2，y2 + b2),直線B Q 法乂( x

18、-反 同理我們可以得到直線 aAP:y = X(x+a),將直線BQ的方程與AP的方程聯(lián)立解得C( 乂二的a,上必)，m ay»證其坐標(biāo)滿足直線RS: y-y =、/(x-a)的方程，所以三點共線.1 /a評析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1】，而用極點與極線方法證明不僅顯得 簡潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線上.【例6】(中等數(shù)學(xué)2006年第8期P42)過橢圓卷+ 71內(nèi)一點M (3,2)作直線AB 與橢圓交于點A,B,作直線CD與橢圓交于點C,D,過AB分別作橢圓的切線交于點P, 過C, D分別作橢圓的切線交于點Q,求B Q連線所在的直線方程評析：該題實質(zhì)上就是求

19、橢圓嘏+5=1內(nèi)一點M(3,2)對應(yīng)的極線方程，由定理1立即可得答案為二二+-=1. 25 9X21 1【例7】中學(xué)數(shù)學(xué)2006年第7期新題征展77)設(shè)橢圓方程為區(qū)+ y2 =1,點M,過點M的動直線與橢圓相交于點A,B,點AB處的切線相交于點N ,求證點N的軌跡是 一條定直線.評析：顯然該定直線為點對應(yīng)的極線：+2=1.從例6、例7可以看到，以極點與極線為背景的試題深受命題者的青睞.43 一些結(jié)論中的極點與極線圓錐曲線中有關(guān)極點與極線的性質(zhì)，一直是人們探討的熱點，文3與文【3】所述的 圓錐曲線性質(zhì)都源于圓錐曲線中極點與相應(yīng)的極線的性質(zhì),譬如【定理】【2】 線段PQ是過橢圓三+乙= 1(a&g

20、t;b>0)長軸上定點a2 b2M(m,O)(mwO,mw土a)的弦，S,T是長軸上的兩個頂點，直線SRSQ與直線I: x=而交于A(x , y ), B(x , y )兩點，并且直線PQ的斜率k存在且不為零，則有A A B B2b2m2b2 - a2b2y + y =p, y y .a 7b mk a7b m2這個定理在雙曲線與拋物線中也成立.利用該定理還可證明文【5至13中所述的結(jié) 論.32評析：由定理1知，該定理中定點M(m,O),直線l:x= 一即為一對極點與極線，從 m另一方面來說，該定理是【例1】的推廣形式，作者把它稱為一個基礎(chǔ)性定理，是因為該定 理可以證明很多圓錐曲線的性質(zhì).事實上，文【2】所述的圓錐曲線性質(zhì)也都可以用極點與極 線的性質(zhì)證明，文【3】則完全是定理1的一種特例.定理1和定理2反映極點與相應(yīng)的極線的基本性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛.一點一線，闡述著數(shù)學(xué)的樸素之美，也是極致之美.參考文獻(xiàn)1 史鈔.幾道數(shù)學(xué)競賽題的簡解.中等數(shù)學(xué)，