中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中極點(diǎn)與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究

1、解析幾何中極點(diǎn)與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究王文彬極點(diǎn)與極線是圓錐曲線內(nèi)在的幾何特征，在解析幾何中必然有所反映，有所體現(xiàn).現(xiàn)將 具體研究結(jié)果報(bào)告如下：§ 1 點(diǎn)與極線的定義1.1 幾何定義如圖，P是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H ,連接EH,FG交于N ,連接EG,FH交于M ,則直線MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過P點(diǎn)的切線即為極線.由圖1可知，同理PM為點(diǎn)N對應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M所對應(yīng)的極線.MNP稱為自極三點(diǎn)形.若連接MN交圓錐曲線于 點(diǎn)AB,則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線.事實(shí)上，圖1也給出了兩切線交點(diǎn)P對應(yīng)的極線的一種

2、作法.1.2 代數(shù)定義已知圓錐曲線： Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F =0 ,則稱點(diǎn)P(x ,y )和直線00I： Ax -x Cy+y ( Df x) hx ( 6- y) +y 碟錐曲線F的一對極點(diǎn)和極線.0000X + X事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以X2替換X2,以方一替換X(另一變量y也是如此)即可得到點(diǎn)P(x,y )極線方程.特別地：X2 V2(1)對于橢圓一+入=1, a2 b2(2)對于雙曲線9 = 1,與點(diǎn)P(Xo，°y )對應(yīng)的極線方程為 去召1； 對于拋物線y2 = 2px,與點(diǎn)P(x«y)對應(yīng)的極線方程為yy = p(x + x).

3、§ 2 極點(diǎn)與極線的基本結(jié)論定理1當(dāng)P在圓錐曲線r上時(shí)，則極線I是曲線在P點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)P在r外時(shí)，則極線i是曲線從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn) 弦所在直線)；(3)當(dāng)P在r內(nèi)時(shí)，則極線I是曲線r過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對Ax2 + Cy2 + 2Dx+2Ey+F =0的方程，兩邊求Ax+ D-導(dǎo)得2Ax+2Cyy' + 2D + 2Ey' = 0,解得y 二 不無，于是曲線在P點(diǎn)處的切線斜率Ax + DAx + D為k=-,故切線I的方程為yy = 胃(x-x ),化簡得 Cv +E7 Cv +E 

4、6;Ax x + Cy y- Ax2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey =0 ,又點(diǎn) P 在曲線上，故有000000Ax2 + Cy 2 + 2Dx +2Ey + F =0,從中解出Ax 2 +Cy 2,然后代和可得曲線在P點(diǎn)000000處的切線為l：Ax0x+Cy°y+D(x+Xo)+E(y+yo)+ F=。.(2)設(shè)過點(diǎn)P所作的兩條切線的切點(diǎn)分別為 M(x,yi)zN(x/ yp ,則由(1)知，在點(diǎn)M,N處的切線方程分別為A x快1Axx +Cyy + D(x +x) + E(y + y)+ F =0,又點(diǎn) 2222P在切線上，所以有Axx + D(x +

5、xq)+ E(y+ y°) + F =0和Ax x +Cy v + D(x +x )+ E(y + y ) + F = 0, 0 20 22020觀察這兩個(gè)式子，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M(x/ypzN(X2, 丫2)都在直線AxQX + Cyoy+ D(x+xq) + E(y+ yQ) + F =0 上，£+y(y 戶x+ ( x + E V 和8 F 1又兩點(diǎn)確定一條直線，故切點(diǎn)弦MNAx x+Cy y+ D(x+x )+ E(y+ y ) + F =0.設(shè)曲線r過P(x,y)的弦的兩端點(diǎn)分別為S(x,y),T(x,y ),則由知，曲線在001122這兩點(diǎn)處的切線方程分別為Axx +

6、Cyy+D(X+x)+E(y+y) + F =0和 Ax x+Cy y+ D(x +x) + E(y + y) + F =0,設(shè)備切線一交點(diǎn)為則著AXm + Cyn+D(x + m) +E(y+n) +F =0,Ax m + Cy n+ D(x +m)+ E(y +n) + F =0, Qnxn)2222觀察兩式可發(fā)現(xiàn)S(X,y)T(X2, v)在直線Axm + Cyn+D(x+m) +E(y+n) +F =0 上,又兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線ST的方程為Axm + Cyn+D(x+m) + E(y+n)+F =0,又直線 ST 過點(diǎn) P(x,y ),所以 Ax m + Cy n+ D(x +

7、m) + E(y +n)+ F =0,因而點(diǎn)000000Q(m,n)在直線 Ax x+Cy y+ D(x +x) + E(y +y) + F =0上.0000所以兩切線的交點(diǎn)的軌跡方程是Ax'+Cyj+D(x°+x) + E(y +y) + F =0.定理2若圓錐曲線中有一些極線其點(diǎn)于點(diǎn)P ,則4些極線相目的極點(diǎn)共線于點(diǎn)P相 應(yīng)的極線，反之亦然.即極點(diǎn)與極線具有對偶性,如圖40)(2)所示.§ 3 極點(diǎn)與極線在教材中的體現(xiàn)極點(diǎn)與極線反映的是圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn).3.1 圓錐曲線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是一對特殊的極點(diǎn)與極線 如果圓錐曲線是橢圓

8、3+）1,當(dāng)P（x°,°y）為其焦點(diǎn)F（c,。寸，極線xx V va2x2 v24+9 = 1變?yōu)閄=一，恰是橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線 4二1,當(dāng)ab2ca 22 b2xx v va2P（x°，y。）為其焦點(diǎn)F（c,O）時(shí)，極線東-$ = 1變?yōu)閤=w，恰是雙曲線的準(zhǔn)線；如果P圓錐曲線是拋物線y2 = 2px,當(dāng)P/）為其焦點(diǎn)F （與,0）時(shí)，極線y°y= p（x0+x）變 p為x=恰是拋物線的準(zhǔn)線.3.2 許多習(xí)題都有極點(diǎn)與極線的背景，均可借助極點(diǎn)與極線方法求解y，y，求吟瞌嵩F管,必B嗡,"故【例1】過拋物線y2 = 2px的焦點(diǎn)的

9、一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為三點(diǎn)對應(yīng)的極線方程分別受西而PV2V 2x=-, yy 二 p（一 +x"ny2y=p（ 2 +x）,由于AF,B三點(diǎn)共線，根據(jù)定理2可知，對應(yīng)的p三條嚶共點(diǎn)通x 二二代入后幽式得_ 2 122227y 2 p2圖 51p21 p2Vy2 p2yy; y2- ，y2y= v2_ ，兩式相除得 九 = % H y-p2.22作為課本一習(xí)題，2001年全國高考試卷19題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明 這一高考題.設(shè)拋物線y2 = 2px的焦點(diǎn)為F ,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)A, B,點(diǎn)C 在拋物線的準(zhǔn)線上，且6c響亍于x軸，證明直線&

10、quot;AC）必過原點(diǎn). V k-Fy= I簡證：如圖5,設(shè)筆丫尸兄% ，則C（一 丫2，從而葭=，=P , 萬一 *1 一 2p =y + p py占3.3教材中涉及到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定問題，均可化為極點(diǎn)與 圓錐曲線的位置關(guān)系問題來解決【例2】（1）已知拋物線的方程為y2 = 4x,直線I過定點(diǎn)P（-2,1）,斜率為k,問k為 何值時(shí)，直線I與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)？（2）已知雙曲線1=1,過點(diǎn)P（1,1）能否作直線I,與雙曲線交于AB兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)?解：(1)直線I的方程為y-1 = k(x+2),即y=kx+2k+L設(shè)直線I對應(yīng)的極點(diǎn)為2P

11、(xzy ),則相應(yīng)的極線應(yīng)為y y=2(x+x )x,即丫 = _x+_2.，故"o,0o o ' 丫 2ky + y =2x1% = k + 2當(dāng)kw。時(shí),k ,直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)=P(x,y)在拋物線外2o oV Y。k41oy2>4x 4(-+ 2),解得1。k2 k11vjc一且kwO；同理可求得當(dāng)k = 1或§=-1或k = 0時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k<1或k> g時(shí)直線與拋物線沒有公共點(diǎn). (2)設(shè)A(x°, y°),則由P是線段AB的中點(diǎn)得B(2 xQy),而AB在雙曲線上，1,而 2X-名=1

12、2小4二1故，兩式相減得4x /y =乙即2X 坐】(2 X-六=100° 2是點(diǎn)(2,2)對應(yīng)的極線，但點(diǎn)(2,2)在雙曲線內(nèi)，故極線與雙曲線相離，這和已知“直線與 雙曲線相交”矛盾，故這樣的直線不存在.§ 4 極點(diǎn)與極線在各種考試中的深層體現(xiàn)4.1 高考試題中的極點(diǎn)與極線極點(diǎn)與極線作為具體的知識點(diǎn)盡管不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也 不屬于高考考查的范圍，但是極點(diǎn)與極線作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中必然 會有所反映.事實(shí)上，極點(diǎn)與極線的知識常常是解析幾何高考試題的命題背景.例3 (2006年全國試卷1121)已知拋物線X2 = 4y的焦點(diǎn)為F , A

13、,B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF=XFB(X>0),過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線， 并設(shè)其交點(diǎn)為P.(1)詼明FP-AB為定值；(2)設(shè)AABP的面積為S,寫出S= f。)的表達(dá)式，并求S的最小值._解：設(shè)點(diǎn)P(x,1),A(x,y),B(x,y),01122F, A, B三點(diǎn)對應(yīng)的極線方程分別為 y=-1, xx=2(yi + y) , xx = 2(yy),由于 AB,卜三點(diǎn)共線，故相應(yīng)的三極線共點(diǎn)于P(x,-1),代入極線方程得*二行%-1),0ix2 = 2(y2-1)兩式相減得(X -X )x =2(y -y ).12012又FP = (x,-2),AB = (x -x,y -

14、y),故FPAB = x (x -x)-2(y -y) = 0.0212102121(2)設(shè)AB的方程為y=kx+1,與拋物線的極線方程x惹= 2(y jy)對比可知直線AB 對應(yīng)的極點(diǎn)為P(2k,廿r把y=kx+1代入x2 = 4y并由弦長公式得 伸|= 4(1 + k2),所 以SAABP=fAB|FP|=2Cl+k2)j4(1+k2).顯然，當(dāng)k = 0時(shí)，S取最小值4.【例4】(2005江西卷22)設(shè)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F ,動(dòng)點(diǎn)P在直線I ： X-y-2= 0 上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線的兩條切線PA,PB, 且與拋物線分別相切于AB 兩點(diǎn).(1)求AAPB的重心G的軌跡方程；(2)

15、證明/PFA=/PFB.解：設(shè)點(diǎn)P(x,y),A(x,y),B(x,y),001122與x對於知直線I: xy2 = 0對應(yīng)的1極點(diǎn)為(彳,2), P為直線I上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P對應(yīng)1的極線AB必恒過點(diǎn)(12).k c1y+7-2設(shè)AB:y2=k(xm ,可化為故直線AB對應(yīng)的極點(diǎn)為k kk-2),將直線AB的方程代入拋物線方程得x2-kx+萬-2 = 0 ,由此得x +x = kzy + y = k(x +x -1)+4= k-k+4, AAPB的重心G 的軌跡方程為 121212r . kk+z 卜邛=- = 21,消去k 即得y=：(4x2 x+2).k2 k+4+k_2 k2k + 231

16、y="-213-3k kk(2)由可設(shè)點(diǎn) P(,萬2), A(xzx2);B(X2,X22),且xjX2=k,x15= -2,1 x +x 11FA = (x,X：彳)，F(xiàn)P = (、2 2,X"-R , FB = (x,x；-).所以coszAFP =上FP FAx +x11111+ (XX2 q)維力 _(X1X2 +4)(x12 +4 _FP|(x；+J |FP同理 cos/AFP =FP-FBHFFP所以有/PFAmNPFB.評析：上述解法不僅簡潔易Itr而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點(diǎn) 共線問題，往往都能起到事半功倍的效果.這里不再一一列舉.4.2競

17、賽試題中的極點(diǎn)與極線作為更高要求的數(shù)學(xué)競賽，有關(guān)極點(diǎn)與極線的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來越受到重視.【例5】(2002澳大利亞國家數(shù)學(xué)競賽)已知aABC為銳角三角形，以AB為直徑的。K 分別交AC,BC于RQ,分別過A和Q作。K的兩條切線交于點(diǎn)R,分別過B和P作。K 的兩條切線交于點(diǎn)S,證明點(diǎn)C在線段RS上.下面將圓加強(qiáng)為橢圓，并給出證明.證明：以AB為x軸，線段AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為+' = 1,并設(shè)點(diǎn)S(a,y)R(a,y,則R點(diǎn)對應(yīng)的極線AQ: +? = 1，代入橢圓方程解得點(diǎn)Q(a(y 2-b2) 2b2yy22 + b2，y2 + b2),直線B Q 法乂( x

18、-反 同理我們可以得到直線 aAP:y = X(x+a),將直線BQ的方程與AP的方程聯(lián)立解得C( 乂二的a,上必)，m ay»證其坐標(biāo)滿足直線RS: y-y =、/(x-a)的方程，所以三點(diǎn)共線.1 /a評析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1】，而用極點(diǎn)與極線方法證明不僅顯得 簡潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線上.【例6】(中等數(shù)學(xué)2006年第8期P42)過橢圓卷+ 71內(nèi)一點(diǎn)M (3,2)作直線AB 與橢圓交于點(diǎn)A,B,作直線CD與橢圓交于點(diǎn)C,D,過AB分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P, 過C, D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)Q,求B Q連線所在的直線方程評析：該題實(shí)質(zhì)上就是求

19、橢圓嘏+5=1內(nèi)一點(diǎn)M(3,2)對應(yīng)的極線方程，由定理1立即可得答案為二二+-=1. 25 9X21 1【例7】中學(xué)數(shù)學(xué)2006年第7期新題征展77)設(shè)橢圓方程為區(qū)+ y2 =1,點(diǎn)M,過點(diǎn)M的動(dòng)直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)AB處的切線相交于點(diǎn)N ,求證點(diǎn)N的軌跡是 一條定直線.評析：顯然該定直線為點(diǎn)對應(yīng)的極線：+2=1.從例6、例7可以看到，以極點(diǎn)與極線為背景的試題深受命題者的青睞.43 一些結(jié)論中的極點(diǎn)與極線圓錐曲線中有關(guān)極點(diǎn)與極線的性質(zhì)，一直是人們探討的熱點(diǎn)，文3與文【3】所述的 圓錐曲線性質(zhì)都源于圓錐曲線中極點(diǎn)與相應(yīng)的極線的性質(zhì),譬如【定理】【2】 線段PQ是過橢圓三+乙= 1(a&g

20、t;b>0)長軸上定點(diǎn)a2 b2M(m,O)(mwO,mw土a)的弦，S,T是長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線SRSQ與直線I: x=而交于A(x , y ), B(x , y )兩點(diǎn)，并且直線PQ的斜率k存在且不為零，則有A A B B2b2m2b2 - a2b2y + y =p, y y .a 7b mk a7b m2這個(gè)定理在雙曲線與拋物線中也成立.利用該定理還可證明文【5至13中所述的結(jié) 論.32評析：由定理1知，該定理中定點(diǎn)M(m,O),直線l:x= 一即為一對極點(diǎn)與極線，從 m另一方面來說，該定理是【例1】的推廣形式，作者把它稱為一個(gè)基礎(chǔ)性定理，是因?yàn)樵摱?理可以證明很多圓錐曲線的性質(zhì).事實(shí)上，文【2】所述的圓錐曲線性質(zhì)也都可以用極點(diǎn)與極 線的性質(zhì)證明，文【3】則完全是定理1的一種特例.定理1和定理2反映極點(diǎn)與相應(yīng)的極線的基本性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛.一點(diǎn)一線，闡述著數(shù)學(xué)的樸素之美，也是極致之美.參考文獻(xiàn)1 史鈔.幾道數(shù)學(xué)競賽題的簡解.中等數(shù)學(xué)，