單像空間后方交會-習(xí)題

1、單像空間后方交會（遙感07-1、2學(xué)生適用）測繪學(xué)院王雙亭1概述1.1定義利用一定數(shù)量的地面控制點和對應(yīng)像點坐標求解單張像片外方位元素的方法稱為空間 后方交會。1.2所需控制點個數(shù)與分布共線條件方程的一般形式為：X Xoai（X Xs） bi（Y Ys） Ci（Z Zs）yyoa3（XXs）b3（YYs）C3（ZZs）a2（XXs）b2（YYs）C2（ZZs）a3（XXs）b3（YYs）C3（ZZs）（1）式中包含有六個外方位元素,Xs、Ys、Zs、，只有確定了這六個外方位元素的值，才能利用共線條件方程真正確定一張像片的任一像點與對應(yīng)地面點的坐標關(guān)系。個數(shù)：對任一控制點，我們已知其地面坐標（X

2、i、Y、Zi）和對應(yīng)像點坐標（Xi、yi），代入共線條件方程可以列出兩個方程式，因此，只少需要3個控制點才能解算出六個外方位元素。在實際應(yīng)用中，為了避免粗差，應(yīng)有多余檢查點，因此，一般需要46個控制點。分布：為了最有效地控制整張像片，控制點應(yīng)均勻分布于像片邊緣，如下圖所示。分布合理分布合理分布不合理oooooo直接答解十分困難，所以首先將共線方程改化為線性形由于共線條件方程是非線性的， 式，然后再答解最為簡單的線性方程組。(7)2空間后方交會的基本思路2.1共線條件方程線性化的基本思路 在共線條件方程中，令Xai(XXs)bi(YYs)Ci(ZZs)Ya2(XXs)b2( YYs)C2(ZZs

3、)（2）Za3(XXs)b3( YYs)C3(ZZs)Xoy。則共線方程變?yōu)閆 fYZ對上式兩側(cè)同乘 Z，并移至方程同側(cè)，則有f X (X fY (yXo)Zyo)z(4)令FxfX (x X0)Z（5）FyfY (y y0)Z由于上式是共線方程的變形，因此，F(xiàn)x、Fy 是 Xs、Ys、Zs、 、的函數(shù)。對Fx、Fy分別按泰勞級數(shù)展開，并且只保留一次項，得FxFxFxFxFxFxFx (Fx)07XsYsrZsXsYsZs（6）Fy (Fy)0Xy XsFyYs：yZFyZsFyFy u丿XsYsZs式中，（Fx）0、（Fy）0分別是Fx和Fy的初值；-Fx、一氏分別是Fx和Fy對各個外方位?

4、 ?元素的偏導(dǎo)數(shù)；Xs、Ys、Zs、 、分別是Xs、Ys、Zs、 、初值的增量。為了明確（6）式中常數(shù)項的意義，對（6）式兩側(cè)同乘以=，則Z丄FxZ考查（7）舟（Fx）。（旦壬（Fyf（丄）旦Z式中的常數(shù)項,(Fx)0式中X是像點坐標的觀測值;舟）Xs1、FxZ)Fy X運Xs雪Z丄)-FX YsZ Ys丄)FyZYs Ys 丄)旦 Zif X （X（X X。）（X計 X0）= （X X計）X0)Z(X Xo)1 Fx1) Fy(f|)ZsZs(8)X計是由相應(yīng)地面坐標和外方位元素初值計算出的像點坐標。這樣（7）式中的常數(shù)項就有明確的意義，即為像點觀測值和計算值之差。 同樣也可以得到，F(xiàn)y)。

5、1 評丫 (y yo)Z(y(yY yo) ( f)(9)現(xiàn)將（7）式改寫為VxaiiVya21XsXsai2a22YsYsyo) (y計yo)= (yai3a23ZsZsai4a24ai5ai6a26lxly(10)式中，Vx、Vy為殘差;aij為系數(shù);X s、Ys、Zs、是待求值，l X、l y是像點觀測值和計算值之差。與(7)1 Fx式相比較，顯然有aiiai2ai3=ai尸ai5=ai6ZXs1FxZYs1FxZZs1FxZ1FxZ1Fxa21a22a23=a24 =a25 =ZXs1FyZYs1FyZZs1FyZ1FyZ1JFyFy(IOa)a26=Zy y計式（io）就是以外方位元

6、素增量為待求值的共線條件方程線性化公式,lxly也稱誤差方程式。要得到完整的線性化形式，關(guān)鍵是求各個系數(shù) ajj ,而求ajj的關(guān)鍵是求出Fx、Fy對各個外方位元素的偏導(dǎo)數(shù)。如何求偏導(dǎo)數(shù)，將在共線方程線性化部分介紹。2.2 答解外方位元素的基本過程10)式列出兩個誤差方程式， n 個控制點可列出 2n 個方程，用每個控制點都可以按（矩陣形式可表示為：式中1vx12v yvx2vy2111a11a12a16111a21a22a 26222a11a12a16222a21a22a 26nnna11a12a16nnna21a22a 26XSYSZSl x1 l y1lx2ly2如果能答解這AXnvxv

7、ynlxn lyn T2n 個方程構(gòu)成的方程組，則可得到外方位元素的增量。11)具體的求解過程應(yīng)是一個迭代過程：1）給出外方位元素的初值，X S00 0 0 0 0 YS 、 ZS 、 、 、2）對每個控制點計算誤差方程式系數(shù)aj和lx、ly,從而按（10）式組成誤差方程式;3 ） 答 解 線 性 方 程 組得 到 每 個 外 方 位 元 素 的 增 量X S 、YS、Z S、（ 4）將增量和初值相加，得到新的外方位元素值;（ 5）各個增量是否小于規(guī)定的限差？若是，則停止迭代運算;若不是，則將新外方位 元素值作為初值重復(fù)（2）（5）。2.3 誤差方程組的答解方法（最小二乘原理）式（ 11）是一

8、個由 2n 個方程組成的誤差方程組，且方程個數(shù)多于待求值的個數(shù)，對這 樣的方程組應(yīng)如何答解呢？在攝影測量中一般按最小二乘原理進行答解。按 最小二乘原理 ，求出的待求參數(shù)的最佳估計值應(yīng)使各誤差方程式的殘差平方和為最 小，即滿足12)V T Vmin這樣就轉(zhuǎn)化為 VTV 對待求值的求極值問題。F面以式（11）為例，說明求極值后誤差方程式的變化。將V T V 分別VTVXsVTVYsVTVZsVTVVTVVTV對 Xs、Ys、Zs、求極值，即令(13)這樣將得到六個新的線性方程式,方程式的個數(shù)與待求值的個數(shù)相同。解這個方程組，則可得到 Xs、Ys、Zs、的最佳估計值。在測量平差中把由式（11）變?yōu)槭?/p>

9、(14)（13）的過程稱為誤差方程式的法化，法化后的方程式稱為法方程式。顯然，法方程式的系數(shù)和常數(shù)項將與誤差方程式不同。究竟法方程式的系數(shù)、常數(shù)項和原誤差方程式有什么變化， 又有什么關(guān)系呢？這可以通過較復(fù)雜的推導(dǎo)過程來找到。在這里，我們略去推導(dǎo)過程， 只按矩陣方式給出結(jié)論。由于VTV(AX L)T(AX L) XTATAX 2XTATL LT LVTV2ATAX 2ATL 0整理后有ataxatlATA 即為法方程式的系數(shù)陣。兩邊同乘以N 1，則可求出X，即該式即為 Xs、Ys、Zs、的解。3共線條件方程的線性化在“共線條件方程線性化的基本思路”中，我們知道：共線條件方程線性化的關(guān)健是求 各個

10、偏導(dǎo)數(shù)( 旦和一巳),下面我們分別求取線元素和角元素的偏導(dǎo)數(shù)。3.1線元素的偏導(dǎo)數(shù)已知FxFyf XfY(X(yFxx7XxSXai(XXs)D(YYs)C1(ZZs)和Ya2(XXs)b2( YYs)C2(ZZs)Za3(XXs)b3( YYs)C3(ZZs)(X Xo)Zaja3(xXo)SZXo)Zyo)ZXo) YsFxYsYs(Xbifb3(x Xo)FxZ7(XXo)zsCi fC3(XXo)(15)FyXsFyYsYXsY(yyo)子X sa2fa3(y yo)FyZsfYsf上Zs(y(y、Zyryo)Zsb2 fb3(y yo)第二步：求XY、z對、的偏導(dǎo)數(shù)，共有9個;如果把

11、內(nèi)方位元素也作為未知數(shù)進行答解,3.2FX竺ZXo亞oXoFXyoFyyo角元素的偏導(dǎo)數(shù)FxfFyFx和Fy是角兀素的復(fù)合函數(shù)，為了推導(dǎo)的方便，我們將對角元素求導(dǎo)數(shù)的過程分為三個步驟。第一步：求各個方向余弦 的偏導(dǎo)數(shù)，共有27個;第三步:Fx、Fy對角兀素的偏導(dǎo)數(shù)，共6個?！镜谝徊健恳阎猘,coscos-sinsinsina2-cos sin-sinsincosa3-sincosblcossinb2coscosb3-sinCisincoscossinsinC2-sinsincossincosC3coscos則有aiCi,aia3S in ,aia2,a2C2,a2a3 cos ,a2ai,a3

12、C3,a3sin sina30,b,0,b,b3S in,bib2,b20,b2b3 cos ,b2bi,b30,b3cosb30,Ciai,CiC3 sin ,CiC2,C2a2 ,C2C3Cos ,C2Ci,C3as,C3COS sinC30,【第二步】在求X Y、Z對、的偏導(dǎo)數(shù)時,只需將各方向余弦的偏導(dǎo)數(shù)代入即可。但，為X、Y、Z 和了公式的簡單與工整，應(yīng)利用各個方向余弦間的關(guān)系，將各個導(dǎo)數(shù)盡量化為由ai、bi、Ci表示的形式。這樣在乘以1后，考慮ZXoyofiZ，各個系數(shù)很容易化成f 丫Z以X、y表示的形式。XF面僅以求為例，說明X、丫、Z對、偏導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程。由 X ai(X Xs)

13、 bi(Y Ys) Ci(ZZs）可得:由于皀C1、一3-1b1(X Xs)(Ya1，代入上式有C1-(Z Zs)這個式子顯然不是用Ci(X Xs) ai(Z Zs)X、Y、Z表示的形式，如何將其化為以 X、Y、Z表示的形式呢？前面我們講旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)時,已知道旋轉(zhuǎn)矩陣的每個元素等于其代數(shù)余子式，因此有Ci( 1)i ja2b2a3b3，ai ( 1)i jb2b3C2C3，這里i、j是元素的行、列數(shù)。代入上式，有bsYb2ZZ sin YY YbsXb1ZZ COSXb2Xb”ZX sinY COS可等到全部9個偏導(dǎo)數(shù)如下:(32 b3a3b2)(XXs)(b2C3b3C2)(ZZs)a2b

14、3(XXs)a3b2(XXs：)b2C3 (ZZs)b3C2(ZZsb3a2(XXs)C2(ZZs)b2a3(XXs)C3(ZZs)b3a2(XXs)C2(ZZs)b2a3(XXs)C3(ZZs)b3a2(XXs)b2（ 丫Ys)C2(Z Zs)b2a3(XXs)b3（丫丫 b2Z對其余的求導(dǎo)也作類似處理,)bA Ys) b3b2(Y Ys)Ys)C3(Z Zs)【第三步】直接對Fx、Fy求、的偏導(dǎo)數(shù)，并將上式分別代入即可得到 6個角元素偏導(dǎo)數(shù),Fxf -X(XX0)-Zf( bsYbj)(XX0)(b2X b1Y)FxXZf -(XX0)-Z f sin(Xx0 )(X sinY cos )

15、FxXZf -(XX0)-fYFyYZf(yy。)-f( bsYb1Z)(y y0)(b2X dY)FyYZf(yy。)-Z f cos(yy0)(Xsi nY cos )FyYZf(yy0)-f X誤差方程的各個系數(shù) 將（15）和（16）(16)3.3a11Za1fa3(xX0)a21= a2 fa3(ya12丄dfZb3(xX0)a22=b2fZb3(y%|c1fC3(XX0)a23jG fc3(ya14(X X0)(y 壯)b1a24f (yy0)2中,即可得到誤差方程式的各個系數(shù)，即式代入（10a）bif(X X0)2b2 yb3a,5fjCina25ai6ai73.4(X X0)(y

16、 y0)b2 Xb3(X Xo)(y yo)sin(X X0)(y y0)cosfsinf(y y0)2cos f cos fy yoa26(X Xo)X X0 ,a181,90a27y y。afI 280, a291(17)誤差方程的近似形式在近似垂直攝影情況下，各個角元素都很小,此時,H，代入(17)式，則誤差方程的各個系數(shù)變?yōu)?f0a 11321a 12a 22a 13a 14a 15(X Xq)H(XXq)2f(X XQ)(y y。)fa23a25VxVyy yo這樣，可得到誤差方程的近似形式為a 16a26H Xs-YsH(X Xo)2X x0F Zs fy yo 7 (X Xo )

17、(y yo)ZsHf(X0(y yo)H(X xo)(y yo)(18)f(xxo)(y(y yo)2Xo)yo)(y(Xyo)Xo)(19)lxly空間后方交會的計算過程內(nèi)方位元素(1)獲取已知數(shù)據(jù)。包括：n個控制點的地面坐標(Xi、Y、Zi)；Xo、yo、f ;攝影航高H ;像片比例尺量測n個控制點對應(yīng)的像點坐標(Xi、yi)，并進行必要的系統(tǒng)誤差改正。(3)確定外方位元素的初值X S Ys0-700Z S 、0、0。在近似垂直攝影情況下，各個初值可按如下方法確定:0 1 nXs - Xin i 1Yin i 10Zs H mf(4)計算各個方向余弦，組成旋轉(zhuǎn)矩陣R。逐點計算像點坐標值(Xi計、yi計)，常數(shù)項和誤差方程式系數(shù)，即逐點組建誤差方程式。計算法方程式的系數(shù)陣 ata和常數(shù)陣atl,組成法方程式。(7) 按(14)式解各個外方位元素的增量(或改正數(shù))，并與相應(yīng)初值求和，得到外方位元素的新初值。(8) 檢查計算是否收斂。將所求的外方位元素改正數(shù)與規(guī)定的限差比較，通常只對角元 (20)素的改正數(shù)設(shè)定限差(一般為0.1 )。當三個角改正數(shù)都小于限差時，迭代結(jié)束；否則，用新 的初值重復(fù)(4)(8)步。(9) 外方位元素的精度估算。5空間后方交會的理論精度根據(jù)平差原理，平差后的單位