課題平面幾何圖形面積的求解與應(yīng)用二

1、課題平面幾何圖形面積的求解 與應(yīng)用（二）作者: 日期:課題：平面幾何圖形面積的求解與應(yīng)用（二）x教學(xué)目的：知識與技能：會應(yīng)用函數(shù)思想表示幾何圖形的面積；已知面積（比）求函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù)過程與方法：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、交流、計算等過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、歸納的良好思維習(xí)慣和合作與交流的能力.情感態(tài)度與價值觀：通過觀察、交流、歸納等學(xué)習(xí)活動，感受合作交流的學(xué)習(xí)方式，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.教學(xué)重點與難點:重點是掌握分割幾何圖形求面積的方法，難點是求函數(shù)解析式中自變量的取值范圍教學(xué)用具：直尺、多媒體教學(xué)內(nèi)容:一、引入在平面直角坐標系中，一次函數(shù)和反比例函數(shù)內(nèi)容豐富、涉及的數(shù)學(xué)知識較多，是初中函數(shù)

2、的重要內(nèi)容之一.特別是與函數(shù)圖象有關(guān)的面積問題，已成為近年中考園中一支鮮艷的奇葩.下面舉例說明.二、例題例1、如圖1中正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，分別以A、B兩點為圓心，畫與 y軸相切的兩個圓,若點A的坐標為（1,2）,求圖中兩個陰影面積的和分析：由反比例函數(shù)的對稱性可求點B的坐標，可得兩部分陰影圖形和正好拼接為一個圓再由坐標軸與圓相切可求得兩圓的半徑，從而求得陰影的面積.解:VO A與y軸相切，且坐標為（1 ,2）, O A的半徑等于1.又反比例函數(shù)函數(shù)關(guān)于原點中心對稱點B坐標為（-1, -2 ）,兩陰影的面積和為一個圓的面積5-412圖-6設(shè)計意圖：讓學(xué)生認識到求解與反比

3、例函數(shù)圖象有關(guān)的面積問題時，通常都要用到反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱這一特征.另外,體會數(shù)形結(jié)合思想是解決和函數(shù)有關(guān)問題的常用方法1例2、已知：如圖，直線 y -x 2與x軸交于點 A,與y軸交于點B,點P （x, y）在直線y x 6上運動，且2x 0, y 0.求四邊形AO BP的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍.分析：本題要求四邊形 AOBP的面積S，可以用 CAP的面積與 0B P的面積之和來表示，還可以過P點作x軸或y軸的垂線，將這個不規(guī)則的四邊形拆成一個梯形和一個直角三角形的和或差的方法來解決.求自變量x的取值范圍時應(yīng)注意結(jié)合函數(shù)圖象思考解：解法一：連接 0

4、P1直線y -x 2與x軸、2 A(4,0),B(0,- 2).y軸分別交于點A、B,設(shè) p(x,y),x 0,y0,SSjoBPSoAp-OB2-OA |y2112x 4(x 6) x 12.22x 0,y 0,即 x 60, x 6.解法二：設(shè)y-自變量x的取值范圍是0 x 6.x 6 交 x 軸于 M6,0)，交 y 軸于 N (0,6)，則 S S MON Sbnp Sam p. JLJ解法三：作PGX軸于G則SS梯形pbogSi'iPGA -解法四：作PQy軸于Q則S S梯形 PQOA S PBQ .設(shè)計意圖：通過解此題讓學(xué)生體會在平面直角坐標系中遇上面積問題時,尋找解決問題

5、的突破口時經(jīng)常要利用點的坐標所起的作用，方法多是采取“靠軸”分割圖形求面積的方法.例3、已知直線y x 2與x軸、y軸分別交于點 A和點B,另一直線y kx b(k 0)經(jīng)過點 C (1, 0)，且把 AO B分成兩部分.(1)若 AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值;(2)若 AO B被分成的兩部分面積比為1:5，求k和b的值.分析：直線y kx b與x軸的交點坐標是(£,0),與y軸的交點坐標是(0, b)，因此可得 A (2,0 ) ,B(0, 2) .(1)中 C是O A的中點.(如圖)，因此可知B C將AOE分成的兩部分面積相等，設(shè)直線BC的解析式為y kx 2,代入

6、點C的坐標即可；(2)中應(yīng)注意對可能出現(xiàn)的情況進行分類討論.解：(1)直線y x 2與x軸交點A (2 , 0),與y軸交點B(0 , 2),直線 BC經(jīng)過 B( 0 ,2 ) , C (1, 0 ),b 2,k b 0.b 2,2.經(jīng)過B、C兩點的直線解析式為y 2x 2 .2所以 k 2,b2 .- SjoMC交于M (0, h),兩部分面積比為(2 )設(shè) yX 2 X2,可得6 h=2.3 M0,3 -經(jīng)過點M作直線MN / OA,AB 于 N a,23S',OMCSf CAN .dLNa,2在直線3x 2上,y kxb經(jīng)過0，1、C (1, 0)或 N 4,3 3、C(1, 0

7、).k1解得b123,2;3;k2b22,2.點撥:C (1,0）恰為OA邊的中點，為應(yīng)用“三角形的中線平分面積”提供了條件，“等底同（等）高的兩個三角形面積相等”，“平行線間距離處處相等”都是求解和面積相關(guān)問題常用的知識例4、已知 ABC中,AB AC 3, BAC 90,點D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放在D處.（1）如圖1-1，若BD CD ,將三角板繞點 D逆時針旋轉(zhuǎn)倆條直角邊分別交 AB、AC于點E、點F，求出重疊部分的面積（直接寫出結(jié)果）（2）如圖1-2,若BD CD,將三角板繞點 D逆時針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交 AB于點E、另一條直角邊交 AB的延長線于點 F

8、,設(shè)AE X,兩塊三角板重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；x的取值范圍.（3）若BD 2CD，將三角板繞點 D逆時針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交 AC于點F ,另一條直角邊交射線 AB于點E,設(shè)CF x（x 1），兩塊三角板重疊部分的面積為y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的代數(shù)式表示三角形的底和相應(yīng)的高，另外第（3）問中條件“使一條直角邊交AC于點F ,另一條直角邊交射線AB于點E”應(yīng)分兩種情況分類討論解：（1）S四邊形aedf94 (2)如圖1-3，過點D作D M丄AE于M/ ABAC 3,BAC 90 , BC5/2AB372./ BDCD , BD

9、BC3血.22yBE DM IbE BD sin 4522分析：解此題關(guān)鍵是用含有: 1 x 2, 2 x 3.AB” " Df/圖1-31332(3 X)-3(3 x)(0 x 3). (1)如圖1-4,連結(jié)AD,過D點分別作AB、 AC的垂線，垂足分別為 MN./ ABAC 3, BAC 90 , BC y/2AB 3罷.三、練習(xí)1.函數(shù)2 .求直線BDBDDC2CD,2/2, CD 罷.sinC 運易證 12./ DME= / DNF=90 DME s' DNF .ME DMFN DNCF x(x 1),ME 2FN 2(x3.直線y厲 1,DM BD sin B1).

10、ySi'iADESadf-(2x 1) 2-(3 x)1j22如圖1-5,過D點作A C的垂線,垂足為N.yS：| ABCS)CDF91,-x 12 1x(2JLi2 22 231-x-(1x 2),y2291-x(2x 3).kx(k 0)與 y2x 4和直線2x 8交x軸,4 .如圖，點B在直線y x面積為2，求點B的坐標.5.直線y內(nèi)作等腰直角2.2|x 1(1 x 2).3).2的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于y軸,垂足為 6則' B OC的面積為多少？x2x 6與y軸圍成的三角形的面積.y軸于A、B,直線I過原點交A B于點。，分' AOB的面積為1上

11、，且點B在第四象限，點 A(2,0)、0(0, 0) , ABO的邑1與x軸,y軸分別交點A、B ,以線段AB為直角邊在第一象限31AB C,AB=2, / BAC=90 度，點 P(a, )在第二象限， ABP面積與'A BC 面2積相等，求a的值.簡要答案:1 : 3兩部分，求直線l的解析式.1.12. 2523. y6x 或 yx34. （3，2）5. a四、總結(jié)本節(jié)課要求學(xué)生掌握兩種基本技能:(1)會應(yīng)用函數(shù)思想表示和求解幾何圖形的面積;(2)已知面積(比)求函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù).在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、交流、計算等過程，多動手動腦動口，發(fā)表自己的見解,體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、和轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)思想建議例題由教師引導(dǎo)學(xué)生完成，練習(xí)題學(xué)生盡可能獨立完成，必要時也可以小組合作完成，最后教師引導(dǎo) 學(xué)生進行歸納總結(jié).五、課后反思與函數(shù)有關(guān)的面積問題是考查學(xué)生綜合素質(zhì)和能力的熱點題型,它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想，整體思想和轉(zhuǎn)化例4中第(3 )問條思想，求解這類問題的重點是掌握分割幾何圖形求面積的方法，難點是求函數(shù)解析式中自變