任意角與弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式(知識(shí)精講)-2019-2020高一數(shù)學(xué)(人教A版必修)(原卷版)

1、韓哥智慧之窗.精品文檔專題十四 任意角與弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式知識(shí)精講一知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)任意角與弧度制三角函數(shù)的概念誘導(dǎo)公式弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化角度與弧度的關(guān)系扇形的弧長(zhǎng)、而積扇形的弧長(zhǎng)、面積公式任意角的三角函數(shù)的求值任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)值的求解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系任意角的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)誘導(dǎo)公式二.學(xué)法指導(dǎo)L象限角的判定方法：(1)在坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限.(2)第一步，將a寫(xiě)成a=k 360。+郃右乙。360。)的形式：第二步，判斷的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)的終邊所在的象限，即可確定a的終邊所在的象限.2.所有與角a終邊相同的

2、角，連同角a在內(nèi)可以用式子上360。+。，土CZ表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以 下四點(diǎn)：(1比是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉.(2)a是任意角.(3)左360。與a之間用連接，如公360。-30。應(yīng)看成360。+(30。)，kGZ.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周 角的整數(shù)倍.3 .角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵：抓住互化公式7rrad=180。是關(guān)鍵:(2)方法：度數(shù)又忐=弧度數(shù)：弧度數(shù)*(胃)=度數(shù)；(3)角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度.4 .弧度制下解決扇形相關(guān)問(wèn)題的步驟：(1)明確弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式：/=即，5=如和

3、S4M這里a必須是弧度制下的角)(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式.(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.5 .由角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟：(1)已知角a的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函 數(shù)值.在a的終邊上任選一點(diǎn)P(x, y), P到原點(diǎn)的距離為70).則sin a=p cos a=*已知a的終 邊求a的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便.(2)當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定， 則需分類討論.6 .判斷三角函數(shù)值在各象

4、限符號(hào)的攻略：(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限：(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫(xiě)單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.7、利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫(xiě)成2內(nèi)r+a的形式，其中a0, 2兀)，kGZ.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角a的某個(gè)三角函數(shù)值. )求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值.韓哥智慧之窗.精品文檔1韓哥智慧之窗-精品文檔8、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問(wèn)題的方法:(1)已知角a的某一種三角函數(shù)值，求角a的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是 先選用平方關(guān)系

5、，再用商數(shù)關(guān)系.(2)若角a所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一組結(jié)果；若角a所在的象限不 確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果.9、sina+cosa, sin a-cos a, sinacos a三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求 二“，它們之間的關(guān)系是：(sin aicos a)2 = l2sin acos a.10.已知tana=?，求關(guān)于sin a, cos a的齊次式的值解決這類問(wèn)題需注意以下兩點(diǎn)：(1)一定是關(guān)于sina，cos a的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式； (2)因?yàn)閏osaM，所以可除以cosa,這樣可將被求式化為關(guān)于tan a的表示式

6、，然后代入tana=d刈 值，從而完成被求式的求值.11、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里而的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin% + cos%=l,以降低函數(shù) 次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.12 .證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡(jiǎn)；(2)左右開(kāi)弓，即證左邊、右邊 都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法).13 .技巧感悟：朝目標(biāo)奔.常用的技巧有：(1)巧用的代換：(2)化切為弦：(3)多項(xiàng)

7、式運(yùn)算技巧的 應(yīng)用(分解因式).14 .利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化：(2)“大化小”用公式一將角化為0至IJ 360。間的角：(3)“小化銳”用公式二或四將大于90。的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”得到銳角的三角函數(shù)后求值.15 .解決條件求值問(wèn)題的兩技巧韓哥智慧之窗-精品文檔1韓哥智慧之窗.精品文檔(1)尋找差異：解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算 之間的差異及聯(lián)系.(2)轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1 角的有關(guān)概念的判斷任意角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向

8、分(2)按角的終邊位置分前提：角的頂點(diǎn)與儂重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合.分類：例L (1)給出下列說(shuō)法：銳角都是第一象限角：第一象限角一定不是負(fù)角：小于180。的角是鈍角、直角或銳角： 始邊和終邊重合的角是零角.其中正確說(shuō)法的序號(hào)為(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上).(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角.420。. 855。- 510。.知識(shí)點(diǎn)二終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S=a+360。，k/,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.例題2：寫(xiě)出與。=一1 910。終邊相同的角的

9、集合，并把集合中適合不等式一720?？?60。的元素 寫(xiě)出來(lái).韓哥智慧之窗.精品文檔1知識(shí)點(diǎn)三角度制與弧度制的換算例題3 .(1)將112。30,化為弧度為將一招rad化為角度為知識(shí)點(diǎn)四 扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為五，弧長(zhǎng)為/，。(0。2冗)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：l=aR.(2)扇形面積公式：S=3區(qū)二巡例題4.已知扇形。結(jié)的周長(zhǎng)是60 cm,而積是20 cm2,求扇形。四的圓心角的弧度數(shù).知識(shí)點(diǎn)五任意角的三角函數(shù)的定義 1、(1)條件在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，aR它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x, y),那么:(2)結(jié)論y叫做a的正弦函數(shù),記作sin a,即sma=y

10、：x叫做a的余弦函數(shù)，記作cos a,即cosa=x：?叫做a的正切,記作tan a,即tan。=長(zhǎng)葉0). 4A2、一般地，設(shè)角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為。，回，它與原點(diǎn)的距離為7,，則VXVsin a =；, cos a =p tan a =(x=0).例題5已知角6的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(%7初，且cos 8=*,則sm 6+tan 6的值為知識(shí)點(diǎn)六三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)(1)圖示：(2)口訣：“一全正，二正弦,三正切,四余弦 例題6判斷下列各式的符號(hào):sin 1450cos(210)；sm 3 cos 4 tan 5.知識(shí)點(diǎn)七誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用公式一

11、|cos( a + A： 2/71) = cus a, A： e Z|誘導(dǎo)公式一|sin(a + A: 2b)=sin a* w Z| tan (a + k 2K)=tan。，上 Z|例題7求值:(l)tan 405sin 450+cos 750：(2)sm牛 cos(一尋 |+tan(-苧 kos孚知識(shí)點(diǎn)八應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1 .平方關(guān)系(1)公式：sm2a4-cos2a=l.(2)語(yǔ)言敘述：同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方和等于1.2 .商數(shù)關(guān)系(1)公式：；：=tana(a壬依+冬 kZ).3 2)語(yǔ)言敘述：同一個(gè)角a的正弦、余弦的商等于角a的正切.0例題 8 (1)已知 cosa=二

12、,求 sin a, tan a 的值.(2)已知 sina+cos a=yp a(0,兀)，則 tana=(3)已知堊，土生=2,計(jì)算下列各式的值. sm a-cos a.3sina-cos a4 T7;2sm a+3cos a5 sin% 2sin acos a +1.韓哥智慧之窗.精品文檔知識(shí)點(diǎn)九給角求值問(wèn)題1 .公式二(1)角n+a與角a的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如圖所示.(2)公式：sm(7r+a) = sin a,cos(兀+a) = cos a,tan(7U+a) = tana.2 .公式三(1)角一a與角a的終邊關(guān)于工軸對(duì)稱.如圖所示.(2)公式：sin(-a) =sin atcos(

13、-a) = cos a,tan( - a) = tana.3 .公式四(1)角冗一a與角a的終邊關(guān)于E軸對(duì)稱.如圖所示.(2)公式：sm(7r - a)=sin a,cos(兀a)= co* a,tan(兀-a) =tan a.4 .公式五(1)角己一a與角a的終邊關(guān)于直線對(duì)稱,如圖所示.(2)公式：sin-a) = cos a,cosg-。尸sin a.5 .公式六(1)公式五與公式六中角的聯(lián)系3+a=jrj g-a).1韓哥智慧之窗.精品文檔韓哥智慧之窗.精品文檔（2）公式：sin（5+a ） = cos a,CO35十G J=sin a.例題9求值：sin 1 320。：（2）cos（一半J； （3）已知 5由（卜）=4，貝U的值為五易錯(cuò)點(diǎn)分析例題10.己知，如圖所示.分別寫(xiě)出終邊落在。4,。8位置上的角的集合:寫(xiě)出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.韓哥智慧之窗.精品文檔1i正角是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，區(qū)間角的書(shū)寫(xiě)注意旋轉(zhuǎn)方向，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角變大，區(qū)間角是大于 小角小于大角。易錯(cuò):扇形的弧長(zhǎng)、面電例題1L求半徑為兀cm,圓心角為120。的扇形的弧長(zhǎng)及面積.錯(cuò):區(qū)警，扇