4復數(shù) 中等難度 講義

1、復數(shù) 引入 復數(shù)的引入 （一）復數(shù)的誕生 1545年，意大利數(shù)學家卡丹（或“卡丹諾”1501-1576）發(fā)表重要數(shù)學著作偉大的藝術(shù)，在書中提出了三次方根的求根公式同時，提出了另一個問題，有沒有兩個數(shù)的和是10，乘積是40？ 在實數(shù)范圍內(nèi)，我們可以這么思考：這兩個數(shù)必須都是正數(shù)，但兩個正數(shù)的和一定時，積有1025，故這樣兩個數(shù)一定不存在時，積的最大值為最大值，和為 2的兩個根，這從另一個角度，由韋達定理知這樣的兩個數(shù)是一元二次方程040?10x?x?個方程的判別式小于零，故沒有實數(shù)解 155?155?，但并不清楚這有什么意義卡丹給出答案：與 ?1是什么？ 于是引發(fā)了一個重要問題，（二）復數(shù)與虛數(shù)

2、 ?1為“虛數(shù)笛卡爾并不承認，并起名為“imaginary number”i”，于是大家稱 萊布尼茲說：“上帝在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，介于存在與不存在之間” 歐拉說：“它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們是純屬虛幻” （三）復數(shù)的意義 ?1后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的引入次方程都有根，且必有個nn根（重根重復計算） 解讀 一、復數(shù)的概念 2； ：1虛數(shù)單位1?1，ii?i的數(shù)就稱為復數(shù)（plex number）2復數(shù)：所有形如，復數(shù)通常用小寫字，Rb?)i(aa?b zzzb表示，即母叫做復數(shù)，其中叫做

3、復數(shù)的的實部，az?b?R)a?bi(a， 虛部 z?a?bi（ 3復數(shù)的分類：）a?bR，z0b?為實數(shù)（real number），則若； zz0?0b?b0a?稱為純虛數(shù)，若 時，則為虛數(shù)（imaginary number）； C即，示表用常，系數(shù)復稱也，合集的成構(gòu)所數(shù)復體全：集數(shù)復4? R?，ba?bi，a?C?Rz|z? 5復數(shù)相等與比較大?。?db?di?a?bi?c ；相等的復數(shù)：且ca? 比較大?。禾摂?shù)不能比較大小，只有實數(shù)可以比較大小2 ，6對所有的實系數(shù)一元二次方程0bx?cax?0)(a? 2b?b4ac2且兩根但有兩個虛根，若，則此方程沒有實根，0?b?4ac?i?x?

4、a22a 互為共軛復數(shù)，故實系數(shù)方程的虛根成對出現(xiàn) 二、復數(shù)的幾何意義 復平面：建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面1實軸與，軸的單位是軸叫做實軸，軸叫做虛軸軸的單位是在復平面內(nèi)，xxyyi10 虛軸的交點叫做原點，原點對應(yīng)復數(shù)0)(0, OZib?a?z復數(shù)向量 有序?qū)崝?shù)對點?)bZ(a，(a，)b ：2復數(shù)的模OZiba?的模（或絕對值）的長度叫做復數(shù)設(shè)，記作，則向量)OZ?a?bi(a，Rb? 22 ，b?|?a|a?bi|?bi|a 三、復數(shù)的運算 復數(shù)的加法1i?b)iz?a?a?c)(b?dzz?c?di?z?(定義：設(shè) ，定義，(a?bR)Rc，d?)(1212 復數(shù)的加法

5、運算滿足交換律、結(jié)合律 幾何意義：復數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則 復數(shù)的減法：2)i?d?(bi)?(a?c)zz?(a?bi)?(c?d 定義：21 幾何意義：復數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則 復數(shù)的乘法3)iadbc?ac?bd)(?abi)?(c?di)?(?zz?( 定義：21 復數(shù)的乘法符合多項式的運算，且滿足交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律 ：共軛復數(shù)4如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù) zz?a?biz?ziba?z?復數(shù)表示，即當?shù)墓曹棌蛿?shù)用 時，z共軛的幾何意義：在復平面內(nèi)，表示兩個共軛復數(shù)的點關(guān)于實軸對稱，并且

6、共軛復數(shù)的模相等 2 zz?z? 一個復數(shù)與其共軛復數(shù)的乘積等于這個復數(shù)模的平方即 復數(shù)的除法5a?bi(a?bi)(c?di)， ?c?di)(b(a?i)? 22d?dicc 1zia?b11a?bizz?0）的倒數(shù)（稱為復數(shù) ，? 222|babab(baz?ia?i)(?i)?|zz 典例精講 一選擇題（共13小題） 的實部為 岑溪市期末）已知 i為虛數(shù)單位，若復數(shù)1（2018春? 2，則|z|=（ ） C DA5B13 z，則|232z|，且z的實部為|?2（2018春拉薩期末）已知復數(shù)z滿足：|z|=） 1|=（ C A3BD 201823） 2018i=（i?3（2018春石家莊

7、期末）i為虛數(shù)單位，則+2i+3i+ 1008i1008B2018A+2017i 1009iD10101009iC1010+ 2，則下列四個判斷中，正確的個=i滿足皇姑區(qū)校級期中）復數(shù)春4（2018?zz） 數(shù)是（ ；的所有解的和等于只有虛數(shù)解； 有且只有兩個解；z zz0 ；的解的模都等于z1 42B3CD1A 對應(yīng)的點在射線永定區(qū)校級月考）復數(shù)秋2018（5?且該復數(shù) 滿足z z ）（y=x）上，則復數(shù)0x z=（ A22iB2+2iC2+2iD22i 6（2018春?武清區(qū)期中）在復平面上，所有滿足|z+1|+|z1|=4的復數(shù)z對應(yīng)的點都在某一（ ） A圓上B拋物線上C橢圓上D雙曲線上

8、 ，i臨沂期中）若i是虛數(shù)單位，復數(shù)z的共軛復數(shù)是 ，且2i =4（72018春? ） 則復數(shù)z的模等于（ B5A25C D 2，且|靜安區(qū)二模）（2018?若實系數(shù)一元二次方程z有兩虛數(shù)根+z+m=0，8） |=3，那么實數(shù)m的值是（ D 1C1BA 2為i的一個根（其中xxi2018?9（松江區(qū)一模）若2是關(guān)于的方程+pxq=0）虛數(shù)單位，p，q的值為（ ，則Rq） 3C5BD3A5 在復平z，則|+1|1+|滿足z?春201810（福州期中）在復平面內(nèi)，若復數(shù)z=iz） 面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是（ 拋物線CD直線A圓B橢圓 11（2017?天心區(qū)校級學業(yè)考試）不等式|lo x4i|3+4i|成

9、立時x的取值范 圍是（ ） ， B（0，1A 0，+） ） 8，+，+，1）（8D（0， C 12（2017秋?肇慶月考）設(shè)復數(shù)z滿足（1+i）?z=i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z對應(yīng)的點位于復平面內(nèi)（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限 為純虛數(shù)時，則實 ?黃山期末）當復數(shù) 13（2017春 數(shù)m的值為（ ） Am=2Bm=3Cm=2或m=3Dm=1或m=3 小題）二填空題（共4 ）+ +（cos2 ， z 設(shè)復數(shù)201814（春?奉賢區(qū)期末）z=3i，=+iz=sin 21的最小值為z，則i|z|+|zz| 21 的最大值是）i| +（z則=1z，設(shè)?201815（春海淀區(qū)校級期中）zC|，|1 的虛部16（，則i是虛數(shù)單位）zz=涪城區(qū)校級期中）已知復數(shù)?2018（春 為 2015= ）17（2018春?興慶區(qū)校級期中）計算：（ 小題）三解答題（共4 2為純虛日照期末）已知復數(shù)春?z=2+bi（i為虛數(shù)單位，b0），且z18（2018數(shù) ；（1）求復數(shù)z 的模，求2）若復數(shù)=（ 2，i（a0）a閔行區(qū)期末）已知復數(shù)19（2018春?z=1+（10（）i，z=2a5）21 +Rz 2的值；）求實數(shù)（1a 的取值范圍|（2）若zC，且|zz=2，求|z 2 為虛數(shù)單位）+i（i宿遷期