完美版圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2 （大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中;在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置,只要看和的分母的大小。例如橢圓（,）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里;對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)， 點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱,同理，以代替方程不變，則曲

2、線關(guān)于軸對稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心;頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得,則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中,且，即;離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率且越接近，就越接近，從

3、而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2.雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）注意：式中是差的絕對值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）:當(dāng)時(shí),表示兩條射線；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。（2）雙曲線的性質(zhì) 范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的 外側(cè)。 對稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對 稱中

4、心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲 線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和 y軸沒有交點(diǎn)。，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)）端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從 圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。 等軸雙曲線

5、:1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式:2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其 他幾個(gè)亦成立。，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為: 注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線I上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線

6、的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F （,0）,它的準(zhǔn)線方程是（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其 他幾種形式：,.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表:說明：(1)通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑;(2 )拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂(3)注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線;距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識點(diǎn)梳理、方程的曲線:在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,

7、y)=O的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)， 那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)PO(xO,yO)在曲線C上f(x0,y 0)=0 ;點(diǎn)PO(xO,yO)不在曲線 C 上 f(xO,yO)吾0兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線 C1 , C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)PO(xO,yO)是C1, C2的交點(diǎn)方程組有n 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn)。二、圓:1、 定義：點(diǎn)集 Mil 0

8、M =r,其中定點(diǎn) 0為圓心，定長r為半徑.2、方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2一般方程：當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方, 將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2= 當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn) (-,-); 當(dāng)D2+E2-4F< 0時(shí)，方程不表示任何圖形 .(3) 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則I MC| <

9、r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，I MC| =r點(diǎn)M在圓C上，I MCI > r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中I MC| =。(4) 直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線 與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)至®線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線I的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e> 0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線

10、l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0< e< 1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e> 1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義1 至倆定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F 1F2I)的點(diǎn)的軌跡2 與定點(diǎn)和直線的距離之 比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1)1. 到兩定點(diǎn)Fi,F 2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F 1F2I)的點(diǎn)的軌跡2. 與定點(diǎn)和直線的距離之比為 定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.軌跡條件點(diǎn)集：（M II MF1+ I MF I=2

11、a, I F 1F2 I < 2a.點(diǎn)集：M II MF I - I MF I .=± 2a, I F2F2 I > 2a.點(diǎn)集M I I MF I =點(diǎn)M到直線I的距離.圖形1 二ir11Mp1標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a2古 1（a b>0）2x2a2J 1（a>0,b>0）b2y2 2px參數(shù)方程x acosy bsi n（參數(shù)為離心角）x asecy bta n（參數(shù)為離心角）y器(t為參數(shù))2范圍a x a, b y b|x|a , y Rx 0中心原點(diǎn)O( 0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0

12、), ( a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實(shí)軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點(diǎn)Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F(號,0)準(zhǔn)線2x= ± ac準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.2,a x= ±c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-上2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)， 且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c (c=Ja2 b2 )/ 2 22c (c= V a b )離心率e C(0 e 1)ae = (e 1) ae=1【備注1】雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛

13、軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.【備注2】拋物線：(1) 拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線方程x=-,開口向右；拋物線 =-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0)，準(zhǔn)線 方程x=，開口向左；拋物線 =2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程y=-，開口向上；拋物線=-2py ( p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-),準(zhǔn)線方程y=，開口向下.(2) 拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦

14、點(diǎn)F的距離；拋物線 =-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離(3) 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的 距離為p.(4) 已知過拋物線=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，則線段 AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), 則弦長=+p或(a為直線AB的傾斜角),(叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換:(1) 坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的

15、坐標(biāo)與曲線的方程(2) 坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。(3) 坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)，在新坐標(biāo)系x O'y'中的坐標(biāo)是.設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) 0'在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（h,k），則 或 叫做平移（或移軸）公式.（4）中心或頂點(diǎn)在（h,k）的圓錐曲線方程見下表：方程焦占八'、八、焦線對稱軸橢圓(x-h)2+(y-k)2 =1 a2b2(± c+h,k)2,a x= ± +h cx=hy=k2 2(x-h) +(y-

16、k)=1-2 + 2 =1 ba(h, ± c+k)2丄a,y= ±+kcx=hy=k雙曲線2 2(x-h) _ (y-k) a2b2(± c+h,k)2丄a,x= ±+kcx=hy=k2 2(y -k)(x- h)a2b2(h, ± c+h)2丄a,y= ±+kcx=hy=k拋物線2(y-k) =2 p(x-h)(-p+h,k)2x=-衛(wèi) +h2y=k2(y-k) =-2 p( x-h)(-衛(wèi) +h,k)2x=+h2y=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,衛(wèi)+k)2y=-衛(wèi) +k2x=h2(x-h) =-2 p(y-k)(h,-衛(wèi)

17、 +k)2y=B +k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論:1. 點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切5.6.7.8.9.點(diǎn)若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.橢圓（a> b>0）的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F 2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.橢圓（a> b> 0

18、）的焦半徑公式,（,）.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝y MF丄NF.P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M , A2P10. 過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)2、3、4、和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被 P0所平分的中點(diǎn)弦的方程是；【推論】：I、 若在橢圓內(nèi)，則過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是。橢圓（a> b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為”與y軸平行的直線交橢圓于 P1、P2時(shí)A1P

19、1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.過橢圓（a>0, b>0）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）若P為橢圓（a> b>0） 上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，則.設(shè)橢圓（a> b > 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在 PF仆2中，記，則有.0V e胡寸，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF15、是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).6、 P為橢圓（a>b>0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，7、 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.&已知橢圓（

20、a> b > 0）, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.的最小值是.9、過橢圓（a>b > 0）的右焦點(diǎn)10、已知橢圓（a> b> 0） ,A、II、設(shè)P點(diǎn)是橢圓（a>b>0）則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立(1) ； (2) |0P|2+|OQ|2 的最大值為；(3)F作直線交該橢圓右支于B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交 x軸于P,則.AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)，則.,F1、F2為其焦點(diǎn)記，則（1）.（2）.,C、e分別是橢圓的半焦距離心率，則12、設(shè)A、B是橢圓（a> b>

21、 0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，有（1）.（2） .（3）.13、 已知橢圓（a> b>0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線 上，且軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15、 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)（注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)

22、心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).e（離心率）. .）若橢圓（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)七、雙曲線的常用結(jié)論:1、點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H兩個(gè)端點(diǎn).3、 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：5、 若在雙曲線（a> 0,b>0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、 若在雙曲線（a> 0,b>0）外，則過P

23、o作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的P在右支；外切：P在左支）P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7、 雙曲線（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F 2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為. &雙曲線（a>0,b>0）的焦半徑公式：（，）當(dāng)在右支上時(shí)，；當(dāng)在左支上時(shí)，。9、 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝y MF丄NF.10、 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸

24、上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M , A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.11、 AB是雙曲線（a>0,b> 0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。12、 若在雙曲線（a>0,b >0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13、 若在雙曲線（a>0,b >0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.【推論】：1、 雙曲線（a> 0，b >0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程 是.B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常2、過雙曲線（a>0，b > o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互

25、補(bǔ)的直線交雙曲線于 數(shù)）.3、 若P為雙曲線（a> 0,b> 0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，則（或）.4、 設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在 PF仆2中，記，, 則有.5、 若雙曲線（a> 0,b > 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1 < e期，可在雙曲線上求一點(diǎn)P, 使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).6、 P為雙曲線（a> 0,b >0） 上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，貝U ，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線

26、且和在y軸 同側(cè)時(shí)，等號成立.7、 雙曲線（a>0,b > 0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.&已知雙曲線（b> a >0）, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1） ; （2） |OP|2+|OQ|2的最小值為；（3）的最小值是.9、 過雙曲線（a> 0,b > 0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P, 則.10、 已知雙曲線（a>0,b >0） ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)，則或.11、 設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a> 0,b> 0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任

27、一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記，則（1）.（2）.12、 設(shè)A、B是雙曲線（a>0,b>0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，,C、e分別是雙曲線的半焦距離心 率，則有（1）.（3）.A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在13、已知雙曲線（a>0,b>0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16、雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在雙曲線焦三角形中