2020年新課標(biāo)版高考理數(shù)一輪復(fù)習(xí)：專題十六不等式選講

1、專題十六不等式選講挖命題【真題典例】（201911，23, 1吩）iP/Ai=5-lx-wd-U-2l.小-1時(shí).噸不毎式心序側(cè)解套；.rQ籾riW I我譚的取悄范圍”-“O樓心考點(diǎn)1，割燉值不竿式的磁2二歡幣敦叭鬧晾*1申:質(zhì)，思踣分析當(dāng)不節(jié)武嗣*n可！Ht為fcHI*U-ZK5. -1. -lo2,抻氓對(duì)值祁不蒂式松段中所求得W琳. 2稅桶姻前倩三宦不養(yǎng)式得IrwklrT前蠟小悄.會(huì)解不零式缺丿知屜的耽恨范FR第答過程$弄集也F機(jī)工0數(shù)學(xué)思想方法B I.舟昊聽0MS方陸憂堂時(shí)值評(píng)號(hào)去忡.轉(zhuǎn)比為好鍛胡訕一貌形站令卑想:帯肋i：罔象的貞耳性輛6時(shí)值卓亂式.防羸規(guī)律I議考內(nèi)睿:屛覽燉值不需式是豐

2、專J9在高 葦申第或點(diǎn)內(nèi)容以!含有兩個(gè)紙對(duì)值的不 等式為卞工號(hào)盲題式:氐辭普葩為卞.3,竹泊:lMh傭備知識(shí)1,形如|#Sdf型的不等式主卍有=榊曲江分段討論底IL阿庇3限翼也2.葩對(duì)佝二呦羽帶式 室審MLM也奇hl曲HFFl儀itAOftf,耳 錚磴上L世驗(yàn)血.1：= .j-M+IA-r-N 1 LRbiirJ-.ll-i #0f克曲母盛寶I.方法總結(jié)齊絕時(shí)口杠葦曲的宋“尚I.割對(duì)他的匣!W翳一tMMt 簽果HI斑聊值討忍畑K斛的力也柜 解決.2”不尊式恫毗址問魁可轉(zhuǎn)化為*鮮蘭獨(dú)的J&M%、刑劃；出信對(duì)H城工“ 峽U玄盤和】疼州殛立*即爪打.疼工【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5 年考情預(yù)測(cè)

3、熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.絕對(duì)值不等式1理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式 的幾何意義證明以下不等式：|a+b| 珥 a|+|b|.|a-b| 珥 a-c|+|c-b|.2會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等 式:|ax+b|0 的解集為()A.-B.-C. -D.-答案 A2.不等式|x+3|-|x-1|A.(- 2,+C.- 2,+a)二 2 的解集為()B.(0,+a)D.0,+a)答案 CA.-5,7B.-4,6C.(-a,-5U7,+a)答案 D4.(2018 山東泰安一模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-3|(m R).(1)當(dāng) m=-3 時(shí)，解不等式

4、f(x)9;若存在 x 2,4,使得 f(x) W 成立,求 m 的取值范圍.析法、反證法、放縮法2017 課標(biāo)n,23,10 分2016 課標(biāo)n,24(n),10分2015 課標(biāo)n,24,10 分不等式的證明基本不等式3.(2018 河南南陽(yáng)第一中學(xué)第一次月考,2)不等式|x-5|+|x+3| 羽的解集是(D.(-a，+a)A.|x-y|2tB.|x-y|2tD.|x-y|t答案 A2. 已知 a,b R,則使不等式|a+b|0B.a+b0D.ab0答案 D3. 設(shè) a,b 為不等的正數(shù)，且 M=(a4+b4)(a2+b2),N=(a3+b3)2,則有(A.M=NB.MND.M 綱答案 C4

5、. (2018 廣東中山二模,23)已知函數(shù) f(x)=x+1 + |3-x|,x1.(1)求不等式 f(x)詬的解集；若 f(x)的最小值為 n,正數(shù) a,b 滿足 2nab=a+2b,求證:2a+b .當(dāng) m=-3 時(shí),f(x)=|x-3|+|2x-3|(m由于 f(x)9,則 |x-3|+|2x-3|9.R),所以解得-1x5.故原不等式的解集為x|-1x5.存在 x 2,4,使得 f（x） W 成立，即存在 x 2,4,使得|x+m|詬-2x,所以存在 x 2,4,使得解得-4 呦電.所以 m 的取值范圍為-4 薛 mO.方法總結(jié)帶有限定區(qū)間的含絕對(duì)值的不等式有解和恒成立問題（或全部）

6、絕對(duì)值，再進(jìn)行求解.,先由限定區(qū)間去一部分考點(diǎn)二不等式的證明1.若 |x-s|t,|y-s| 原不等式得證煉技法【方法集訓(xùn)】方法1含絕對(duì)值不等式的解法1.(2018 安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),23)已知函數(shù)f(x)=|3x+m|.(1)若不等式 f(x)-m 電的解集為-1,3,求實(shí)數(shù) m 的值；若 m0，函數(shù) g(x)=f(x)-2|x-1|的圖象與 x 軸圍成的三角形的面積大于圍解析(1)由題意得解得 m9.可化為-9-m 0,60,求 m 的取值范-g(x)= g(x)的圖象與 x 軸圍成的ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-m-2,0),B SAB(=- |AB| |yC|=-60,解得

7、 m12.實(shí)數(shù) m 的取值范圍為(12,+ g).2.(2017 廣東肇慶第三次統(tǒng)測(cè),23)已知函數(shù) f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)若 a=0,解不等式 f(x)司(x);若存在 x R,使得 f(x)詞(x)成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解析 (1)當(dāng) a=0 時(shí)，由 f(x)用(x),得|x+1|詔 x|,兩邊平方,并整理得(3x+1)(1-x) 為，解得-纟勻，所以所求不等式的解集為-.解法一：由 f(x)用(x),得 |x+1| 絲|x|+a,即 |x+1|-2|x| 洽 令 F(x)=|x+1|-2|x|,依題意可得 F(x)max洽F(x)=|x+1|-|x|

8、-|x|珥 x+1-x|-|x|=1-|x|1,當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí),上述不等式的等號(hào)同時(shí)成立，所以 F(x)max=1.所以 a 的取值范圍是(-g,1.解法二：由 f(x)司(x),得 |x+1| 絲|x|+a,即 |x+1|-2|x| 泡令 F(x)=|x+1|-2|x|,依題意可得 F(x)max%.F(x)=|x+1|-2|x|=-易得 F(x)在(-g,0)上單調(diào)遞增，在(0,+g)上單調(diào)遞減，所以當(dāng) x=0 時(shí),F(x)取得最大值，最大值為 1.故 a 的取值范圍是(-g,1.方法2與絕對(duì)值不等式有關(guān)的最值問題1.(2018 河南豫南九校 5 月聯(lián)考,23)已知函數(shù) f(x)=|

9、x+1|+|x-3|.(1)若關(guān)于 x 的不等式 f(x)a 有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；若關(guān)于 x 的不等式 f(x)f(x)min, f(x)=-繪制函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，觀察 函數(shù)的圖象，可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(4,+g).,C-|x+1|+|x-3|5 可得:-x_.故 b=_,a+b=5- _=-.2.(2018 山西高考考前適應(yīng)性測(cè)試,23)已知函數(shù) f(x)=|x-1|-a(a R).(1) 若 f(x)的最小值不小于3,求 a 的最大值；若 g(x)=f(x)+2|x+a|+a 的最小值為 3,求 a 的值.解析因?yàn)?f(x)min=f(1)=-a,所以-a 為解

10、得 a-3,即 ama3.(2) g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|.當(dāng) a=-1 時(shí),g(x)=3|x-1|為,0 希，所以 a=-1 不符合題意；當(dāng) a-1 時(shí),同理可知 g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得 a=2.綜上,a=2 或-4.過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組考占一絕對(duì)值不等式1.(2018 課標(biāo)H,23,10 分)設(shè)函數(shù) f(x)=5-|x+a|-|x-2|.=5,求解絕對(duì)值不等式(2)由題意可得當(dāng) a=1 時(shí),求不等式 f(x)為的解集；若 f(x)弓,求 a 的取值范圍.解析(1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x)=-可得 f(x)為的解

11、集為x|-2致W.f(x)1 等價(jià)于 |x+a|+|x-2| 紹.而|x+a|+|x-2| 專+2|,且當(dāng) x=2 時(shí)等號(hào)成立.故 f(x) 等價(jià)于|a+2|羽.由 |a+2|臺(tái)可得 a6 或 a 迄所以 a 的取值范圍是(-8,-6U2,+a).方法總結(jié)解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，常用零點(diǎn)分段法或數(shù)形結(jié)合法求解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的函數(shù)的最值,常用絕對(duì)值三角不等式或數(shù)形結(jié)合法求解2.(2018 課標(biāo)川,23,10 分)設(shè)函數(shù) f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)畫出 y=f(x)的圖象；當(dāng) x 0,+a)時(shí)，f(x) ax+b,求 a+b 的最小值.解析本題考查函數(shù)的圖象與

12、絕對(duì)值不等式恒成立問題(1)f(x)= y=f(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當(dāng)且僅當(dāng) a 紹 且 b 絲 時(shí),f(x)ax+b 在0,+)成立,因此 a+b 的最小值為 5.易錯(cuò)警示對(duì)零點(diǎn)分段法”的理解不到位若不等式含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值并含有未知數(shù)，通常先把每個(gè)絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式等于零時(shí)的未知數(shù)的值求出(即零點(diǎn)),然后將這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，此時(shí)數(shù)軸被零點(diǎn)分成了若干段(區(qū)間),在每一段區(qū)間里，每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式的符號(hào)確定，此時(shí)利用絕對(duì)值的定義可以去掉絕對(duì)值符號(hào)解后反思絕對(duì)值不等式問題常見類型及解題

13、策略(1) 直接求解不等式，主要利用絕對(duì)值的意義、不等式的性質(zhì)想辦法去掉絕對(duì)值符號(hào)求解(2) 已知不等式的解集求參數(shù)值，利用絕對(duì)值三角不等式或函數(shù)求相應(yīng)最值，然后再求參數(shù)的取值范圍3.(2017 課標(biāo)I,23,10 分)已知函數(shù) f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f(x)用(x)的解集；若不等式 f(x)司(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范圍解析本題考查含絕對(duì)值的不等式的解法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力(1)解法一(零點(diǎn)分段法)：當(dāng) a=1 時(shí)，不等式 f(x)司(x)等價(jià)于X2-X+|X+1|+|X-

14、1|-4電 當(dāng) x1 時(shí),式化為 x2+x-4 O,從而 1x- 所以 f(x)司(x)的解集為解法二(圖象法):由已知可得 g(x)=當(dāng) a=1 時(shí)，f(x)=-x2+X+4,兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示解法一(等價(jià)轉(zhuǎn)化法):當(dāng) x -1,1時(shí),g(x)=2.所以 f(x)司(x)的解集包含-1,1等價(jià)于當(dāng) x -1,1時(shí) f(x)迄又 f(x)在-1,1的最小值必為 f(-1)與 f(1)之一，所以 f(-1) 呈 且 f(1)老 得-1 毛1.所以 a 的取值范圍為-1,1.解法二(分類討論法):當(dāng) x -1,1時(shí),g(x)=2,所以 f(x)司(x)的解集包含-1,1等價(jià)于 x -1,1時(shí)

15、f(x)逖 即-x +ax+4 絲，2當(dāng) x=0 時(shí)，-x +ax+4 呈成立；當(dāng) x (0,1時(shí)，-x2+ax+4 呈可化為 a 孩-,而 y=x-在(0,1單調(diào)遞增，最大值為-1,所以 a 二 1;當(dāng) x -1,0)時(shí)，-x2+ax+42 可化為 a-，而 y=x- -在-1,0)單調(diào)遞增，最小值為 1,所以 aW.綜上,a 的取值范圍為-1,1.思路分析(1)利用零點(diǎn)分段法或圖象法解含絕對(duì)值的不等式；(2)根據(jù)題設(shè)可去掉絕對(duì)值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題進(jìn)行求解方法總結(jié)含絕對(duì)值不等式問題的常見解法：(1)含絕對(duì)值的不等式求解問題，常利用零點(diǎn)分段討論法或數(shù)形結(jié)合法求解易得圖中兩條曲線的交點(diǎn)

16、坐標(biāo)為),所以 f(x)(-1,2)與恒成立相關(guān)的求參問題，常構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值問題4.(2016 課標(biāo)川,24,10 分)已知函數(shù) f(x)=|2x-a|+a.當(dāng) a=2 時(shí)，求不等式 f(x)詬的解集；設(shè)函數(shù) g(x)=|2x-1|. 當(dāng) x R 時(shí)，f(x)+g(x)為,求 a 的取值范圍.解析 當(dāng) a=2 時(shí),f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2 詣得-1 $因此 f(x)詬的解集為x|-1 纟3.(5 分)(2)當(dāng) x R 時(shí)，f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|彳 2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當(dāng) x=-時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng) x R 時(shí)，f

17、(x)+g(x)紹等價(jià)于|1-a|+a 為.(7 分)當(dāng) a1 時(shí)，等價(jià)于 a-1+a 為解得 a 迄所以 a 的取值范圍是2,+ g).(10分)方法指導(dǎo)(1 )將 a=2 代入不等式，化簡(jiǎn)后去絕對(duì)值求解；要使 f(x)+g(x) 紹恒成立，只需 f(x)+g(x)的最小值為即可，利用|a|+|b|值.考點(diǎn)二不等式的證明331.(2017 課標(biāo)n,23,10 分)已知 a0,b0,a +b =2.證明:55(1) (a+b)(a +b)臺(tái)；(2) a+b 電.證明本題考查不等式的證明.(1) (a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6z3 . 3、23. 34.4、=(a +b )

18、 -2a b +ab(a +b)中易因邏輯混亂而失分2.(2015 課標(biāo)n,24,10 分)設(shè) a,b,c,d 均為正數(shù),且 a+b=c+d,證明:(1)若 abcd,則_+ -_+_;申 b|可求最(2)_+_+ 是 |a-b|cd 得(_+2 2)(+ ).因此_+_+ 一.(2)(i)若 |a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,2 2即(a+b) -4abcd.由(1)得 _+ _ _+ _._ Q_ _ Q(ii)若 +,則(+)(+),即 a+b+2 c+d+2 .因?yàn)?a+b=c+d,所以 abcd.于是2 2 2 2(a-b) =(a+b) -4ab(c+d) -4cd=

19、(c-d).因此 |a-b|_+ 是|a-b|(+ )即可.(2)兩不等式的兩邊都為非負(fù)數(shù)，可通過兩邊平方來(lái)證明.易錯(cuò)警示在證明充要條件時(shí)，既要證明充分性，也要證明必要性，否則會(huì)扣分.B組自主命題省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式1. (2015 山東,5,5 分)不等式|x-1|-|x-5|0,b0,且 a+b=-+_.證明:(1)a+b 逖2 2a +a2 與 b +b0,b0,得 ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2=2,即 a+b 絲.假設(shè) a2+a2 與 b2+b2 同時(shí)成立,則由 a2+a0 得 0a1;同理,0b1,從而 ab1,這 與 ab=1矛盾.故 a2

20、+a2 與 b2+b1 的解集.11解析(1)f(x)=-(4 分)解法一：由 f(x)的表達(dá)式及圖象知，當(dāng) f(x)=1 時(shí)，可得 x=1 或 x=3;當(dāng) f(x)=-1 時(shí),可得 x=-或 x=5,(8 分)4.(2015 課標(biāo)I,24,10 分)已知函數(shù) f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f(x)1 的解集；若 f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形面積大于6,求 a 的取值范圍解析 (1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x)1 化為 |x+1|-2|x-1|-10.當(dāng) x0,無(wú)解；當(dāng)-1x0,解得-x0,解得 11 的解集為 -.(5 分)由題設(shè)可得，f(x)

21、= 所以函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為y=f(x)的圖象如圖所示1、1!r77(6 分)故 f(x)1 的解集為x|1x3;f(x)1 的解集為-或.(10 分)解法二：根的分段函數(shù)表達(dá)式,有:當(dāng) x 1的解集為x|x當(dāng)-11的解集為當(dāng) x-時(shí),|f(x)|1的解集為Ux|x5.綜上,|f(x)|1的解集為或A,B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC 的面積為-(a+1).由題設(shè)得-(a+1)26,故 a2.所以 a 的取值范圍為(2,+ g).(10分)解后反思分類討論解不等式應(yīng)做到不重不漏；在某個(gè)區(qū)間上解不等式時(shí)一定要注意區(qū)間的 限制性5.(2015 江

22、蘇,21D,10 分)解不等式 x+|2x+3|迄解析原不等式可化為解得 x 冬 5 或 x 二-.綜上,原不等式的解集是6.(2014 課標(biāo)I,24,10 分)若 a0,b0,且- +-= 一.(1)求 a3+b3的最小值；是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并說(shuō)明理由.解析(1)由=-+,得 ab 墓，且當(dāng) a=b= 時(shí)等號(hào)成立.33故 a +b 2臺(tái) ,且當(dāng) a=b=時(shí)等號(hào)成立.所以 a3+b3的最小值為 4 .由(1)知,2a+3b 墓臺(tái) 一.由于 46,從而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.解題關(guān)鍵利用已知條件及基本不等式得出ab 多是解題的關(guān)鍵考點(diǎn)二不等式的證明2 2 2 21.(2017 江蘇,21D,10 分)已知 a,b,c,d 為實(shí)數(shù),且 a +b =4,c +d =16,證明:ac+bd 宅.證明本小題主要考查不等式的證明，考查推理論證能力一OO OO O由柯西不等式可得：(ac+bd)氣 a +b )(c +d ).因?yàn)?a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2詬 4,因此 ac+bd 詣.2.（2 016 江蘇,21D,10 分）設(shè) a0,|x-1|-,|y-2|-,求證:|2x+y-4|a.證明 因?yàn)?|x-1| -,|y-2|0).(1)證明:f(x) 逖若 f(3)0,得 f(x)=- +|x