向量代數(shù)與空間解析幾何七

1、1向量代數(shù)與空間解析幾何*.*向量代數(shù)的幾個注意點1向量平移后，向量的坐標不變，這是因為向量的模和方向都不變2向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影（即向量的坐標）不同，前者是向量，后者是數(shù)量。3在向量代數(shù)中，若a= 0,則a；b中不一定有零向量.若a b = a c,a = 0則c, b不一定相等.4兩向量的夾角指兩向量正方向的夾角，其限制范圍-0,二丨5兩非零向量垂直ab = 0，6兩非零向量平行=a b = 0或?qū)鴺顺杀壤?在解向量方程時，注意：a）由于向量沒有除法運算，所以在方程中不能除以非零向量；b） 向量的“乘法”由向量積與數(shù)量積之分，還有混合積；c）向量積不滿足交換律

2、；d） 向量積的?？捎嬎忝娣e，混合積可計算體積及向量共面。*.*空間解析幾何的幾個注意點：1） 熟記直線、平面的各類方程及表達各種位置關(guān)系的有關(guān)公式2） 點到直線距離直線 L 過 P 點，S為方向向量，PM漢sd =-M 到 L 距離s3） 公垂線長度直線 L1 過 P1，Si直線 L2 過 P2,S2P1P2* (SiS2)4） 求空間直線（或空間曲線）在平面上的投影時，其關(guān)鍵時要求岀投影平面（或投影柱面）的方程，將此方程 和所給平面方程聯(lián)立起來，即得所求的投影方程。5） 柱面，旋轉(zhuǎn)面的特點，二次曲面一般方程26） 空間曲線方向向量T = （t）,（t）, （t）或(Fx,Fy,Fz) G,

3、GyG)，曲面法向量n =(Fx,Fy,Fz)3一、向量的運算1、填空題_ - _ - - - - -已知a,b,c都是單位向量，且滿足a b cnO，則a b b c c7o_亠=N亠亠N（2）已知（a +3b）丄（7a 5b）,（a 4b）丄（7a 2b）,則（ajb）=。一 - - - - - -設(shè)a=3, b=4，且a丄b，則（a + b）（ab）=。2、計算題_4一一-_一（1）設(shè)i,2k,2i - 2j k,求一單位向量d，使d -c，且d, a,b共面。 （2）求與向量a = 2i一j 2k共線且滿足a b二-18的向量b。- 兀a + xb - |a（3）設(shè)a與b為非零向量，且

4、b =1,（a,八b）=二，求”旳-二、求空間直線方程解題提示:在求空間直線方程時，“定點”（確定所求直線上的一點）和“定向”（所求直線的方向向量）是關(guān)鍵。1、 求過點 P （ -1 ，0，4）平行于平面 3x - 4y + z = 10且與直線 x + 1 = y- 3 = z/2 相交的直線方程。三、求平面方程解題提示:求平面方程時，若題設(shè)條件中有兩個相交的平面（其方程為一般式方程），則用平面束方程處理簡便;若題設(shè)條件中平面過一點，則一般用點法式方程，此時問題轉(zhuǎn)化為求平面的法向量n。y - z十1 = 01、一平面垂直于平面 z = 0 ，且通過點 M。（ 1，1，1）到直線c的垂線段，求

5、此平面的方程。z =02y z0垂直的平面。四、求切線，切平面的方程。F(x,y,z) = 0的切線方程為、G(x,y,z) = 0Fx,Fy,Fz Gx,Gy,Gzx - 3y - 2z 4 = 0且與平面兀：x +x - y z 1 = 02、求通過直線L: =解x _ y - y1dydxM0z 7 dzdx其中M（X0, y,z0）是切點,T二x,y,z是曲線切向量，T平行于向量y _ y = z _ zoy(t0)z(t0)M04X =x(t)x _ X0 曲線t y =y(t)的切線方程為x;+、z =z(t)(t0 )10為（x, y, z0）切點處的參數(shù)值。5曲面F(x, y,

6、 z )=0 的切平面方程為Fx(x- x0) Fy(y - y0) -Fz(z z0) =0(*)其中(x0, y0,z0)是切點，n= Fx,Fy, Fz是曲面在切點的法向量。當曲面方程為顯式 z = z (x, y)時，則切平面方程為z - z0= zx(x - X0) Zy(y - y0)1、 試證曲面xyz二a(a 0)上任一點切平面與三坐標面所圍的立體體積為定值。2/: 4x+2y + 3z=62、 求曲面x + y + z =4的切平面，使之過直線。7、2x+ y = 0 x =t23、 在曲線y= t的所有切線中，與平面x十2y + z = 4平行的切線有幾條？方程是什么？.3

7、z =t- 2 * 2 + 2ox+y + z = 3x4、 求 在點(1，1，1)處的切線與法平面。I 2x - 3y + 5z = 4五、求投影方程解題提示:求空間曲線在坐標面上投影曲線方程的基本方法：先求出投影柱面的方程，然后與所給坐標面的方程聯(lián)立起來就是所求的投影曲線方程。2x24y z 4z六、求曲面方程解題提示:求旋轉(zhuǎn)曲面方程的基本方法，平面曲線的繞某坐標軸旋轉(zhuǎn)，則該坐標所對的變量不變，而將曲線方程中另一變量 改寫為該變量與第三變量平方和的正負平方根。x1 _ y _z1、直線011繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲面方程。Ppt曲線方程為x2y 3z212z，求它在三個坐標面上的投影。

8、2t在三個坐標面及平面z = 5 8t:x y 3z 8 0上的投影方程。6Jx23z2= 92、曲線$y=0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。17軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。證明：錐面 z = xf(y/x)的切平面經(jīng)過其頂點(0, 0, 0),其中 fx 2y z = 1xy2z3的平面使之平行于曲線2 2、22( x y ) = zc , 在點(1, -1 , 2)處的切線。x y 2z = 42、3、4、5、6、3、4、5、已知柱面的準線方程為已知準線為=1，母線平行于 y 軸，求此柱面方程。4x2求頂點在原點，準線為母線的方向數(shù)是0 , 1, 1，求滿足條件的柱面方程。設(shè)(a b) c = 2，則(a b)4練習題:z2x2(b c) (c a)=向量a二1,-1,1, b二3,-4,5, v二直線 L 過點 M ( 1 , -2 , 0)橢球面設(shè)直線求直線2y24z2x 2y -3z二22x -y -z = 3的錐面方程。ab/為實數(shù)，證明：使V最小的向量v垂直于b且與兩條直線l1:在平面 z = 1 上的投影為直線 L,則點在平面二l2:y二1 垂直，則L的參數(shù)方程z二3二0之間的最短距離為(1, 2, 1)到直線 L 的距離等于2z - 1二0上的投影直線 L0的方程，并求 L0繞 y7