一元二次方程的根的判別式

1、一元二次方程判別式一元二次方程判別式 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 ? 一復習提問： ? 1、一元二次方程的標準式是什么？ ? 2、一元二次方程的求根公式是什么？ ? 想一想：b -4ac的符號與ax +bx+c=0會有關系嗎？ ? 做一做：用求根公式法解下列方程 ? （1）x -x-2=0 （2）x -6x+9=0 （3）x -x+1=0 ? 看一看：上列三個方程的根與b -4ac的符號有關系嗎？有什么關系？ 2 2 2 2 2 2 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 ? 猜一猜：對于一般ax +bx+c=0 （a0）的根與b -4ac的符號有會么關系？ 2 2 故對于方程ax +

2、bx+c=0 （a0）有下列關系： 當b -4ac0時，方程有兩個不相等的根 x = 當b-4ac=0時，方程有兩個相等的根x =x = - 當b - 4ac0時，方程沒有實數(shù)根. 因為ax +bx+c=0（a0）的求根公式是 -bb -4ac 2a x= 2 2 2 2 2 2 2 -b+b -4ac 2a 2 1 x = -b-b -4ac 2a 2 2 1 2 b 2a 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 ? 反過來方程ax +bx+c=0有兩個實數(shù)根時b -4ac0 ? 有兩個相等的根時b -4ac=0 ? 沒有實數(shù)根時b -4ac0 ? 由此可見b -4ac的值決定一元二次方程的根

3、的情況，所以把它叫一元二次方程ax +bx+c=0（a 0）的根的判別式。記作“”讀作“delta” 2 2 2 2 2 2 ? 二、例1，不解下列方程判別下列方程的根的情況 ? （1）3x -4x+7=0 （2） x +x+1=0 （3）2x- 6x-1=0 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 2 2 2 1 4 解：a=3， b=-4，c=7， b -4ac =16-437 0 所以原方程沒有實 數(shù)根 解：a= ，b=1，c=1 b -4ac =1-4 1=0，所以原方程有兩個相等的實數(shù)根 4 1 4 解：a=2 b=6，c=-1 b -4ac =6-42（-1） =140，所以原方程有

4、兩個不相等的根 2 2 2 1 ? 做練習：不解方程試判斷下列方程的根的情況 ? （1）3x -7x+2=0 （2）9x +6x+1=0 ? （3）2x -（2+2）x+3+2=0 ? 例2：關于x的方程2x +mx-2=2x-m，當m為何值時方程有兩個相等的根？并求出它的根 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 解；原方程可以整理成；2x +（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b-4ac=（m-2）-42（-2+m） 據(jù)題意有m -12m+20=0m =2， m =10 當m=2時，x =x =0；當m=10時x =x =-2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

5、 1 1 2 2 2 ? 練習：當K為何值時方程（k-2）x +2kx-1=0有兩個相等的實數(shù)根，并求出方程的根。 ? 例3：當K為何值時，方程kx +（2k+1）x+k=0（k0） ? （1）有兩個不相等的根（2）有兩個相等的根 ? （3）沒有實數(shù)根 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 2 2 解：b -4ac=（2k+1） -4kk=4k+1，而方程有兩個不相等的根4k+10，即k- 4 2 2 若有兩個相等根4k+1=0即k= - 4 若沒有實數(shù)根則4k+10即k - 1 4 1 1 ? 例4：求證： ? （1）關于x的方程x +kx+k +1 =0沒有實數(shù)根 ? （2）關于x的方程（

6、x+a)(x-a)-x=2(x-1)總有兩個不相等的根。 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 2 2 （1）證明：=b -4ac=k -4（k +1）= -3k -4無論k為何實數(shù)k 00故原方程沒有實數(shù)根。 2 2 2 2 2 （2）證明：整理原方程得 x -3x+2 -a =0 =9-4（2-a ）=1+a 無論a為何值a 0 0,故原方程有兩個不相等的根 2 2 2 2 2 ?課堂練習; ?1、對于方程4(m+1)x +2(2m-1)x=1-m (m-1） ? （1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍 ? （2）方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的取值范圍 ? （3）方程沒有實數(shù)根，求m的取值范圍 ? 2、已知a+c0，a +b =c 求證（a+c）x +2bx+c-a=0總有相等的實數(shù)根 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 2 2 2 2 2 一元二次方程判別式一元二次方程判別式 ? 小結：方程ax +bx+c=0 （a0） ? 1、=b -4ac叫一元二次方程的判別式 ? 當0時方程有兩個不相等的實數(shù)根 ? 當=0時方程有兩個相等的實數(shù)根 ?