橢圓與雙曲線中點(diǎn)弦問題

1、橢圓與雙曲線的中點(diǎn)弦問題思考：（課本化丿組第2題）2已知雙曲線*2 一 = 1 ,過點(diǎn)P（l,l）能否作一 20條直線與雙曲線交于A兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段 AB的中點(diǎn)？M分析：畫出草圖，審題能否問題一般考慮能嘗試看能否竦出.首先需要大膽設(shè)相關(guān)量（直線的方程，點(diǎn)的坐標(biāo)等） 然后進(jìn)行分析嘗試：一是韋達(dá)定理法（弦長和中點(diǎn)問題常用）； 二是點(diǎn)差法（中點(diǎn)和斜率的問題常用）練習(xí)鞏ra=1的弦被點(diǎn)(4,2)平分，則此弦所在直3.(隨堂通匚"第2題) 若橢圓一+#369線的斜率為(D )(A)2(B)-2(叭亍4.(隨堂通尸“例4)設(shè)A、是雙曲線2=1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(l,2)是2線段的中點(diǎn).求直線人的方

2、程；y = X + 1(2)如果線段A檸的垂直平分線與雙曲線相交于C、n 兩點(diǎn)，那么A、R、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？共 課外練習(xí)：1橢圓與直線y=1-兀交于N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與 線段MN的中點(diǎn)的直線斜率乜，則一的值是()2n(D)也27過原點(diǎn)與線(A) A (B)也(O- 9J2232 2橢圓與直線J=1-x交于仏 N兩點(diǎn)， 段MN的中點(diǎn)的直線斜率d,則"'的值是(B)2 «2 7127(A)伍 (B) 2龐(C) - 97遠(yuǎn)(D)23223.過點(diǎn)A(2, 1)的直線與雙曲線-V- =1交于仏N兩點(diǎn),2求弦側(cè)的中點(diǎn)P的軌跡方程.3.過點(diǎn)&(2, 1)的直線與

3、雙曲線/-二=1交于M、N兩2求弦MH的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè) M(X, , y, ) , Ng，>2 ) »2 22 >1 2 $2 (X.丨，X. 1 f2 2兩式作差并整理，得212二且=2 土玉r f 兒+兒且、+兀2=2" y, + Vj = 2 Vo o設(shè)弦MN的中點(diǎn)P (“)，Vo),又k MN = k M、 則21丄2 m - 2.v«所以所求中點(diǎn)P的軌跡方程是2 A " 4 .V y " + y = 0"例4作主：自學(xué)隨堂通匕9例2、例4、已知雙I山線f=2(1)求以4 (21)為屮點(diǎn)的弓衣的r I線方

4、種:<2)過“(l.l)足否存線人仗"為吆的丨點(diǎn).v.2宀衛(wèi)2 2(I)設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 (“ yi)(<v22)2(兀 + X,)- HUA =4X +兒V = 4x - 7二玄線力程為：(2)相減得：21二21= 2(“ +乂2)即R = 2 .山線方程為：v = 2x斗-心 V1 +兒'(y = 2x 聯(lián)立! 十 無解 不存在這樣的r線lx* - = 12o4m 4k.直線與圓錐曲線點(diǎn)差法4k+4k2 2例5、雙曲線宀(“-嚴(yán) =«、)|：支的頂點(diǎn)為A,號 a血線y = -.r交r點(diǎn)P,以A為焦點(diǎn)，M(Om)為頂點(diǎn)的的拋物線經(jīng)過點(diǎn)P,設(shè)PM的斜帑為ka

5、 e求&的范鬧。4 3解：由題總得 M()m2)M(0J).P(-"衛(wèi))m ak =n m ka aa設(shè)拋物線方程為：大2 =-2p(y-m)其屮 上=2拋物線方程為：.V" = 4- 4(肋 + 6/)J( y - ka - a) a * = 14 4(畑 + a)( a 畑一a ) => a :W + 4A - 1 12/- a f>417(2)(3)己知4(2,8), (兀1，兒),<7(*2*2)在拋物線y2 = 2px上, ABC的重心與拋物線的焦點(diǎn)F重合寫出拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo); 求線段2；<?中點(diǎn)必的坐標(biāo)： 求"C所在

6、的宜線方程。例5：已知橢圓方程為x" + 4j"-2x-I2> + 6 = 0(1) 求這橢圓中以A(2,I)為中點(diǎn)的弦所在直線方程(2) 求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦的端點(diǎn)為Pj®.兒).匚(工"兒)中點(diǎn)(“)貝叱 + 2 - 20 - 12兒 + 6 = (I兀；+ 4丿；-2七一12兒 + 6 = 0兩式相減得：(X, + X, )(0 _ ”2)+ 4(兒 + 兒 H兒-兒)_ 2(X( - X12(兒 _ 兒)=0y yV X, + Xj = 2心兒 + 兒 ®k = *1-*2 2x + Hyk - 2- l2Jt - 0(*)(1) X = 2, y = 1 A =2所求直線方程為：x-2 + 1