利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程

1、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程XXXX教研組曲線y f(X)在點(diǎn)X0的導(dǎo)數(shù)f (X0)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，我們通常用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)幾何意義來研究 一些與曲線的切線有關(guān)的問題。對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程我們要把握三個(gè)等量關(guān)系:1 .曲線y f(x)在點(diǎn)X0的導(dǎo)數(shù)f (X0)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率，有k f (X0)；2.3.切點(diǎn)在曲線y f(x)上，有y0 f(X0)切點(diǎn)在切線上，有切線方程y y0 k(X X0)最基礎(chǔ)的題型就是已知切點(diǎn)求斜率、切線方程。例一:曲線y 2x21在X=1的切線方程為;解析:直接利用等量關(guān)系得到切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率;由題意可知，切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1, 5）

2、又 y 4x, A切線的斜率為4,二 切線的方程為y 5 = 4（x 1）,即y=4x + 1。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟悉等 量關(guān)系。另有一種題型是先知道切線的斜率，求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程。例二:曲線y x2的一條切線的斜率是4,求切線方程。解析:先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用等量關(guān)系由待定系數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求 切線方程；設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0,x0)y 2x, A切線的斜率為2x0,二2x0二一4,02A切點(diǎn)的坐標(biāo)為（一2, 4）切線的方程為y二一4x 4解這種題型的關(guān)鍵問題就是不能忽視切點(diǎn)在曲線上的這個(gè)關(guān)系。再有一種題型求過曲線外一點(diǎn)的切線的方程。例三:曲線

3、yx2的切線過點(diǎn)（0, 4）求切線的方程。解析:同樣設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，充分利用等量關(guān)系，由待定系數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而 求切線方程；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P xO, y2x則在點(diǎn)P處的切線方程為:2x0,4，且x020)2x3 / 70x2時(shí)，切點(diǎn)為（2,4）,此時(shí)切線方程為y二4x+ 4,2時(shí)，切點(diǎn)為P2, 4,此時(shí)切線方程為y=4x+ 4,過點(diǎn)（0, 4）的切線方程為:y= 4x+ 4, y=4x+ 4。由于切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率均可用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，故可輕松利用待定系數(shù) 法，但要充分利用三個(gè)等量關(guān)系。還有一種題型求過曲線上一點(diǎn)的切線的方程。例四:求曲線y 3x x3過點(diǎn)P2, 2的切線方程解析:5 / 7同

4、學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)常忽視對(duì)切點(diǎn)的情況進(jìn)行具體分析，弓I起錯(cuò)解。如:顯然點(diǎn)P 在曲線 y 3x x3 上，f （X）3 3x2 f9過點(diǎn)P (2, -2)的切線方程為:2 ，即 9x y 16 0由于點(diǎn)f(x)上，因此很容易得到一條切線方程，即以點(diǎn) P為切點(diǎn)的經(jīng)過點(diǎn)P的切線”而不是 點(diǎn)P處的切線”因而不排除有其2, 2恰好在曲線y切線。本題求的是他切線經(jīng)過P。因此本題切線應(yīng)有兩條，一條以點(diǎn) P為切點(diǎn)，另一條不以點(diǎn)P為 切點(diǎn)但經(jīng)過點(diǎn)P,故解法應(yīng)同例三；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P X0, y，則在點(diǎn)P處的切線方程為:2y3x2,7 / 7當(dāng)x3x0232x033x整理，得：x03x0 即:x0 21 或 2x01時(shí)，切點(diǎn)為1,此時(shí)切線方程為y 2,2時(shí)，切點(diǎn)為P2,此時(shí)切線方程為9x y 16 0過點(diǎn)P2, 2的切線方程為:y 2 或 9x y 16 0當(dāng)點(diǎn)P在曲線y f(x)上，要求過點(diǎn)P的切線時(shí)，一定要注意可能存在兩種 情況：一是點(diǎn)P本身即為切點(diǎn)；二是切線是以曲線 y f(x)上的另一點(diǎn)Q為切點(diǎn)， 但該切線恰好過點(diǎn)P。解題時(shí)勿混淆了 在P點(diǎn)處的切線”與過P點(diǎn)的切線”兩概 念，否則會(huì)