對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究

1、設(shè)b> a> 0 ,則 b> a+>2b- a > In b- In a'Tab-21 1a b> a，其中a b被稱為“對(duì)數(shù)In a In b對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平在剖析2013年陜西高考數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)指出，其理論背景是:精選范本，供參考!平均數(shù)”.基于此，筆者進(jìn)安振平老師通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，證明了上述對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈，難度較大 行了深入的探討，給出對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明，形象直觀，易于理解1對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明AP II BC U TU II KV，1如圖，先畫反比例函數(shù) f（X ） = （

2、X >0 ）的圖象，再畫其他的輔助線，其中 X.設(shè)函數(shù)f （X）在點(diǎn)f 1MN 11 CD llx 軸，A(a , 0 ), P (a,S矩形ABNM，因?yàn)镾a邊梯形ABQP > S梯形kF?,走處的切線分別與直線(b- a).AP,BQ交于點(diǎn)E,F，則根據(jù)左圖可知:ABFEb 12a+ b所以 J -dx= In b- In a >X因?yàn)?曲邊梯形AUTPJ -dx= In Tab- In a 二Q X1 12(lnb- In a) = 2邊梯形abqp，S梯形AUTP = 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD，b- a 而根據(jù)右圖可知：S曲邊梯形auTP v S梯形aut

3、 p ,所以In b- I nav .Jab另外，根據(jù)S矩形ABQX < S曲邊梯形ABQP <S弟形ABQP <S矩形abyp，可得:(b- a) v Inb- Inav + - j(b- b2?® b a)<(b- aa).綜上，結(jié)合重要不等式可知:1(b- a)v4vInb- b'' a+ bInav b-a屁<1驏2?吿+1 jb- a)v1(b-a)，即 b>U b- a >2 In b- In aTab >2>11+ -aba(b> a>0).2對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的變式探究 近年來(lái)，以對(duì)數(shù)平

4、均數(shù)不等式鏈為落點(diǎn)的壓軸試題層出不窮，如年新課標(biāo)I、 2014年陜西卷、2014福建預(yù)賽、2014年綿陽(yáng)一、三診、2015合肥最后一卷等等，因此關(guān)注 對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的變式探究是十分必要的.2010年湖北卷、2012年天津、2013為了行文敘述的方便，將對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈中的不等式，記為式；將In b- In ab- a > In b- In aJOb，記為式；將b>ln b-b- a>In a，記為式變式探究1:取a = Xi,b = X2，則由知:X1 +x22X2-X1>In X2 Tn x1于是，可編制如下試題：已知X2 >Xi >0，求證：lnx

5、2-lnx.>2(X2X1)X1 +X2變式探究2 :取a=x,b=X2，則由知:X2 -X1In X2 Tn x1>7x1xr.于是，可編制如下試題：已知X2 AXj >0，變式探究3:取a =捲山=X2，則由知:2>-.于是，可編制如下試題：已In X2 Tnx1 丄 + 丄X1 X2X2>X2-X1X X求證：In X2 T門<.VX1X222X2 -X12x1x2知 X2 > X1 > 0，求證：1 一互 < I n X2 T n % <X2變式探究4：取 a =X1 +1,b =X2 +1，則由知：（X1+1）+（X2+1）

6、a 區(qū)+“為十.于是，可 "In（X2 +1） -1 n（捲 +1）編制如下試題:對(duì)任意Xi, X2 （ h），且 Xi 工 X2 ,X2 XiXi +X2求證：In（X2 +1）-Indj +1） V 廠 +1.變式探究5：取a=Xi +1,b =X2 +1，則由知:朋：肌時(shí)丙.于是，可編制如下試題:對(duì)任意Xi, X2 匸（1,，且 Xi H X2 ,X2 - X1求證： > Jx1X X<l- X1 .In（X2+1）I n（X1 +1） J變式探究6:取 a+1,b =X2 +1，則由知:一（X2+1） （X1+1）2X<H1 > > In（X2+

7、1）I n +1）1 + 1人+1 X2+1是，可編制如下試題：對(duì)任意X1,X2 忘(一1,母)，且 X1 H X2，求證:X2 X12（X1+1）（X2+1）X2 +1 >=:>In（X2 +1）I 門（為 +1）為 +X2 +2變式探究7：取a =為-1,b =X2 -1，則由知:（x1 1）rx2-1）> 化U （X1-1）.于是, In（X21） I n（X1 1）編制如下試題:對(duì)任意X1, X2 （1,邑），且 X1 HX2，求證:.41.In（X2 -1） I門（為-1）2變式探究=X1 -1,b =X2 1，則由知:（X2 -"-（花 一1）In（X2

8、 -1） jndj T）> J（X1 -1）（X2 -1）.于是，編制如下試題:對(duì)任意X1,X2 巳1,+），且 X1 KX2，求證:X2 X1In（X2 T）Tn（為 T）> Jx,X2 - % - X2 +1 .變式探究9：取 a = X11,b = X2-1，則由知：X2_1 A （X2 -“-（捲-1）In（X2 -1） In（X1 -1）+為 一1X2 -1可編制如下試題：對(duì)任意 X1,X(1)，且X1 H X2，求證:X2 十化-1）“-1）In（ X2 -1） Tn（ Xi -1）>2（X1-1）（X2-1）Xj + X2 -2X1變式探究 10：取a=eX1,

9、b=e'嚴(yán)，則由知：+eX22A蘭三.于是，可編制如下試題：對(duì)任意X2 -X1Xj, X2 壬 R，且 X2 >x1，求證:X2X1X2e -e 1> X1X2ee"2變式探究11：取a =eXl,bXX1= eX2，則由知：eeX2 .于是，可編制如下試題：對(duì)任意Xi,X2 迂 R，且 X2 >Xi，求證:(X2-Xi 丫尹2變式探究12 ：取a = ex , bX2 -Xi<(eJ”eX2eX2 -e"1>X2 X12> 一2一 .于是，可編制如下試題：對(duì) 丄+1Xie eX22eXi 恢eX2 _eX1任意 X2 R，且 XX1，求證：eX2>KE-X22eX11-嚴(yán) 1e* + eX X2 -X-i V總之，對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的運(yùn)用是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽、名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景,正如陜西師范大學(xué)羅增儒教授所言：我們可以通過(guò)有限的典型考題的學(xué)習(xí)，去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)