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1、設(shè)b> a> 0 ,則 b> a+>2b- a > In b- In a'Tab-21 1a b> a,其中a b被稱為“對(duì)數(shù)In a In b對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平在剖析2013年陜西高考數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)指出,其理論背景是:精選范本,供參考!平均數(shù)”.基于此,筆者進(jìn)安振平老師通過(guò)構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù),證明了上述對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈,難度較大 行了深入的探討,給出對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明,形象直觀,易于理解1對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明AP II BC U TU II KV,1如圖,先畫反比例函數(shù) f(X ) = (
2、X >0 )的圖象,再畫其他的輔助線,其中 X.設(shè)函數(shù)f (X)在點(diǎn)f 1MN 11 CD llx 軸,A(a , 0 ), P (a,S矩形ABNM,因?yàn)镾a邊梯形ABQP > S梯形kF?,走處的切線分別與直線(b- a).AP,BQ交于點(diǎn)E,F,則根據(jù)左圖可知:ABFEb 12a+ b所以 J -dx= In b- In a >X因?yàn)?曲邊梯形AUTPJ -dx= In Tab- In a 二Q X1 12(lnb- In a) = 2邊梯形abqp,S梯形AUTP = 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD,b- a 而根據(jù)右圖可知:S曲邊梯形auTP v S梯形aut
3、 p ,所以In b- I nav .Jab另外,根據(jù)S矩形ABQX < S曲邊梯形ABQP <S弟形ABQP <S矩形abyp,可得:(b- a) v Inb- Inav + - j(b- b2?® b a)<(b- aa).綜上,結(jié)合重要不等式可知:1(b- a)v4vInb- b'' a+ bInav b-a屁<1驏2?吿+1 jb- a)v1(b-a),即 b>U b- a >2 In b- In aTab >2>11+ -aba(b> a>0).2對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的變式探究 近年來(lái),以對(duì)數(shù)平
4、均數(shù)不等式鏈為落點(diǎn)的壓軸試題層出不窮,如年新課標(biāo)I、 2014年陜西卷、2014福建預(yù)賽、2014年綿陽(yáng)一、三診、2015合肥最后一卷等等,因此關(guān)注 對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的變式探究是十分必要的.2010年湖北卷、2012年天津、2013為了行文敘述的方便,將對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈中的不等式,記為式;將In b- In ab- a > In b- In aJOb,記為式;將b>ln b-b- a>In a,記為式變式探究1:取a = Xi,b = X2,則由知:X1 +x22X2-X1>In X2 Tn x1于是,可編制如下試題:已知X2 >Xi >0,求證:lnx
5、2-lnx.>2(X2X1)X1 +X2變式探究2 :取a=x,b=X2,則由知:X2 -X1In X2 Tn x1>7x1xr.于是,可編制如下試題:已知X2 AXj >0,變式探究3:取a =捲山=X2,則由知:2>-.于是,可編制如下試題:已In X2 Tnx1 丄 + 丄X1 X2X2>X2-X1X X求證:In X2 T門<.VX1X222X2 -X12x1x2知 X2 > X1 > 0,求證:1 一互 < I n X2 T n % <X2變式探究4:取 a =X1 +1,b =X2 +1,則由知:(X1+1)+(X2+1)
6、a 區(qū)+“為十.于是,可 "In(X2 +1) -1 n(捲 +1)編制如下試題:對(duì)任意Xi, X2 ( h),且 Xi 工 X2 ,X2 XiXi +X2求證:In(X2 +1)-Indj +1) V 廠 +1.變式探究5:取a=Xi +1,b =X2 +1,則由知:朋:肌時(shí)丙.于是,可編制如下試題:對(duì)任意Xi, X2 匸(1,,且 Xi H X2 ,X2 - X1求證: > Jx1X X<l- X1 .In(X2+1)I n(X1 +1) J變式探究6:取 a+1,b =X2 +1,則由知:一(X2+1) (X1+1)2X<H1 > > In(X2+
7、1)I n +1)1 + 1人+1 X2+1是,可編制如下試題:對(duì)任意X1,X2 忘(一1,母),且 X1 H X2,求證:X2 X12(X1+1)(X2+1)X2 +1 >=:>In(X2 +1)I 門(為 +1)為 +X2 +2變式探究7:取a =為-1,b =X2 -1,則由知:(x1 1)rx2-1)> 化U (X1-1).于是, In(X21) I n(X1 1)編制如下試題:對(duì)任意X1, X2 (1,邑),且 X1 HX2,求證:.41.In(X2 -1) I門(為-1)2變式探究=X1 -1,b =X2 1,則由知:(X2 -"-(花 一1)In(X2
8、 -1) jndj T)> J(X1 -1)(X2 -1).于是,編制如下試題:對(duì)任意X1,X2 巳1,+),且 X1 KX2,求證:X2 X1In(X2 T)Tn(為 T)> Jx,X2 - % - X2 +1 .變式探究9:取 a = X11,b = X2-1,則由知:X2_1 A (X2 -“-(捲-1)In(X2 -1) In(X1 -1)+為 一1X2 -1可編制如下試題:對(duì)任意 X1,X(1),且X1 H X2,求證:X2 十化-1)“-1)In( X2 -1) Tn( Xi -1)>2(X1-1)(X2-1)Xj + X2 -2X1變式探究 10:取a=eX1,
9、b=e'嚴(yán),則由知:+eX22A蘭三.于是,可編制如下試題:對(duì)任意X2 -X1Xj, X2 壬 R,且 X2 >x1,求證:X2X1X2e -e 1> X1X2ee"2變式探究11:取a =eXl,bXX1= eX2,則由知:eeX2 .于是,可編制如下試題:對(duì)任意Xi,X2 迂 R,且 X2 >Xi,求證:(X2-Xi 丫尹2變式探究12 :取a = ex , bX2 -Xi<(eJ”eX2eX2 -e"1>X2 X12> 一2一 .于是,可編制如下試題:對(duì) 丄+1Xie eX22eXi 恢eX2 _eX1任意 X2 R,且 XX1,求證:eX2>KE-X22eX11-嚴(yán) 1e* + eX X2 -X-i V總之,對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的運(yùn)用是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽、名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景,正如陜西師范大學(xué)羅增儒教授所言:我們可以通過(guò)有限的典型考題的學(xué)習(xí),去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)
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