大一上學期(第一學期)高數(shù)期末考試題(有答案)匯總

1、大一上學期高數(shù)期末考試、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分)1 設 f ( X) = cos x(x+|sin x|),則在x = 0處有()(A) f'(0)=2( B) f'(0)=1 (C) f'(0)=0(D) f(x)不可導.設a(x) = 1 X , p(x)=3 34，則當 XT 1 時(2.1 +x(B) a(X)與(X)(A) a(X)與(X)是同階無窮小，但不是等價無窮??； 價無窮??；(D) P(X)是比a(X)高階的(C) a(X)是比P(x)高階的無窮??；無窮小.x3.若F (x)= J。(2tX)f(t) dt，其中f(x)在區(qū)間

2、上(行)二階可導且 f'(x)>0，則().(A) 函數(shù)F(x)必在x=0處取得極大值；(B) 函數(shù)F(x)必在x=0處取得極小值；(C) 函數(shù)F(x)在x=0處沒有極值，但點(0, F (0)為曲線y = F(x)的拐點；(D) 函數(shù)F(x)在x=0處沒有極值，點(0, F(0)也不是曲線y = F(x)的拐點。14設 f (x)是連續(xù)函數(shù)，且f(X)= X + 2 J0 f (t)dt ,貝y f(X)=(.X2X2 + 2(A) 2( B) 2(C) x-1(D) x + 2.二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)2lim (1 + 3x)sin =5.XT。m

3、 f(x)cosxdx =x6.已知cosx是f(x)的一個原函數(shù)，X兀2 兀22 兀 11.2“ 17.lim (cos2 + cos2 + HI + cos2兀)=n Y nnnn12 2 . .,8.三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)9. 設函數(shù)y = y(x)由方程eE+simxy"1確定，求y(x)以及y (0).+ r 1 - x7,求J廠dx.10. x(1 +x )r X arcsin x +1 已 E dx=211.設 f(x)= IJiLF12.0 C X < 11J f (xt)dt0求 J； f(x)dx設函數(shù)f(x)連續(xù)，g(X“ g(

4、x)并討論g(x)在x = o處的連續(xù)性.，且!im號",A為常數(shù).求y(1) = -113.求微分方程xy + 2y = x In x滿足9的解.四、14.解答題(本大題10分)已知上半平面內(nèi)一曲線 y = y(x)(X >0)，過點(0,1)，且曲線上任一點 M(xo,yo)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x = xo所圍成 面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)15. 過坐標原點作曲線y = ln X的切線，該切線與曲線y = ln X及X軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A; (2)求D繞直線X = e旋轉一周所得旋轉體的體積

5、 V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16. 設函數(shù)f(x)在b，1】上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q可0-1，q1J f (X) d X >q jf (X)dx00兀JIff(x)dx = 0 f f (x) cos X dx = 017.設函數(shù)f(X)在0,兀上連續(xù)，且0,0證明：在(0,兀)內(nèi)至少存在兩個不同的點上1,巴2，使f(J)= £(2)= °.(提XF(x) = J f (x)dx示：設0)解答一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C4 分,兀2.8 分,共16分)兀8.3共 40 分)二、填

6、空題(本大題有4小題，每小題1,cosx 2 ,5. e. 6. 2 X 丿.7.二、解答題(本大題有5小題，每小題9.解：方程兩邊求導ef(1+y F ccxy( xy)(y =)ex£ + ycos(xy)y(x2"e5+xcos(xy)x=0,y=0y(0)=110.解：u=x7 7x6dx=du店卡 1 r (1 -U) .1，1原式=_ fdu = _ f(7u(1 +u) 7 u1= -(ln|u|-2ln |u+1|) +c1 2=-ln|x7|-ln|1 +x7|+C1 0 1 244.解：Jj(x)dx= Jxedx + J0V2x-x dx2 )duu

7、+1J；xd(e)+ J； J1 (X1)2dx_x_x-xe -e002人I + f 兀cos20dQ(令x-1 =sin0)2兀3-2e3 -1412.解：由 f（0）=0，知 g（0）=0。g(x)二 ff (xt)dt 二xJf(u)du0(XH 0)xf(x) - Jf (u)dug(x)=(XH0)f f(u)du9(0)=八= lim T 2xxf(x) Axf(x) - Jf (u)dux2A-2 , g'(x)在x = 0處連續(xù)。13. 解：dx x-fdxf-2y = e x (Je'xdxln xdx+C)亠xx+Cx，391 1 1 y(1FC=0y =

8、 -xlnx x”廠 9,39四、解答題（本大題10分）X14. 解：由已知且y = 2Joydx + y，將此方程關于x求導得y = 2y + y特征方程：r2-r2=0解出特征根：1=4, 5=2、X2 XC12x其通解為y=c1e +C2e代入初始條件y(°)= y'(°)i，2 y = -e故所求曲線方程為：3五、解答題(本大題10分)15.解：(1)根據(jù)題意，先設切點為(X0,ln Xo)，切線方程y In Xo1=(X Xo ) Xo1y = -xe兀2=V1 -V2 = (5e2 - 12e+3) 6共12分)q(本大題有2小題，每小題4分，q1qJ

9、f(X)d X-q J f (x)dx= J f (x) d xq( Jf (x) d x + J f (x)dx)°°° °q由于切線過原點，解出Xo =e，從而切線方程為:1 y1A = J(e -ey)dy = ；e-1則平面圖形面積02Vi,則(2)三角形繞直線X = e 一周所得圓錐體體積記為曲線yRnx與X軸及直線X = e所圍成的圖形繞直線x = e一周所得旋轉體體積 為V21V2 = J 兀(e-ey)2dy0VD繞直線X = e旋轉一周所得旋轉體的體積六、證明題16. 證明：q= (1q)Jf(x)dxq Jf(x)dx°q5

10、 qo, q i2 Qq,1f ( M(0二 q(1-q) f®)-q(1-q) f (©2) H ° 故有：q1Jf (X) dx>qjf (X) dX°°證畢。17.XF(x)= Jf(t)dt ,0 <x證：構造輔助函數(shù)：0。其滿足在0,兀】上連續(xù)，在(0®)上可導。F(x) = f(x)，且 F(0) = F (兀)=0JIJIK0 = f f (x)cosxdx = fcosxdF (x) = F (x)cosxl + fsinx F (x)dx 由題設，有00b 0,兀fF (x)sinxdx = 0有0，由積分中值定理，存在©"0衛(wèi))