2020屆江蘇高考數(shù)學(理)總復習講義：點、線、面之間的位置關(guān)系

1、必過數(shù)材美1. 平面的基本性質(zhì)(1) 公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個 平面內(nèi).(2) 公理 2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集 合是經(jīng)過這個公共點的一條直線.(3) 公理 3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.2. 空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直線.異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2) 異面直線所成的角1定義：設 a, b 是兩條異面直線， 經(jīng)過空間任一點 0,作直線 a/ a, b/ b,把 a 與 b所成的銳角( (或直角) )叫做異面直線 a 與 b 所成的角.2范圍：0,

2、n.(3) 公理 4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(4) 定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角 相等.小題體驗1._ 點 P 在直線 m 上, m 在平面a內(nèi)”可表示為 _ .解析：點在直線上用，直線在平面上用“？”.答案：P m, m?a2.平面aA 3=l，點 A a,點 B a,且 C? l, C 3,又 ABAl= R,如圖所示，過 A,B, C 三點確定的平面為Y貝U 3A=_ .解析：由已知條件可知，C YABn1= R, AB?Y所以 RY又因為 C, R 故 陽丫 =CR.答案：CR3以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是 _ .1不共面的

3、四點中，其中任意三點不共線；2若點 A, B, C, D 共面，點 A, B, C, E 共面，則 A, B, C, D, E 共面；3若直線 a, b 共面，直線 a, c 共面，則直線 b, c 共面；4依次首尾相接的四條線段必共面.解析：顯然是正確的， 可用反證法證明；中若 A, B, C 三點共線，則 A, B, C, D , E 五點不一定共面；構(gòu)造長方體或正方體，如圖，顯然b, c 異面，故不正確；中空間四邊形中四條線段不共面故正確的個數(shù)為 1.答案：11 異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異 面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也

4、不相交.2 直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.3不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件.小題糾偏1 （2019 南京名校聯(lián)考）已知直線 a 和平面a,an 3=l, a?a,a? 且 a 在a, B內(nèi)的射影分別為直線 b 和 c ,則直線 b 和 c 的位置關(guān)系是 _ 解析：依題意，直線 b 和 c 的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.答案：相交、平行或異面2._ 在下列四個命題中，正確命題的個數(shù)為 1a , b 是異面直線，則存在分別過a , b 的平面a,B,使a/B；2a , b 是異面直線，則存在分別過a , b 的平面a,B,使a丄B；3a , b 是異面

5、直線，若直線 c , d 分別與 a , b 都相交，則 c, d 也是異面直線；4a , b 是異面直線，則存在平面a過 a 且與 b 垂直.解析：因為 a , b 是異面直線，所以可以作出兩個平面a, B分別過 a , b,并使a/ B,所以正確；因為 a , b 是異面直線,所以存在兩個互相垂直的平面分別過a , b,所以正確；因為 a , b 是異面直線，若直線 c , d 與 a , b 分別都相交，則 c , d 相交或異面，所以 不正確；因為 a , b 是異面直線，若 a , b 垂直，則存在平面a過 a 且與 b 垂直，若 a , b 不 垂直，則不存在平面a過 a 且與 b

6、 垂直，不正確.答案：23四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有 _ 個.解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定4 個平面.答案：4考點一平面的基本性質(zhì)及應用基礎送分型考點自主練透題組練透1 如圖所示，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E, F 分別是 AB，AAi的中點求證:E, C, Di, F 四點共面；(2)CE , DiF , DA 三線共點.證明：(i)如圖，連結(jié) EF , AiB, CDi.因為 E, F 分別是 AB, AAi的中點，所以 EF / AiB.又 AiB / CDi,所以 EF / CDi,所以 E, C, Di, F 四

7、點共面.(2)因為 EF / CDi, EFVCDi,所以 CE 與 DiF 必相交，設交點為 P,則由 P CE , CE?平面 ABCD , 得 P 平面 ABCD .同理 P平面 ADDiAi.又平面 ABCD 門平面 ADDiAi= DA ,所以 P直線 DA.所以 CE , DiF , DA 三線共點.2.如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AB / CD,直線 AB , BC , AD , DC分別與平面a相交于點 E , G , H, F ,求證：E , F , G , H 四點必定共線.證明：因為 AB/ CD,所以 AB , CD 確定一個平面3又因為 ABA a=E , A

8、B?3,所以 E a,E B,即 E 為平面a與B的一個公共點.同理可證 F, G, H 均為平面a與B的公共點，因為兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線, 所以 E，F(xiàn)，G，H 四點必定共線.謹記通法1.證明點共線問題的常用方法公理法先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理這些點都在交線上3 證明同一法選擇其中兩點確疋一條直線，然后證明其余點也在該直線上2. 證明線共點問題的常用方法先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.3. 證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)輔助平面法先證明有關(guān)的點、線確定平

9、面a,再證明其余兀素確定平面面a, B重合B,最后證明平考點二空間兩直線的位置關(guān)系重點保分型考點一一師生共研典例引領(lǐng)如圖，在正方體 ABCD -AiBiCiDi中，M , N 分別為棱 CQi, CiC 的中點，有以下四個 結(jié)論：1直線 AM 與 CCi是相交直線；2直線 AM 與 BN 是平行直線；3直線 BN 與 MBi是異面直線；4直線 AM 與 DDi是異面直線.其中正確的結(jié)論的序號為 _ .解析：直線 AM 與 CCi是異面直線，直線 AM 與 BN 也是異面直線，所以錯誤.點 B, Bi, N在平面 BBiCiC 中，點 M 在此平面外，所以 BN , MBi是異面直線同理 AM

10、, DDi也是異面直線.1.上面例題中正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱所在直線中與直線_條.解析：與 AB 異面的有 4 條：CCi, DDi, A1D1, BiCi.答案：42.在圖中，G , N , M , H 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH ,解析：圖中，直線 GH / MN ;圖中，G , H , N 三點共面，但 M?平面 GHN，因 此直線GH 與 MN 異面；圖中，連結(jié) MG , GM / HN ,因此 GH 與 MN 共面；圖中，G, M , N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 與 MN 異面.所以在圖中， GH 與 MN 異面.答案：考點三異

11、面直線的證明重點保分型考點一一師生共研典例引領(lǐng)如圖，已知不共面的三條直線 a, b, c 相交于點 P, A a, B a, C b, D c,求證:AD 與 BC 是異面直線.證明：法一：（反證法）假設 AD 和 BC 共面，所確定的平面為a,那么點 P, A, B, C,D 都在平面a內(nèi)，答案：空間兩直線位置關(guān)系可構(gòu) 造幾 何模型（長方體 或正 方體）AB 是異面直線的有由題悟法方法即時應用所以直線 a, b, c 都在平面a內(nèi)，與已知條件 a, b, c 不共面矛盾，假設不成立,所以 AD 和 BC 是異面直線.法二：( (直接證法) )因為 anc= P, 所以它們確定一個平面，設為a

12、由已知 C?平面aB 平面a,則 BC ?平面a,又 AD ?平面a,B?AD ,所以 AD 和 BC 是異面直線.由題悟法證明直線異面通常用反證法，證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面,從而可得兩直線異面.有時也可以用直接法證明.即時應用如圖所示，正方體ABCD-AIBICIDI中，M ,的中點.問：(1) AM 和 CN 是否是異面直線？說明理由；(2) DiB 和 CCi是否是異面直線？說明理由.解：(1)AM 與 CN 不是異面直線.理由如下：連結(jié) MN , A1C1, AC.因為 M , N 分別是 A1B1, B1C1的中點，所以 MN / A1C1.又因為 A1A /

13、 C1C, A1A= C1C,所以四邊形 A1ACC1為平行四邊形，所以 A1C1/ AC,所以 MN / AC,所以 A, M , N , C 在同一平面內(nèi)，故 AM 和 CN 不是異面直線.D1B 與 CC1是異面直線證明如下：因為 ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以 B, C, C1, D1不共面.假設 D1B 與 CC1不是異面直線，則存在平面a,使 D1B ?平面a,CC1?平面a,所以 D1, B , C , C1a,與 ABCD-A1B1G|D1是正方體矛盾.所以假設不成立，即 D1B 與 CC1是異面直線.AB一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1.設 P 表示一個點，a, b

14、 表示兩條直線，其中正確命題的序號是.Pa,P a? a?a；anb=P,b?3? a?3；a/b,a?a,Pb,P a? b? an 3=b,P a,P 3? Pb.答案：2. （2018 高郵期中）給出以下說法：1不共面的四點中，任意三點不共線；2有三個不同公共點的兩個平面重合；3沒有公共點的兩條直線是異面直線；4分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面；5一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面.其中正確結(jié)論的序號是_ .解析：在中，不共面的四點中，任意三點不共線是正確命題，可以用反證法證明： 若其中任意三點共線，則四點必共面，故正確；在中，有三個不同公共點的兩個平面重合或相交

15、，故錯誤；在中，沒有公共點的兩條直線是異面直線或平行直線，故錯誤；在中，分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面或共面，故錯誤；在中，一條直線和兩條異面直線都相交，則由兩條相交線能確定一個平面得它們可 以確定兩個平面，故正確.答案：3._若平面a B相交，在a, B內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上， 這四點能確定 _個平面.解析：如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三 點可確定一個平面，所以可確定四個.答案：1 或 44.如圖，平行六面體 ABCD -AiBiCiDi中，既與 AB 共面又與 CCi共面的棱有_條.“傷CZI0 1=1欝雇窗月空躡宓購懺尿鎚a, B表示

16、兩個平面，給出下列四個命題,沖B解析：依題意，與 AB 和 CCi都相交的棱有 BC;與 AB 相交且與 CCi平行有棱 AAi,BB 仁與 AB 平行且與 CCi相交的棱有 CD, C1D1.故符合條件的有 5 條.答案：55.設 a, b, c 是空間中的三條直線，下面給出四個命題：1若 a / b, b/ c,貝Ua/ c;2若 a 丄 b, bc,貝 U a/ c;3若 a 與 b 相交，b 與 c 相交，則 a 與 c 相交；4若 a?平面a,b?平面3,則 a, b 一定是異面直線.上述命題中正確的命題是 _（寫出所有正確命題的序號 ）.解析：由公理 4 知正確；當 a 丄 b,

17、b 丄 c 時，a 與 c 可以相交、平行或異面，故錯； 當 a與 b 相交，b 與 c 相交時，a 與 c 可以相交、平行，也可以異面，故錯；a?a,b?3并不能說明 a 與 b 不同在任何一個平面內(nèi)”，故錯.答案：二保咼考，全練題型做到咼考達標1.已知 A, B, C, D 是空間四點，命題甲： A, B, C, D 四點不共面，命題乙：直線AC 和 BD 不相交，則甲是乙成立的 _ 條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.解析：若 A, B, C, D 四點不共面，則直線 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交;若直線 AC 和 BD 不相交，

18、若直線 AC 和 BD 平行時，A, B, C, D 四點共面，所以甲是乙 成立的充分不必要條件.答案：充分不必要2. （2019 常州一中檢測）如圖，在長方體 ABCD -AiBiCiDi中，點 E , F 分別為 BiO 和 CiO 的中點，長方體的各棱中，與EF 平行的有_條.解析：/ EF 是厶 OBiCi的中位線， EF / BiCi. BiCi/ BC / AD / AiDi,二與 EF 平行的棱共有 4 條.答案：43._ 下列命題中，真命題的個數(shù)為.1如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；2兩條直線可以確定一個平面；3空間中，相交于同一點的三條直線在同一

19、平面內(nèi)；4若 M a,M 3 aA 3=l，貝 U Ml.解析：根據(jù)公理 3,可判斷是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面（如墻角），故是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知是真命題.綜上，真命題的個數(shù)為2.答案：24.已知 I, m, n 為兩兩垂直的三條異面直線，過I 作平面a與直線 m 垂直，則直線 n與平面a的關(guān)系是_ .解析：因為 I?a,且 I 與 n 異面，所以 n?a,又因為 m 丄a,n 丄 m,所以 n /a. 答案：n/a5.如圖所示，在空間四邊形 ABCD 中，點 E , H 分別是邊 AB ,CF CG 2 AD 的中點，點

20、 F , G 分別是邊 BC , CD 上的點，且=,則下列說法正確的是 _ （填序號）.EF 與 GH 平行；EF 與 GH 異面;EF 與 GH 的交點 M 可能在直線 AC 上，也可能不在直線 AC 上;EF 與 GH 的交點 M 定在直線 AC 上.解析：連結(jié) EH , FG ,如圖所示. 依題意，可得 EH / BD, FG/ BD , 故 EH / FG,所以 E, F , G, H 共面.1 2因為 EH = 2BD , FG = 3BD, 故 EH 工 FG ,所以 EFGH 是梯形，EF 與 GH 必相交，設交點為 M.因為點 M在 EF 上, 故點 M 在平面 ACB 上.

21、同理， 點 M 在平面 ACD 上, 所以點 M 是平面 ACB 與平面 ACD的交點， 又 AC 是這兩個平面的交線， 所以點 M 定在直線 AC 上.答案：6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段 AB,CD , EF , GH 在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為 _ 對.解析：平面圖形的翻折應注意翻折前后相對位置的變化，則AB , CD , EF 和 GH 在原正方體中，顯然 AB 與 CD, EF 與 GH ,AB 與 GH 都是異面直線，而 AB 與 EF 相交，CD 與 GH 相交，CD 與 EF 平行.故互為異面的直線有且只有 3 對.答案：37.如圖是正四面體的平面展開

22、圖，G , H , M , N 分別為 DE ,B H E NCBE , EF , EC 的中點，在這個正四面體中，1GH 與 EF 平行；2BD 與 MN 為異面直線；3GH 與 MN 成 60角；4DE 與 MN 垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是 _ .解析：還原成正四面體知 GH 與 EF 為異面直線，BD 與 MN 為異面直線，GH 與 MN 成 60角，DE 丄 MN .答案：8. （2019 通州月考）如圖所示，在正方體 ABCD -A1B1C1D1中，E,F , G, H 分別是棱 CC1, C1D1, D1D , CD 的中點，N 是 BC 的中點，點 M 在四邊形 EF

23、GH 及其內(nèi)部運動，則 M 滿足_ 時，有 MN/平面 B1BDD1.解析：/ HN / DB , FH / D1D,平面 FHN /平面 B1BDD1.點 M 在四邊形 EFGH 及其內(nèi)部運動，故 M FH .答案：M 在線段 FH 上9. （2018 南師附中檢測）如圖，E, F 分別是長方體 ABCD-A1B1C1D1的棱 A1A, C1C 的中點求證：四邊形 B1EDF 是平行四邊形.證明：設 Q 是 DD1的中點，連結(jié) EQ, QC1,如圖.因為 E 是 AA1的中點，Q 是 DD1的中點，所以 EQ 綊 A1D1.又 A1D1綊 B1C1，所以 EQ 綊 B1C1,所以四邊形 EQ

24、C1B1為平行四邊形，所以 B1E 綊 6Q又Q,F 分別是 D1D，C1C 的中點，AR所以 QD 綊 C1F，所以四邊形 D QC1F 為平行四邊形，所以 C1Q 綊 DF.故 BiE 綊 DF，所以四邊形 BiEDF 是平行四邊形.10.如圖所示，四邊形 ABEF 和四邊形 ABCD 都是直角梯形,1 1/BAD=ZFAB=90BC/AD,BC=QAD,BE/FA,BE=FA,G, H 分別為 FA, FD 的中點.(1) 證明：四邊形 BCHG 是平行四邊形；(2) C, D, F , E 四點是否共面？為什么？說明理由.解：證明：因為 G , H 分別為 FA , FD 的中點，1所

25、以 GH / AD , GH = 2AD.1又 BC / AD , BC =QAD,所以 GH 綊 BC,所以四邊形 BCHG 為平行四邊形.1四點共面，理由如下：由 BE / FA, BE =QFA, G 為 FA 的中點知，BE / FG , BE=FG ,所以四邊形 BEFG 為平行四邊形，所以 EF / BG.由(1)知 BG / CH，所以 EF / CH，所以 EF 與 CH 共面.又 D FH，所以 C, D, F , E 四點共面.三上臺階，自主選做志在沖刺名校時，EH / FG 且 EH = FG .當 將時，EH / FG ,但 EH 工 FG ,所以正確，只有錯誤.答案：

26、2.在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E, F 分別為棱AAQ, CCi的中點，則在空間中與三條直線 AiDi, EF , CD 都相交的直線有_ 條.1.如圖所示，設 E, F, G, H 依次是空間四邊形 ABCD 邊 AB ,AE AHBC , CD , DA 上除端點外的點，=AD=人 CB CD論中正確的是(填序號).當 入=卩時,四邊形EFGH當卩時,四邊形EFGH當卩時,四邊形EFGH當 入=卩時， 四邊形EFGH由 AB=AD=入得 EH / BD，且 BD =入同理得 FG / BD 且 BDD是平行四邊形;是梯形;定不是平行四邊形;是梯形.解析:CF CG卩，則下列結(jié)解析：如圖，在 A1D1上任取一點 P,過點 P 與直線 EF 作