數(shù)學(xué)分析第3章函數(shù)極限3-5

1、二、無窮小量階的比較5 無窮大量與無窮小量 由于 等同于 因0lim ( )0,xxf xA 0lim( )xxf xA 分析”. 相同的. 所以有人把 “數(shù)學(xué)分析” 也稱為 “無窮小此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是四、漸近線三、無窮大量一、無窮小量一、無窮小量定義定義1內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點點設(shè)設(shè))(00 xUxf , 0lim0 xfxx若若.0時時的的無無窮窮小小量量為為則則稱稱xxf為為類似地可以分別定義類似地可以分別定義f.時時的的無無窮窮小小量量和和有有界界量量.0時的有界量時的有界量xx 0fx若若在在點點的的某某個個空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界，則稱

2、則稱 f 為為,00 xxxxxxx,顯然，無窮小量是有界量顯然，無窮小量是有界量. .而有界量不一定是無窮而有界量不一定是無窮時時的的無無窮窮小小量量；為為11 xx例如例如:對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系：對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系：；時時的的無無窮窮小小量量為為 112xxsin;xxx 為為時時的的無無窮窮小小量量sin.xx 為為時時的的有有界界量量小量小量. .1. 兩個兩個(類型相同的類型相同的)無窮小量的和，差，積仍是無窮小量的和，差，積仍是2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量.性質(zhì)性質(zhì)1 1可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到可由極限的

3、四則運算性質(zhì)直接得到. 所所以以因因為為的的,0lim, 00 xfxx 使使得得當(dāng)當(dāng)存存在在,0 無窮小量無窮小量.下面對性質(zhì)加以證明下面對性質(zhì)加以證明.00|, |( )|,1xxf xM 時從而時從而00lim( )0,| ( )|,().xxf xg xM xUx 設(shè)對于任意設(shè)對于任意0( ) ( ).f x g xxx這這就就證證明明了了是是時時的的無無窮窮小小量量例如例如:時時為為時的無窮小量，時的無窮小量，為為01sin0 xxxx.01sin時時的的無無窮窮小小量量為為的的有有界界量量，那那么么xxx.01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx應(yīng)當(dāng)注意應(yīng)當(dāng)注意,

4、 , 下面運算的寫法是錯誤的：下面運算的寫法是錯誤的：|( ) ( )|.f x g x xxy1sin 從幾何上看，曲線從幾何上看，曲線在在 近旁發(fā)生無近旁發(fā)生無0 x限密集的振動，其振幅被兩條直線限密集的振動，其振幅被兩條直線xy 所限制所限制. .y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxy xxy1sin xy 二、無窮小量階的比較兩個相同類型的無窮小量，它們的和兩個相同類型的無窮小量，它們的和、差差、積仍積仍 xgxfxxxgxfxx是是關(guān)關(guān)于于時時則則稱稱，若若00lim. 10 .,0均均是是無無窮窮小小量量時時，設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xgxfxx 出如下定義出如

5、下定義.兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給這與它們各自趨于零的速度有關(guān)這與它們各自趨于零的速度有關(guān).為了便于考察為了便于考察是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的.的的高高階階無無窮窮小小量量，記記作作. )()()(0 xxxgoxf .)()1()(0 xxoxf .)0, 0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox0( )f xxx當(dāng)當(dāng)為為時時的的無無窮窮小小量量時時， 我我們們記記2. 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K 和和 L，使得在，使得在

6、x0 的某一空心鄰域的某一空心鄰域)(0 xU內(nèi)，有內(nèi)，有0)()(lim0 cxgxfxx時，這兩個無窮小量一定是同階的時，這兩個無窮小量一定是同階的.例如例如: ,0時時當(dāng)當(dāng)xxcos1 與與2x是同階無窮小量是同階無窮小量;當(dāng)當(dāng)0 x時，時，x 與與 xx1sin2是同階無窮小量是同階無窮小量.,)(0時的有界量時時的有界量時為為xxxf我們記我們記. )()1()(0 xxOxf 應(yīng)當(dāng)注意，若應(yīng)當(dāng)注意，若)(,)(xgxf為為0 xx 時的同階無時的同階無窮小量，當(dāng)然有窮小量，當(dāng)然有. )() )()(0 xxxgOxf 反之不一定成立反之不一定成立, 例如例如. )0()(1sin

7、xxOxx但是這兩個無窮小量不是同階的但是這兩個無窮小量不是同階的.注意：注意：這里的這里的) )()() )()(xgOxfxgoxf 與與)(0 xx 和通常的等式是不同的，這兩個式子的和通常的等式是不同的，這兩個式子的右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)例如右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)例如) )(xgo表示表示 的所有高階無窮小量的集合的所有高階無窮小量的集合)(xg)(0 xx . )( )()( 0 xxxgxf; )0(sin , 1sinlim0 xxxxxx所所以以因因為為; )0(arctan , 1arctanlim 0 xxxxxx所所以以因因為為則稱則稱若若 , 1)()(li

8、m . 40 xgxfxx時時的的為為與與0 )( )( xxxgxf等價無窮小量，記作等價無窮小量，記作也就是說，這里的也就是說，這里的 “=” 類似于類似于.”“ .0)(21cos12 xxx同同樣樣還還有有根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：),( )()( ),( )()( 00 xxxhxgxxxgxf若若.1)()(lim)()(lim)()(lim 000 xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無窮小量階的比較前面討論了無窮小量階的比較, 值得注意的是值得注意的是, 并并.)( )()( 0 xxxhxf那么那么這是因為這是因

9、為不是任何兩個無窮小量都可作階的比較不是任何兩個無窮小量都可作階的比較. 例如例如xxsin與與21x均為均為 x時的無窮小量時的無窮小量, 卻不能卻不能按照前面討論的方式進行階的比較按照前面討論的方式進行階的比較. 這是因為這是因為)(sin1sin2 xxxxxx是一個無界量，并且是一個無界量，并且(2 )sin(2 )0 .nn下面介紹一個非常有用的定理：下面介紹一個非常有用的定理：定理定理3.12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f, g, h 在在)(0 xU內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 且且. )()()(0 xxxgxf;)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxfxxxx 則則若若.)()

10、(lim,)()(lim)2(00AxgxhAxfxhxxxx 則則若若.)()()()(lim)()(lim00Axhxfxfxgxhxgxxxx 證證,1)()(lim,)()(lim)1(00 xgxfAxhxfxxxx因因為為所以所以定理定理 3.12 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子告訴我們，在求極限時，乘積中的因子例例1.2sinarctanlim0 xxx計計算算.212lim2sinarctanlim00 xxxxxx解解),0(22sin,arctanxxxxx因因為為所以所以(2) 可以類似地證明可以類似地證明.可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法可用等價無窮小量代

11、替，這是一種很有用的方法.例例2.sinsintanlim30 xxxx 計算計算解解3030sintanlimsinsintanlimxxxxxxxx 30)1cos1(sinlimxxxx xxxxxcos)cos1(sinlim30 3202limxxxx .21 有定義有定義, 若對于任給若對于任給定義定義2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在在)(0 xU|( )|,f xG.)(lim0 xfxx)();(00 xUxUx G 0, 存在存在 0，使得當(dāng)，使得當(dāng)則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 當(dāng)當(dāng) x x0 時為無窮大量時為無窮大量, 記作記作時時, ,有有三、無窮大量|( )|( )( ),f x

12、Gf xGf xG 若若定定義義中中的的改改為為或或記作記作00lim( )lim( ).xxxxf xf x 或或請讀者自行寫出它們的定義請讀者自行寫出它們的定義.;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx0( )f xxx相相應(yīng)應(yīng)地地稱稱為為時時的的正正無窮大量和負無無窮大量和負無類似地可以定義如下的無窮大量類似地可以定義如下的無窮大量: :窮大量窮大量. .例例3.1lim20 xx證明證明證證,|0,1,0時時當(dāng)當(dāng)取取 xGG,12Gx .1lim20 xx所以所以例例4 當(dāng)當(dāng) a 1 時，求證時，求證.lim xxa這就證明了這就證明了.lim xxaxalog函函數(shù)數(shù)

13、的嚴(yán)格遞增性，的嚴(yán)格遞增性，,Gax 當(dāng)當(dāng) x M 時，時，證證 G 0 ( 不妨設(shè)不妨設(shè) G 1 ), ,log GMa 令令由對數(shù)由對數(shù) ,0Gaann .lim nna即即例例6 6設(shè)設(shè) 遞增，無上界遞增，無上界. 證明證明.lim nnana證證 因為因為 無上界，所以任給無上界，所以任給 G 0，存在，存在na,0n.0Gan 又因又因 遞增，遞增，使使na故當(dāng)故當(dāng) 時，有時，有0nn 例例50lim ln.xx 證證明明證證0,0,0,Gx對對要要找找到到使使得得ln.xG -lne0.Gx 由由于于單單調(diào)調(diào)增增, ,只只要要令令即即可可從無窮大量的定義與例從無窮大量的定義與例3、

14、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：無窮大量不是很大的一個數(shù)無窮大量不是很大的一個數(shù)，而是具有非正常的，而是具有非正常的極限極限 . 很明顯，若很明顯，若,)(lim0 xfxx那么那么 f (x) 在在 x0 的任何一個鄰域內(nèi)無界的任何一個鄰域內(nèi)無界. 但值得注意的是但值得注意的是: 若若 f (x)例如：例如：xxxfsin)( 在在 的任何鄰域內(nèi)無界，但的任何鄰域內(nèi)無界，但卻不是卻不是 x 時的無窮大量時的無窮大量. 事實上事實上, 對對無界量無界量) , 并不能保證并不能保證 f (x) 是是 x x0 的無窮大量的無窮大量.在在 x0 的任何鄰域內(nèi)無界的任何鄰域內(nèi)無界 (稱稱 f

15、(x) 是是 x x0 時的時的2 ,2 ,1, 2 ,2nnxnynn 因而因而 f (x)不是不是 x 時的無窮大量時的無窮大量.有有.0)(,)( nnyfxf兩個無窮大量也可以定義階的比較兩個無窮大量也可以定義階的比較. 設(shè)設(shè).)(lim)(lim00 xgxfxxxx的的高高階階是是關(guān)關(guān)于于則則稱稱若若)()(,0)()(lim. 10 xfxgxgxfxx 無窮大量無窮大量.使使和和正正數(shù)數(shù)若若存存在在正正數(shù)數(shù),. 2 KL,),(0時時 xUx ,)()(KxgxfL 則稱則稱 f (x) 與與 g (x) 是當(dāng)是當(dāng) x x0 時的一個同階無窮時的一個同階無窮大量大量.是是與與則

16、稱則稱若若)()(,1)()(lim. 30 xgxfxgxfxx 當(dāng)當(dāng) x x0 時時的等價無窮大量，的等價無窮大量，記為記為., )()(0 xxxgxf下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.定理定理3.13(1) 若若 f 為為 xx0 時的無窮小量時的無窮小量, 且不等于零且不等于零, 則則為為f1.0時的無窮大量時的無窮大量xx 證證這里僅證明定理的這里僅證明定理的 (1) . 對于任意正數(shù)對于任意正數(shù)G , 因為因為有有時時當(dāng)當(dāng),|00 xx,)(1,1

17、| )(|GxfGxf 即即這就證明了這就證明了.)(1lim0 xfxx時時為為則則時時的的無無窮窮大大量量為為若若001,)2(xxgxxg的無窮小量的無窮小量.f 為為 x x0 時的無窮小量，時的無窮小量，所以存在所以存在,0 使得使得.)()(lim0 xgxfxx.2| )(|bxf 又因為又因為,)(lim0 xgxx所以對于任意正數(shù)所以對于任意正數(shù)G，存在，存在,|0,0202時時當(dāng)當(dāng) xx.|2| )(|Gbxg 證證由極限的保號性由極限的保號性,0)(lim0 bxfxx因為因為存存在在有有時時當(dāng)當(dāng),|010 xx,01 例例7,)(lim,0)(lim00 xgbxfxx

18、xx設(shè)設(shè)求證求證有有時時當(dāng)當(dāng)令令,|0,min021 xx,|22| )()(|GGbbxgxf .)()(lim0 xgxfxx注注 對于函數(shù)對于函數(shù)有有時時當(dāng)當(dāng),0,1)(,)( xxxgxxf.1)()(lim0 xgxfx這就說明了當(dāng)這就說明了當(dāng) b = 0 時結(jié)論不一定成立時結(jié)論不一定成立.即即例例8存在存在證明證明時的無界量時的無界量為為設(shè)設(shè):.)(0 xxxf使得使得,00 xxxxnn 都存在都存在,0 使得使得時時當(dāng)當(dāng),|0,0 xxx.| )(|Gxf ,1|0,1,101111時時當(dāng)當(dāng)對對 xxxG ;1| )(|1 xf.)(lim nnxf證證，為為無無界界量量時時因

19、因為為)(0 xfxx 所以所以,0 G;2| )(|2 xf. . . . . . . . . . . .;| )(|nxfn .)(lim nxxf,21|0,21,202222時時當(dāng)當(dāng)對對 xxxG ,1|0,1,0時時當(dāng)當(dāng)對對nxxxnnGnnnn 由此得到一列由此得到一列 ，滿足，滿足 且且,00 xxxxnn nx. . . . . . . . . . . .注注 例例8的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取的證明雖然有些難度，但它卻提供了選取法法, 對提高解題能力是有益處的對提高解題能力是有益處的.符合要求的點列的一種方法符合要求的點列的一種方法. 熟練地掌握這種方熟練地掌握這種方

20、四、漸近線作為函數(shù)極限的一個應(yīng)用，我們來討論曲線的漸作為函數(shù)極限的一個應(yīng)用，我們來討論曲線的漸在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線的在中學(xué)里我們已經(jīng)知道雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為, 12222byax它的漸近線方程為它的漸近線方程為.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近線問題近線問題.下面給出漸近線的一般定義下面給出漸近線的一般定義.定義定義4 設(shè)設(shè) L 是一條直線是一條直線, 若曲線若曲線 C 上的動點上的動點 P 沿沿曲線無限遠離原點時曲線無限遠離原點時, 點點 P 與與 L 的距離趨于零，則的距離趨于零，則稱直線稱直線 L 為曲線為曲線 C 的一條漸近線的一條漸近線(如圖如圖

21、).bkxy PNML L)(xfy C CxyO.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由漸近線的定義，由漸近線的定義，或或時時( x xx,01)(lim2 kbkxxfx即即時時）,0,PN首先首先, 我們來看如何求曲線我們來看如何求曲線 的斜漸近線的斜漸近線.)(xfy 如圖所示如圖所示, 設(shè)斜漸近線設(shè)斜漸近線 L 的方程為的方程為.bkxy 曲曲線上的動點線上的動點 至直線至直線 L 的距離為的距離為),(yxP從而從而. )(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx 這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)：這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)：,)(limxxfkx . )(limkxxfbx 這是沿這是沿 x 軸正向的漸近線的方程軸正向的漸近線的方程. 顯然沿顯然沿 x