微積分中不等式的證明方法討論

1、微積分中不等式的證明方法討論不等式的證明題經(jīng)常出現(xiàn)在考研題中，雖然題目各種各樣，但方法無非以下幾種：1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式若在上總有，則在單調(diào)增加；若在上總有，則在單調(diào)減少。注：考研題的難點(diǎn)是，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，有時(shí)需要兩次利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，有時(shí)需要對(duì)進(jìn)行分割，分別在小區(qū)間上討論。例：證明：當(dāng)時(shí)，. 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.【評(píng)注】 證明數(shù)值不等式一般需構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項(xiàng)，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)，然后求導(dǎo)驗(yàn)證的增減性

2、，并求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（或極限值）。例2：設(shè), 證明. 【分析】即證 證明： 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)x>e時(shí)， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此當(dāng)時(shí)，即 ，故 .【評(píng)注】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為，請(qǐng)自己證明。例3：證明不等式：【分析】當(dāng)時(shí)，兩端都等于0， 等號(hào)成立；應(yīng)分兩種情況討論。即證：（1） （2） （3）下面的證明就簡(jiǎn)單了。例4：設(shè)，證明：【分析】該題的關(guān)鍵是設(shè)輔助函數(shù)，由多種設(shè)法 （1） （2） ，當(dāng)然，第二種設(shè)法更簡(jiǎn)單例5：設(shè) ，證明【分析】輔助函數(shù)也有多種設(shè)法 （1）， （2） ， （3） ， 當(dāng)然，第三種設(shè)法更簡(jiǎn)單。2.利用拉格朗日中值定理證明不等式 對(duì)于不等

3、式中含有拉格朗日中值定理先處理以下。例6：證明：當(dāng)0<b<a時(shí)，【分析】即證：證明：令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在所以，即 ，變形得證。例7：設(shè), 證明 【分析】即前面的例2。證明 對(duì)函數(shù)在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 設(shè)，則， 當(dāng)t>e時(shí)， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .例8：設(shè)， 證明：當(dāng)時(shí)，【分析】即證：即證：，用中值定理并注意到單調(diào)減小得證。3.利用函數(shù)的最值證明不等式令上連續(xù)，則存在最大值和最小值，那么：例9：設(shè), 證明證明：令， 由 得，球的惟一的駐點(diǎn)， ，和1是在0，1上的最小值和最大值。 所以：4.利用泰勒公式證明不等式 如果要證明的不等式中，含有

4、函數(shù)的二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)，一般通過泰勒公式證明不等式。例10：在，上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，是（,）內(nèi)的任意一點(diǎn)證明：證明： (1) (2)(2)-(1)得：，因?yàn)?5.積分表示的不等式的證明例11: 設(shè)f(x),g(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對(duì)任何a,有解：，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時(shí)，因此，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到，而 =，故F(1)=0.因此時(shí)，由此可得對(duì)任何，有例12:設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x Î a , b)，.證明：.解：令F(x) = f (x) - g(x)，由題設(shè)G(x) ³ 0，x Î a , b