第六章-歐幾里得空間

1、2021/8/21第六章第六章 歐幾里得空間歐幾里得空間 (Euclid Spaces)第一節(jié)第一節(jié) 歐幾里得空間歐幾里得空間6.1 6.1 向量的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積向量的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積6.2 6.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基第二節(jié)第二節(jié) 正交變換正交變換2021/8/22第一節(jié)第一節(jié) 歐幾里得空間歐幾里得空間一、基本概念設(shè)V是實(shí)線性空間,如果存在一個(gè)法則 , f使得 中任意兩個(gè)向量 有 中V, R一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng),且具有如下性質(zhì):( ,) 1) 對(duì)稱性: ( ,)( ,) 3) 正定性: 0,( ,)0 有2) 線性性: (, )( , )( , ) (,)( ,)kk 這里 ,那么實(shí)數(shù) 稱為 與 內(nèi)積

2、,而 稱為關(guān)于這個(gè)內(nèi)積的 ,V kR ( ,) V的歐氏空間,簡稱歐氏空間.定義:2021/8/23., , 22112121的的內(nèi)內(nèi)積積與與稱稱為為向向量量令令維維向向量量設(shè)設(shè)有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 我們我們., 都是列向量都是列向量其中其中內(nèi)積的矩陣表示內(nèi)積的矩陣表示yxyxyxT 2021/8/24nR),.,(21nxxx),.,(21nyyynnyxyxyx.,2211例例 在規(guī)定 里,對(duì)于任意兩個(gè)向量容易驗(yàn)證,關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足,因而 nR對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來說作成一個(gè)歐氏空間. nR),.,(21nxxx),.,(21nyyynnyxyxyx.,

3、2211例例 在規(guī)定 里,對(duì)于任意向量不難驗(yàn)證, 也作成一個(gè)歐氏空間. nR2021/8/25定義定義).(,22221或范數(shù)的長度維向量稱為令xnxxxxxxxn向量的長度具有下列性質(zhì)：向量的長度具有下列性質(zhì)：.)3(;)2(; 0,0; 0,0)1(yxyxxxxxxx 三三角角不不等等式式齊齊次次性性時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)非非負(fù)負(fù)性性 2 歐幾里德空間的基本性質(zhì)2021/8/26.,1為為單單位位向向量量稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx ).0( , 1, 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)從從而而有有不不等等式式向向量量的的內(nèi)內(nèi)積積滿滿足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx2021/8/27定義定義.,arccos ,0, 0

4、的的夾夾角角與與維維向向量量稱稱為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxnyxyxyx ., 0.,0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若正交正交與與稱向量稱向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxyxyx 2021/8/28約定：單獨(dú)一個(gè)非零向量也叫一個(gè)正交組。 歐氏空間 的一組非零向量，如果它們兩兩正交(內(nèi)積等于零)，就稱之為一個(gè)正交組。全由單位向量構(gòu)成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組。V在 中，3R123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)與1231111(0,1,0),(,0,),(,0,)2222為標(biāo)準(zhǔn)正交基，而12(1,0,1),(0,2,0)ee是是正交組但不是標(biāo)準(zhǔn)正交組3 標(biāo)準(zhǔn)正交基底定義定義例例2021/8/29定理

5、 正交組必是線性無關(guān)組。 iiinjjijnjjjiiaaa,0 ,011證：證：設(shè)有 Raaan,21使得 02211nnaaa因?yàn)楫?dāng)ij 時(shí) 0,ji，所以 但 0,ii，所以 , 2 , 1nai即 n,21線性無關(guān). 2021/8/21012,n Vn設(shè) 為維歐氏空間，若基而由標(biāo)準(zhǔn)正交組作成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正是正交組，則稱之為 的一個(gè)正交基。V交基。n維歐氏空間中正交組中向量的個(gè)數(shù) n 的標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的但不是唯一的。nR定義定義注意注意Rn2021/8/211標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)設(shè) 為 的一個(gè)正標(biāo)準(zhǔn)正交基，而 12,n V1 122nnxxx12,n 12,n 1 122nnyyy則1(,

6、),(,)niiiiix i) 1(,)niiix y ii) 維歐氏空間 的標(biāo)準(zhǔn)正交基是存在的。nV 為 的一個(gè)正標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分 的度量矩陣V( ,)ijij 12,n 12,n 必要條件是( ,)ijn nAE 。即122021/8/212 維歐氏空間中任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. n對(duì)于 維歐氏空間中任一組基都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，使得 ,即 n12,n 12,n 1212(,)( ,),1,2,iiLLin 12( ,),1,2,iiLin 定理定理2021/8/2131,2,kn112122111121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(

7、,)kkkkkkkkk ,1,2,|iiiin施密特正交化方法施密特正交化方法2021/8/214例例 在歐氏空間 3R中對(duì)基 )3 , 0 , 2(),2 , 1 , 0(),1 , 1 , 1 (321施行正交化方法得出 3R的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 31,31,31|111解解: :第一步，取2021/8/215第二步，先取) 1 , 0 , 1(31,31,313)2 , 1 , 0(,11221111222然后令21, 0 ,21|2222021/8/216第三步，取 65,35,6521,21,212131,31,3135)3 , 0 , 2(,231133222231111333再令6

8、1,62,61|333于是 321,就是 3R的一個(gè)規(guī)范正交基。 2021/8/217定義定義.),( 1為為正正交交矩矩陣陣那那么么稱稱即即滿滿足足階階矩矩陣陣如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基向向量量構(gòu)構(gòu)成成向向量量空空間間行行個(gè)個(gè)列列的的正正交交矩矩陣陣RnAn第二節(jié)第二節(jié) 正交變換正交變換方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交（列）向量都是單位向量，且兩兩正交AA2021/8/218定義定義若為正交矩陣，則線性變換稱為若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換正交變換正交變換的特性在于保持線段的

9、長度不變正交變換的特性在于保持線段的長度不變.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 則則有有為為正正交交變變換換設(shè)設(shè)PPxy 2021/8/219dcbaU設(shè)是 的一個(gè)正交變換，關(guān)于 的一個(gè)規(guī)范正交基 的矩陣是2V21,2V那么U 是一個(gè)正交矩陣. 于是（2 2） 0, 1, 12222bdaddbca由第一個(gè)等式，存在一個(gè)角，使a = cos ，c = sinV2空間的正交變換2021/8/220由于cos cos = = cos(cos()， sin sin = = sinsin（）因此可以令a a = = cos cos ，c = sin c = sin 這里 =或 . 同理，由（4）的

10、第二個(gè)等式，存在一個(gè)角使b b = = coscos，d d = = sinsin將a, b, c, d代入（4）的第三個(gè)等式得CosCoscoscos + sin+ sinsinsin = 0 = 0或cos(cos(+ +) = 0) = 02021/8/221最后等式表明， 是 的一個(gè)奇數(shù)倍. 由此得cossin,sincos 所以cossinsincosU或 cossinsincosU222021/8/222 在前一情形中，是將 的每一向量旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)； 2V 這樣， 的正交變換或者是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，或者是關(guān)于一條過原點(diǎn)的直線的反射. 2Vxy)2tan(2V坐標(biāo)的向量. 這時(shí)是直線的反射.

11、 在后一情形，將 中以（x, y）為坐標(biāo)的變量變成以(xcos+ysin, xsinycos) 為2021/8/223;, 2 , 1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki 或或交條件交條件元素滿足正元素滿足正或行或行證明矩陣的各列證明矩陣的各列方法方法.,2EAAATT 驗(yàn)驗(yàn)證證然然后后先先求求出出根根據(jù)據(jù)正正交交陣陣的的定定義義方方法法一、如何證明所給矩陣為正交矩陣2021/8/224.)/(2,為為正正交交矩矩陣陣證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為維維列列向向量量是是設(shè)設(shè)aaaaEAnEnaTT 例例1 1證明證明.,EAAAATT 證證義義驗(yàn)驗(yàn)然然后后根根據(jù)據(jù)正

12、正交交矩矩陣陣的的定定先先驗(yàn)驗(yàn)證證)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA 2021/8/225.)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是是正正交交矩矩陣陣時(shí)時(shí)特特別別當(dāng)當(dāng)aaEAaaTT , 0為為一一非非零零數(shù)數(shù)aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩陣是正交矩陣故故A2021/8/226將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組，可將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可

13、同時(shí)進(jìn)行正交化與以先正交化，再單位化；也可同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化單位化.,1001,0101,0011321向量組向量組求與之等價(jià)的正交單位求與之等價(jià)的正交單位無關(guān)向量組無關(guān)向量組是線性是線性已知向量已知向量 例2例2二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組2021/8/227解一解一先正交化，再單位化先正交化，再單位化;)1(11 取取,)2(12212正正交交與與使使得得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故2021/8/228得得交交正正與與且且令令, , )3(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故2021/8/229得得單單位位化化將將,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 2021/8/230解二解二同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化并并單單位位化化得得取取,)1(11