熱學(xué)競賽輔導(dǎo)(2)(2013)

1、12011年10月2熱學(xué)主要公式熱學(xué)主要公式 231 mnP 1. 理想氣體的狀態(tài)方程理想氣體的狀態(tài)方程:2. 理想氣體的壓強(qiáng)公式理想氣體的壓強(qiáng)公式RTPV 3. 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能PViNkTiE22 4. 分子按速律分布分子按速律分布 dekTmNdNkTm22/32224 5. 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律zyxkTEEdddxdydzdCedNpk / )( kTmghkTEePPennp/0/0 6. .三種速率三種速率mkT 8 mkT32 mkTp2 3RTMbMVVaMP )(2227. .范德瓦爾斯方程范德瓦爾斯方程8.8.平均自由程和平均碰撞頻率平均自由程和平均碰

2、撞頻率12.12.功功PdVdA vndZ22 PdkTnd22221 dAdEdQ 13.13.熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律9.9.粘滯系數(shù)粘滯系數(shù) 3131 nm10.10.熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)Vckin 31231 11.11.擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散系數(shù) 31 D414.14.熱容熱容量量dTdQC VVmdTdQC 1 19.19.熵變熵變TdQdS 2112TdQSS20.20.熵增加原理熵增加原理 0 S 21.21.熵與微觀態(tài)的關(guān)系熵與微觀態(tài)的關(guān)系 lnkS16.16.絕熱過程方程絕熱過程方程CPV 15.15.邁爾公式邁爾公式RCCVmPm 17.17.熱機(jī)的效率熱機(jī)的效率1211QQQ

3、A 2122QQQAQw 18.18.致冷系數(shù)致冷系數(shù)CTV 1 CTP 151 1、某種理想氣體分子的平動自由度、某種理想氣體分子的平動自由度t=3,t=3,轉(zhuǎn)動自由度轉(zhuǎn)動自由度 r=2,r=2,振動自由度振動自由度s=1.s=1.當(dāng)氣體的溫度為當(dāng)氣體的溫度為T T時時, ,一個分子一個分子 的平均總能量等于的平均總能量等于_,_,一摩爾該種氣體的內(nèi)一摩爾該種氣體的內(nèi) 能等于能等于_. _. RTkT27,27)1(RTkT25,25)2(RTkT23,23)3(RTkT21,21)4(2 2、右圖為某種氣體的兩條麥克斯韋速率分布曲線、右圖為某種氣體的兩條麥克斯韋速率分布曲線, ,則則 它們

4、的最可幾速率它們的最可幾速率V VP1P1_V_VP2P2, ,溫度溫度T T1 1_T_T2 2. . (1)V(1)VP1P1VVP2P2, T, T1 1TT2 2 (2)V(2)VP1P1VTT2 2 (3)V(3)VP1P1VVP2P2, T, T1 1TVVP2P2, T, T1 1T1。工作于其中兩個任。工作于其中兩個任選熱源之間的可逆卡諾熱機(jī)的循環(huán)效率最大可選熱源之間的可逆卡諾熱機(jī)的循環(huán)效率最大可取值取值max=_。由這四個熱源共同參與。由這四個熱源共同參與的某個可逆循環(huán)如圖所示，圖中每一條實線與的某個可逆循環(huán)如圖所示，圖中每一條實線與其間輔助虛線同屬一條絕熱線。此循環(huán)過程效其

5、間輔助虛線同屬一條絕熱線。此循環(huán)過程效率率=_。 OVPT1T2T3T4解：解：314max111 TT224131111 TTTT第第25屆（屆（2008）考題考題10第第22屆（屆（2005）考題考題例例3 3：設(shè)某種雙原子分子理想氣體，設(shè)某種雙原子分子理想氣體，在溫度低于在溫度低于2 2T T0 0時等容摩爾熱容量為時等容摩爾熱容量為5R/25R/2，在溫度高于，在溫度高于2 2T T0 0時等容摩爾熱時等容摩爾熱容量為容量為7R/27R/2。該氣體所經(jīng)熱循環(huán)過。該氣體所經(jīng)熱循環(huán)過程如圖所示，試求循環(huán)效率程如圖所示，試求循環(huán)效率。V0BACD3T0T03V0OVP解解1：BCABQQQ

6、吸吸 BCVVTTRTTRTTRQln)3(225232700000 吸吸3ln3600RTRTQ 吸吸DACDQQQ 放放 ADVVRTTTRTTRQln225232700000 放放3ln600RTRTQ 放放%6 .233ln363ln611 吸吸放放QQ 11解解2：（正確）：（正確）BCABQQQ 吸吸BCVVTTRTRTRQln)3(25327000 吸吸3ln3800RTRTQ 吸吸DACDQQQ 放放ADVVRTTRTRQln25327000 放放3ln800RTRTQ 放放%5 .193ln383ln811 吸吸放放QQ 12例例4：在圖示的密閉容器內(nèi)有一空腔，加熱容器會使在

7、圖示的密閉容器內(nèi)有一空腔，加熱容器會使腔壁產(chǎn)生熱輻射，在空腔內(nèi)形成包含各種頻率的光子腔壁產(chǎn)生熱輻射，在空腔內(nèi)形成包含各種頻率的光子氣。而后腔壁會繼續(xù)向空腔輸運各種頻率的光子，光氣。而后腔壁會繼續(xù)向空腔輸運各種頻率的光子，光子氣中各種頻率的光子也會輸運到腔壁，在給定溫度子氣中各種頻率的光子也會輸運到腔壁，在給定溫度下達(dá)到動態(tài)平衡。平衡時，可等效地將腔壁處理成既下達(dá)到動態(tài)平衡。平衡時，可等效地將腔壁處理成既不產(chǎn)生新的熱輻射光子，也不吸收腔內(nèi)有的光子，這不產(chǎn)生新的熱輻射光子，也不吸收腔內(nèi)有的光子，這相當(dāng)于假設(shè)腔壁對光子氣中的光子是全反射的，于是相當(dāng)于假設(shè)腔壁對光子氣中的光子是全反射的，于是光子可類比

8、成理想氣體。已知腔內(nèi)光子氣的能量密度光子可類比成理想氣體。已知腔內(nèi)光子氣的能量密度u與溫度與溫度T的的4次方成正比，試求光子氣壓強(qiáng)次方成正比，試求光子氣壓強(qiáng)P與溫度與溫度T的關(guān)系。的關(guān)系?？涨豢涨坏诘?3屆（屆（2006）考題）考題13光子氣的光子氣的能量密度能量密度解解：頻率為頻率為的光子，質(zhì)量為的光子，質(zhì)量為熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容2chm uhncmnP3131312 其中其中 hnu 即為光子氣中即為光子氣中光子的光子的能量密度。能量密度。于是，光子的總壓強(qiáng)為于是，光子的總壓強(qiáng)為uuPP3131 因因 uT4 所以所以 PT414熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容例例5: 1mol剛性雙原子理想

9、氣體經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)，剛性雙原子理想氣體經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)， 求循環(huán)效率。求循環(huán)效率。 OPVV12V1P12P1abc解：解：氣體對外作功氣體對外作功1121VPA （1）ab 過程過程 11111125225VPVPVPEab 11111)2(VPVVPAab 吸熱：吸熱：0 abababAEQ利用利用1QA 計算效率計算效率實際是放熱。實際是放熱。（2） bc 過程過程bcbcQVPVPVPE 11111125)2(25吸熱吸熱15熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容OPVV12V1P12P1abc（3）ca過程過程過程方程設(shè)為：過程方程設(shè)為： VP這里：這里：11VP 13P 1113PVVPP

10、 取一微小過程尋找絕熱點取一微小過程尋找絕熱點尋找吸熱到放熱的轉(zhuǎn)變點，尋找吸熱到放熱的轉(zhuǎn)變點，PdVdEdQ PdVPVd 25PdVVdPPdV 2525而過程方程而過程方程dVVPdP11 dVVVPPdQ 112527dVVVPP 111227316熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容dVVVPPdQ 1112273（a）當(dāng)）當(dāng)VVPP111227 即：即：147VV 0 dQ系統(tǒng)吸熱系統(tǒng)吸熱（b）當(dāng)）當(dāng)VVPP111227 即：即：147VV 0 dQ系統(tǒng)放熱系統(tǒng)放熱OPVV12V1P12P1abc（c）當(dāng)）當(dāng)111227VPP 即：即：147VV 0 dQ系統(tǒng)既不放系統(tǒng)既不放熱也不吸熱熱也不吸熱

11、147Vce 過程吸熱過程吸熱 dQQce 11471112273VVdVVVPP111627VP 17熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容總吸熱為：總吸熱為：cebcQQQ 11111162725VPVP 111667VP 效率為效率為%9 .1167816672111111 VPVPQA OPVV12V1P12P1abc147V18第第27屆（屆（2010）考題）考題例例5: n摩爾剛性單原子分子理想氣體經(jīng)循環(huán)過程摩爾剛性單原子分子理想氣體經(jīng)循環(huán)過程ABCA和相關(guān)狀態(tài)量如圖所示，其中和相關(guān)狀態(tài)量如圖所示，其中AB是斜直線，是斜直線，BC是等溫是等溫線，線，CA是等壓線。求：是等壓線。求：（1）每段過程

12、對外所做的功；）每段過程對外所做的功；（2）每段過程中）每段過程中, 系統(tǒng)內(nèi)能的增加和吸收的熱量；系統(tǒng)內(nèi)能的增加和吸收的熱量；（3）此循環(huán)過程的效率。）此循環(huán)過程的效率。（注：（注：ln2=0.693, ln3=1.099, ln5=1.609） OPVV02V0P02P0CAB4V019熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容例例6：絕熱汽缸內(nèi)有一不導(dǎo)熱的隔板，把汽缸分成絕熱汽缸內(nèi)有一不導(dǎo)熱的隔板，把汽缸分成A，B兩室兩室,每室中有質(zhì)量相同的同種單原子分子理想氣體每室中有質(zhì)量相同的同種單原子分子理想氣體,它們的壓強(qiáng)都是它們的壓強(qiáng)都是P0，體積都是，體積都是V0，溫度都是，溫度都是T0。今通。今通過過A 室中

13、的電熱絲室中的電熱絲L對氣體加熱，轉(zhuǎn)給氣體的熱量為對氣體加熱，轉(zhuǎn)給氣體的熱量為Q，達(dá)到平衡時，達(dá)到平衡時，A室的體積是室的體積是B室的二倍，試求兩室中氣室的二倍，試求兩室中氣體的溫度。體的溫度。ABL解：解：A室室 初態(tài)初態(tài) 0P0V0T末態(tài)末態(tài)PAVATB室室 初態(tài)初態(tài) 0P0V0T末態(tài)末態(tài)PBVBT20熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程NkTPV 有有AANkTPV BBNkTPV 兩式相除，得到兩式相除，得到21 ABABVVTT即：即：)1(02 BATT由于汽缸的體積是不變的，電熱絲的熱量全部變成了由于汽缸的體積是不變的，電熱絲的熱量全部變成了兩室的內(nèi)能

14、增量：兩室的內(nèi)能增量：QNkTNkTNkTBA 02322323或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?2()3(320NkTQNkTTBA （1）（）（2）兩式聯(lián)立，可求得：）兩式聯(lián)立，可求得：)3(940NkTQNkTA )3(920NkTQNkTB 21熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容)3(940NkTQNkTA )3(920NkTQNkTB 據(jù)據(jù)000NkTVP 有有NkTVP 000因此末態(tài)兩室的溫度為因此末態(tài)兩室的溫度為)3(9400000VPQVPTTA )3(9200000VPQVPTTB 22熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容例例7：某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程 ABCDA和正和正循環(huán)過程循

15、環(huán)過程 AEFGA,各自效率分別為各自效率分別為1和和2，試證，試證2:1=4 : 3ABEGFDCV02V0037VP02P03P0P0V 證明：證明：對于循環(huán)過程對于循環(huán)過程 ABCDAA-B和和B-C 為吸熱過程為吸熱過程0000002222VPiVPiVPiEQABAB BCBCBCAEQ 000000000)2()2(222222VPiVVPVPiVPi 共吸熱共吸熱001)223(VPiQQQBCAB 23熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容ABEGFDCV02V0037VP02P03P0P0V001)223(VPiQQQBCAB 此循環(huán)過程對外作功為此循環(huán)過程對外作功為0000001)2)(

16、2(VPVVPPA 效率：效率：432111 iQA 對于循環(huán)過程對于循環(huán)過程 AEFGAA-E和和E-F 為吸熱過程為吸熱過程000000232ViPVPiVPiEQAEAE EFEFEFAEQ 000000000)2(2)37(3323732VPiVVPVPiVPi 共吸熱共吸熱002)43(VPiQQQEFAE 24熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容002)43(VPiQQQEFAE ABEGFDCV02V0037VP02P03P0P0V此循環(huán)過程對外作功為此循環(huán)過程對外作功為000000238)37)(3(VPVVPPA 效率：效率：4338222 iQA 所以所以3:4:12 證畢。證畢。25

17、熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容例例8：兩個與大氣接觸的汽缸分別存有同種理想氣體，兩個與大氣接觸的汽缸分別存有同種理想氣體，細(xì)管絕熱閥門細(xì)管絕熱閥門K關(guān)閉，缸內(nèi)氣體溫度和體積各為關(guān)閉，缸內(nèi)氣體溫度和體積各為11,VT和和22,VT，兩缸上方均有輕質(zhì)可動活塞，活塞與缸壁，兩缸上方均有輕質(zhì)可動活塞，活塞與缸壁間無空隙且無摩擦，系統(tǒng)與外界絕熱。間無空隙且無摩擦，系統(tǒng)與外界絕熱。（1）將閥門）將閥門K緩慢打開，試求缸內(nèi)氣體混合平衡后緩慢打開，試求缸內(nèi)氣體混合平衡后的總體積；的總體積；（2）設(shè)該種氣體的定容摩爾熱容量為）設(shè)該種氣體的定容摩爾熱容量為VmC，開始時，開始時兩邊氣體摩爾數(shù)同為兩邊氣體摩爾數(shù)同為，試求

18、按（，試求按（1）問所述氣體）問所述氣體混合平衡后系統(tǒng)熵增量混合平衡后系統(tǒng)熵增量SK11,VT22,VT26熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容K11,VT22,VT解解（1）混合后的體積設(shè)為混合后的體積設(shè)為V外界對氣體作功等于內(nèi)能增量，即：外界對氣體作功等于內(nèi)能增量，即：20100210222)(VPiVPiVPiVVVP 0)() 12(210 VVVPi得到：得到：21VVV （2）系統(tǒng)體積沒有變化，沒有體變功，又是絕熱過程，）系統(tǒng)體積沒有變化，沒有體變功，又是絕熱過程，系統(tǒng)的內(nèi)能不變，應(yīng)有：系統(tǒng)的內(nèi)能不變，應(yīng)有：)()(221121TCTCTCVmVmVm 由于由于)(21 所以：所以：221TTT 27熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容混合過程熵變?yōu)榛旌线^程熵變?yōu)镽LSSS 212214)(ln)(TTTTRCVm 22211212)()(TTTTTTVmVmTdTRCTdTRC 22211212TTTTTTPmPmTdTCTdTC 28例例9：在兩端絕熱封頂，半徑在兩端絕熱封頂，半徑R2=7.5cm的長容器內(nèi)，同的長容器內(nèi)，同軸地固定著半徑軸地固定著半徑R1=5cm長鈾棒，兩者之間夾著一層空氣。長鈾棒，兩者之間夾著一層空氣。鈾因裂變在單位時間、單位體積內(nèi)產(chǎn)生的熱量為鈾因裂變在單位時間、單位體積內(nèi)產(chǎn)