向量空間(熊維玲版)

1、第三章向量空間 3.1 n維向量及其運(yùn)算N維向量的概念1 定義1定義1n個(gè)有次序的數(shù)a1,a2,L,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分a1a2量，第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量.記為aa1,a2,L,an，出可以寫成一列的形式a，前者稱為行nM向量，而后者稱為列向量.行向量可看作是一個(gè)n1矩陣，故又稱行矩陣；而列向量可看作一個(gè)n1矩陣，故又稱作列矩陣.因此它們之間的運(yùn)算就是矩陣之間的運(yùn)算，從而符合矩陣運(yùn)算的一切性質(zhì).向量之間的運(yùn)算只涉及到線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置運(yùn)算.為敘述方便，我們約定：用小寫黑體字母a,b,等表示列向量，用a,bT,T,T表示行向量.也可用（w,a2,an）T來表示

2、一個(gè)列向量。即（a1,a2,an）T是一種很覺的表述。在不特別聲明時(shí)我們說到的向量均為列向量，行向量視為列向量的轉(zhuǎn)置.例如：二維向量可以表示平面上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。三維向量可以表示空間里的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。四維以上的向量，四維以上的向量，沒有具體的幾何意義。但在研究中是常見的向量。2幾個(gè)特殊的向量及與向量相關(guān)的概念1 ）分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量.分量不全為實(shí)數(shù)的向量稱為復(fù)向量O。b1b2當(dāng)且僅當(dāng)aibi 的時(shí)候，abnb ，方程組的解通常也直接表示成：2）分量全為零的向量，稱為零向量。記為a1a23）相等向量：二個(gè)向量a與bMan4）方程組的矩陣表示式中的向量：Axa1b1a2b25）向量的加法：

3、abanbnkb1kb26）向量的數(shù)乘：kbkbn7）負(fù)向量a（1）a。8）向量的減法。aba（1）b精選資料，歡迎下載n維向量的線性運(yùn)算1、定義2設(shè)有向量(a1,a2,L,an),(b1,b2,L,bn),則向量與向量的線性運(yùn)算定義如下:A(a1b1,a2b2,L,anbn)k2、運(yùn)算律A(ka1,ka2,L,kan)(1)(2)(3)(4)例1設(shè)v1v1v2o(1,(1,)1,1,00)T,v2(0,1,(5)(6)(7)(8)1)T,v31k(lk(kl(3,4,l)(kl)kk0)T(0,1,3v12v2v33(1,(3(0,n維向量空間：數(shù)域1,0)T1201,2)T1)T(12(0

4、,1,3,310,1)T21,(3,4,0)T04,3v1v2及3v12v2v3.1)T(1,0,1)T0)T0210)T上的一個(gè)n維向量空間。記為：P上的n維向量的全體以及定義在它們上面的線性運(yùn)算，構(gòu)成數(shù)域pn1、向量組的定義3.2n維向量組及其線性組合精選資料，歡迎下載定義1由若干個(gè)同維數(shù)的列（行）向量構(gòu)成的集合是一個(gè)向量組例1 m n矩陣A的m個(gè)n 行向量可構(gòu)成一個(gè)行向量組矩陣A 的行向量組1T , 2T ,mT，反過來，任給一組n 維行向量TT1, 2,T ，可以構(gòu)成一得矩陣m ，可以構(gòu)成一得矩陣可以構(gòu)成一得矩陣T1M ，因此它們構(gòu)成一一對應(yīng)Tm稱為A的行向量組。類似地）m n矩陣A的

5、n個(gè)m維列向量構(gòu)成的列向量組 （aha2,an ）也與A構(gòu)成一一對應(yīng)，故我們也用大寫字母表示向量組為A ： a1,a2, an.稱為a的列向量組。1001例 2 n 維向量e1,e2,L1 M2 M0000組成的一個(gè)向量組，稱之為n 維基本單位坐標(biāo)向量組M1（默認(rèn)是列向量組，也可以根據(jù)需要用行向量組）2、向量組的線性組合定義2給定向量組A：ai,a2,L,am,對于任何一組實(shí)數(shù)ki,k2,L,km,稱向量k1a1k2a2Lkmam為向量組A的一個(gè)線性組合，ki,k2,L,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).定義3給定向量組A：ai,a2,L,am和向量b,若存在一組實(shí)數(shù)i,2,L,m,使得biai2a

6、2Lmam則稱向量b是向量組A的一個(gè)線性組合，或稱向量b可由向量組A線性表示.aia2汪任一個(gè)n維向重a都可由n維單位向重組e1,e2,L,en線性表示Maaieia2e2Lanen向量b可由向量組A：a1，a2,L,an線性表示方程組aixia2x2Lanxnb有解Amnxb有解R（A）R（A,b）（二個(gè)矩陣中階梯形中非零行的行數(shù)一樣,概念以后再說明）零向量都可以由任何一個(gè)向量組線性表示。12222113一,2,3,，問向量是否能由向量組325445411,2,3線性表不?2解：因?yàn)?3115可見，R,所以向量不能由向量組3線性表示4，問向量2是否能由向量組1,2,3線性表不，并試求出其表達(dá)

7、式。解：因?yàn)?2（行階梯形）可見，R求表達(dá)式的方法:二3,所以向量可以由向量組3線性表示。4（行階梯形）11001行010100110000可求出:3，該表達(dá)式唯一.。證明向量b 能由向量組并求出表木式11111210,a2,a3,b2213432301a1，a2,a3線性表示,例5設(shè)a1解Q(A,b)(a1,a2,a3,b)R(A)R(A,b)b能由向量組a1,a2,a3線性表示,表達(dá)式是：3c2*方程Ax b 的 通 解 為 x2c 1( c R )(3c2同(2c1)a2ca3(其中，c可任意取值)*待講完線性方程組才可以理解此解。m 表示，只需要判斷由矩陣*小結(jié)：對于判斷一個(gè)向量是否可

8、以由另一個(gè)向量組1,2,1 表示。若不一樣，則無法表示。具體該怎么表示，待講線性方程組的解的表示時(shí)就知道該如何表示了。若不一樣，則無法表示。與矩陣 ( 1 , 2 ,m ) 的行階梯形中的非零行數(shù)是否一樣。若一樣，則可具體該怎么表示，待講線性方程組的解的表示時(shí)就知道該如何表示了?！颈竟?jié)小結(jié)】1、向量的概念2、向量組及其線性組合向量b可由向量組A：a1，a2,L,an線性表示方程組axia?X2LanXnb有解AmnXb有解R(A)R(A,b)3.4矩陣的秩(要求做筆記，先講矩陣的秩的概念和性質(zhì)，再講向量組的線性相關(guān)性。k階子式定義1在mn矩B$人中，任取k行與k列(km,kn),位于這些行列交

9、叉處的這k2個(gè)元素,按原位置次序構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣A的一個(gè)k階子式.1例如矩陣32510 2 12 1103 0 116 4 0 742,取1,3,4行及2,4,5列得其一個(gè)3階子式9注mn矩陣A共有Cmmck個(gè)k階子式.二、秩的定義定義2設(shè)在矩陣A中有不為0的r階子式D,而所有的r1階子式(若存在的話)均為0,則稱D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A).并規(guī)定R(O)0.注矩陣A的秩就是A所有非零子式的最高階數(shù)，只要A不是零陣，就有R(A)0;若A為mn矩陣，則0R(A)minm,n；若有一個(gè)r階子式不為0,則R(A)r;若所有的r1階子式都等于0,則R(A)r

10、;R(AT)R(A)；若n階方陣的行列式A0,則A的最高階非零子式就是A,所以R(A)n,故稱A為滿秩矩陣；若A0,則稱A為降秩矩陣.210320：31250004300000例1求矩陣A與B的秩，其中122A235,B471A有2階子式120,且A只有一個(gè)3階子式，即A02324 0 ,由于B的第4行元素均為0,故B的4階子式均為0R(A)2.213B有3階子式032004R(B)3.注當(dāng)矩陣的行、列數(shù)都較高時(shí)，用定義求秩是困難的，定義主要具有理論價(jià)值；B的秩較好求是因?yàn)樗且粋€(gè)行階梯形陣，顯然行階梯形陣的最高階非零子式就是其非零行的第一個(gè)非零數(shù)所在的行與列所構(gòu)成的子式，即階梯形陣的秩就等于

11、其非零的行數(shù)！自然的想法是：能否將矩陣化為行階梯形陣來求其秩？即問題是等價(jià)矩陣的秩是否相等？三、矩陣的秩的求法定理1若AB,則R(A)R(B).證明設(shè)R(A)r,且A的某個(gè)r階子式Dr0.因?yàn)锳B,故A可經(jīng)初等變換變?yōu)锽,又R(AT)R(A),所以可僅就行變換的情形給出證明：(1)先證經(jīng)一次初等行變換后，R(B)R(A)r口_當(dāng)AB或時(shí)，則B中與Dr相對應(yīng)的子式Dr必滿足DrDr或DrDr,或DrkDr,從而有Dr0,因此R(B)r；Gkrj當(dāng)AB時(shí)，分兩種情形討論：Dr 0,所以 R(B) r ；若Dr不含第i行，或同時(shí)含第i行和第j行，則Dr若Dr中含第i行但不含第j行,M則有Dr若 3r

12、0,則 Dr Dr 0ri k。MR(B)DrrjDr kE?rM0,則由就是A的不含第i行的r階子式，由知 R(B) r ,綜合以上知，經(jīng)一次初等行變換后(2)再證經(jīng)一次初等行變換后變?yōu)锳,由(1)的證明知R(B)R(B) R(B) R(A)；R(A).R(A)：因?yàn)槌醯刃凶儞Q均可逆，即B經(jīng)一次初等行變換后亦可綜合以上知經(jīng)有限次初等行變化后,R(A) R(B).注由定理1知，初等變換不改變矩陣的秩.故可先用初等行變換將 A化為行梯形陣,階梯形陣的非零行的行數(shù)就是矩陣A的秩.精選資料，歡迎下載1211161212r3 3r2r4 4r214 r3由于A的行階梯形有3個(gè)非零行，所以0R(A)03

13、.由上知，A的最高階非零子式是 3階的，故只需找A的一個(gè)不為零的三階子式.又A的行階梯形有個(gè)最高階非零子式:,與它相對應(yīng)的是1、2和4三列，只需在這三列構(gòu)成的矩陣，求R(A),并試找出A的一個(gè)最高階非零子式r32r1r43r1中找個(gè)三階的非零子式.因?yàn)?階子式:30 240 20 0 30160,所以它就是A的最高階非零子式.1(A,b)的秩.(A,b)R(A) 2,R(B)注 上面只作了初等行變換，故它們對應(yīng)的方程組是同解方程組，而B的行階梯形所對應(yīng)的方程組含有矛盾方程 0題個(gè)關(guān)鍵是R(A)事實(shí)上R(A) R(B)1(矩陣第3行所對應(yīng)的方程)，所以B對應(yīng)的非齊次線性方程組 Ax b無解，問2

14、 R(B) 3造成的.R(A) R(B)在B的行最簡形陣中的最后一個(gè)非零行對應(yīng)出現(xiàn)矛盾方程 方程組無解.0 =1這個(gè)具體問題不禁讓我們猜想：一個(gè)線性方程組有沒有解應(yīng)與它系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的關(guān)系有 關(guān)？這個(gè)問題將在下一節(jié)討論 .四、秩的性質(zhì)性質(zhì)1若A為m n矩陣，則0 R( A) minm,n；性質(zhì) 2 R(AT) R(A)；性質(zhì) 3 若 AB ,則 R(A) R(B)；性質(zhì)4若P,Q可逆，則R( PAQ) R( A)；性質(zhì) 5 maxR(A), R(B) R(A, B) R(A) R(B)；性質(zhì) 6 R(A B) R(A) R(B)；性質(zhì) 7 R(AB) min R(A), R(B)；性質(zhì)

15、8若慶祖口 。，則R(A) R(B) n .*余下的內(nèi)容留講第三節(jié)的時(shí)候再講。3.3向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)的概念定義1給定向量組 A:a1，a2,L,am ,若存在不全為零的數(shù) k1,k2,L ,km,使則稱向量組A是線性相關(guān)的.否則稱它為線性無關(guān).k1 1k2 2Lkm m 0精選資料，歡迎下載k1 1 k2 2 Lkm m 0精選資料，歡迎下載向量組ai,L ,am線性無關(guān)任意一個(gè)包含有零向量在內(nèi)的向量組必線性相關(guān)如果一個(gè)向量組僅含有一個(gè)向量性無關(guān) .a ，則當(dāng) a 0 ，則該向量組線性相關(guān)；當(dāng)a0 ，則該向量組線如果一個(gè)向量組僅含有二個(gè)向量a,b ，則這兩個(gè)向量a,b 線性相

16、關(guān)的充要條件是其對應(yīng)分量成. 即存在一個(gè)非零系數(shù)k, 使得 a對于一個(gè)向量組，不是線性相關(guān),kb 。就是線性無關(guān);兩向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的幾何意義是兩個(gè)向量共線;.三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三個(gè) n 維單位坐標(biāo)向量組e1 ,e2 ,en 是線性無關(guān)的。例 1 證明 n 維單位坐標(biāo)向量組e10, e2 M1,L ,enM0 是線性無關(guān).M證明：設(shè)k1e1k2e2 Lknen0 ，則由k1e1k2e2knenk1 k2 M知，k1Lkn0 ，kn1Ln0時(shí)，才有1122Lnn0；故n維單位向量組e1,e2,L,en是線性無關(guān).三、向量組線性相關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及線性相關(guān)性的判斷方法(一)有關(guān)性質(zhì)性

17、質(zhì)1,am,b線性相關(guān),則向量b可由向量組A線若向量組A：a1，a2,L,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,L性表示，且表示方式是惟一的.證明 記 A(a1,a2,L ,am)R(B) R(A)R(A) R(B)m ；又由向量組m ， 方程組 AxB (a,L ,am,b).由于若向量組 A線性無關(guān)，故 R(A) m,故B 線性相關(guān)知R(B) m 1 . 于是 m R( B) m 1 ，所以b有唯一解.這表明向量b可由向量組 A線性表示，且表示方式是惟一的.注：也可像書上用定義證明。說明向量b前的系數(shù)不能為零就可以了。性質(zhì)2若向量組A：a1，a2,L,am線性相關(guān)，則向量組B：a1，a2,

18、L,am,am1也線性相關(guān)；反之，若向量組B:a1,a2,L,am,am1也線性無關(guān)，則向量組A:a1,a2,L,am也線性無關(guān).反言之，線性無關(guān)的向量組的任何非空的部分向量組都線性無關(guān).注性質(zhì)2的結(jié)論可以簡述為：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān).證明記A(a1，a2,L,am)B(a1,L,am,am1),則R(B)R(A)1.由于若向量組A線性相關(guān)，故R(A)m,于是R(B)R(A)1m1,從而向量組B線性相關(guān).例2設(shè)向量組81,82,83線性相關(guān)，而向量組a2,a3,a4線性無關(guān)，證明(1) a1能由82,a3線性表示；(2) 84不能由81,82,83線性表示.證明(1)Q向量組

19、82,83,84線性無關(guān)；向量組82,83線性無關(guān)又Q向量組81,82,83線性相關(guān)；81能由82,83線性表示(2)設(shè)84能由81,82,83線性表示，由(1)知，81能由82,83線性表示，故設(shè)84能由82,83線性表示，這與條件82,83,84線性無關(guān)相矛盾.故84不能由81,82,83線性表示.性質(zhì)381181281m若n維向量組A:81821,82822,L,8m2m線性無關(guān)，則ns維向量組MMM8n18n28nm81181281m82182282mMMMB:b18n1,b28n2,L,bm8nm也線性無關(guān).b11b12b1mMMMbs1bs2bsm注性質(zhì)3可簡述為：無關(guān)組添加分量后

20、仍無關(guān)；反言之，相關(guān)組減少分量后仍相關(guān)無關(guān)組添加分量后仍無關(guān)；反言之，相關(guān)組減少分量后仍相關(guān).證明記A(a1，a2，L,am),B(b1,b2,L,bm),則R(A)R(B)m.由于向量組A線性無關(guān)，故R(A)m，于是R(B)m，從而向量組B線性無關(guān).性質(zhì)4當(dāng)mn時(shí)，m個(gè)n維向量線性相關(guān).注性質(zhì)4可簡述為：向量個(gè)數(shù)大于維數(shù)時(shí)必線性相關(guān).證明記m個(gè)n維向量a1，a2,L,am構(gòu)成矩陣Amn(a1，a2,L,am),則R(A)nm,故向量組a1，a2，L,am線性相關(guān).(二)判斷有關(guān)向量組線性相關(guān)的方法定理1向量組A：a1,a2,L,am(m1)線性相關(guān)A中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示.證明

21、設(shè)向量組A：a1,a2,L,am線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)k1,k2,L,%使不妨設(shè)k10 ,則1k2k1k3k1kmk1m,即a1可由a2,L ,am線性表示;反之，設(shè)向量組 A中有一個(gè)向量可由其余1 am 0 .因?yàn)閙1個(gè)向量線性表示，不妨設(shè)為am,則存在實(shí)數(shù)1,2,L,m1使am1,2,L,m1,1這m個(gè)數(shù)不全為零，所以向量組A線性相關(guān).定理2向量組A:a1,a2,L,am線性相關(guān)有不全為零的數(shù)k1,k2,L,km使k11k22Lkmm0齊次線性方程組1x12X2LmXm0有非零解R(A)m,其中A(a1,a2,L,am)推論1向量組A：a1,a2，L,am線性無關(guān)齊次線性方程組1X12

22、X2LmXm0只有零解R(A)m,其中A(a1,a2,L,am)推論2 m個(gè)m維向量組a1,a2,L , am線性相關(guān)A 0 ,其中 A (a1,a2，L ,am)；反之：m 個(gè)精選資料，歡迎下載m維向量組a1,a2,L,am線性無關(guān)A0022,34，討論向量組a1,a2,a3的線性相關(guān)性57解：記A1, 2, 3向量組向量組a1,a2,a3線性相關(guān).例4設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),4a(a2,b2a2a3,b3a3al,討論向量組。由2,4 的線性相關(guān)性.解法設(shè)存在 x1, x2, x3 使 x1b1x2d x3b30 ,即 x1( 1x2( 23)x3( 31 )0,亦(x1x3)1

23、(x1x2)2(x2x3)30.Q1,2,3線性無關(guān)x1x30x1x20(1)x2x30o101Q11020011方程組(1)只有零解XX2X30,*解法二記A(aa2,a3),B(b1,dh),K101Q(bbh)(4e23)110011BAKA(Kx)0QA的列向量線性無關(guān)Kx0又QK20x0向量組b1,b2,b3線性無關(guān).*解法三記A(a1,a2,a3),B供電也)，K101Q(bihh)(a1,a2,a3)110011BAKQK20R(A)R(B)Q向量組a1，a2,a3線性無關(guān)R(A)3R(B)3向量組b1,b2,b3線性無關(guān).三、向量組的等價(jià)1、定義4設(shè)有兩個(gè)n維向量組A：a1,a

24、2,L,am,B:向量組b,b2,b3線性無關(guān).101X1110,xx2,設(shè)Bx0011x3b1,b2,L,b,若向量組B中每個(gè)向量都可由向量組A線性表示，則稱向量組B可由向量組A線性表示；若向量組向量組等價(jià).也記為：AB。A與向量組B可以互相線性表示，則稱這兩個(gè)。注向量組的等價(jià)是一種等價(jià)關(guān)系，即向量組的等價(jià)具有:自反性、對稱性、傳遞性.2、向量組等價(jià)的條件定理3B的列向量組可由A的列向量組線性表示存在矢I陣K,使BAK.若向量組證明由于一個(gè)向量b可由向量組 A線性表示可等價(jià)地表示成方程bk1a1k2a2Lkmam ，那么bjB可由組A線性表示，則對組 B的任意向量bj有k1 j 1k2 j

25、2 L kmj m (1 , 2,L ,m)k1 jk2jM , j 1,2,L ,skmjk11k12k1sk21b1, b2,L ,bsa1,a2,L ,amMkm1k22k2sB AK .注 稱矩陣 K m s （kij ） 為這個(gè)線性表示的系數(shù)矩陣或表示矩陣M km2Mkms推論1 B的行向量組可由 A的行向量組線性表示存在矩陣K ,使B KA.證明 B的行向量組可由 A的行向量組線性表示矩陣BT 的列向量組可由AT 的列向量組線性表示存在矩陣L ，使BTATL （ 由定理1）存在矩陣K LT， B KA .cAB推論2（1）如果 ，則A的列向量組與 B的列向量組等價(jià);rAB（2） 如

26、果，則的行向量組與B 的行向量組等價(jià)推論3向量組B: bl，b2，L，bl可由向量組A: a1，a2，L，am線性表示 存在矩陣K,使B AK矩陣方程 AX B 有解R（A）R（A,B）推論4向量組A： a1，a2，L，am與向量組B: bi，b2，L等價(jià) R(A) R(B) R(A, B)例 5 設(shè) a1132110,a2,b1, b211113113110 ,b32 ，證明向重組21且2與向重組b1,b2, b3等價(jià).20注： 其他例子待講到線性方程組和解和矩陣的秩的時(shí)候再講。(A, B)R(A)R(A,B)R(B)R(A)R(B)R(A, B) 2向量組a1，a2與向量組bi,b2,b3

27、等價(jià).目前只介紹向量組的線性表示及其相關(guān)概念。定理4假設(shè)1，2，m與1，2，s是二個(gè)向量組。如果（1）向量組12可以由向量組12線性表示。1，2，m1，2，s（2）ms。則向量組1,2,m必線性相關(guān)。推論1：如果向量組1，2，m可以由向量組1，2，s線性表示，且向量組1，2，m線性無關(guān)，則必有：mS。推論2：任意一個(gè)向量個(gè)數(shù)大于n的n維向量組必線性相關(guān)。推論3：二個(gè)等價(jià)且線性無關(guān)的向量組，其所含的向量個(gè)數(shù)必相等。四、向量組的最大無關(guān)組以及向量組的秩（一）向量組的最大無關(guān)組1 、定義設(shè)有向量組A,若在A中能選出r個(gè)向量a1，L，a，滿足向量組A0：a1，L，ar線性無關(guān)；A中任意r1個(gè)向量（若有

28、r1個(gè)向量的話）都線性相關(guān).則稱向量組Ao是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)組，簡稱最大無關(guān)組，最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩，記為Ra.注I只有一個(gè)零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它有秩為0；精選資料，歡迎下載n向量組的最大無關(guān)組一般不是惟1.例如向量組 11 ,21022，34，1,2 和 257都是它的最大無關(guān)組;m最大無關(guān)組的另一等價(jià)定義：設(shè)有向量組A,若在A中能選出r個(gè)向量a1,L,a.，滿足向量組A）：a1,L,ar線性無關(guān)；A中任何向量都可由A線性表示.則稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組W任何一個(gè)線性無關(guān)的向量組，其最大無關(guān)組就是它自身。V任何一個(gè)向量組的最大無關(guān)組都

29、與向量組本身等價(jià)。VI向量組的任意二個(gè)最大無關(guān)組之間都是等價(jià)的，并且他們所含的向量個(gè)數(shù)相同，都等于向量組的秩。例6全彳n維向量所構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個(gè)最大無關(guān)組及Rn的秩.解因?yàn)閚維單位向量組e，,e2,L,en是線性無關(guān)，又Rn中含n1個(gè)向量的任何向量組都線性相關(guān),故n維單位向量組e，,e2,L,en就是Rn的一個(gè)最大無關(guān)組，從而R（Rn）n.X12x2x32x40例2設(shè)齊次線性方程組2X13x2x40X1x25x37x40的全體解向量所構(gòu)成的向量組為S，稱這個(gè)向量組為該方程組的解空間。求S的一個(gè)最大無關(guān)組及 S的秩原方程組的同解方程為X23X32x34x43x4x1X23X32

30、x34x43x4令自由未知數(shù)X3C1, X4C2得方程的通解為精選資料，歡迎下載X1X2X3x gc2 c1,c2 R .X4X134X223,X31,0X401，則方程組的全體解向量可記為由于方程組的每個(gè)解向量可由,線性表示，又容易驗(yàn)證,線性無關(guān).故,為S的最大無關(guān)組,且它的秩為2.（二）矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系定理5矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩*證明A,a2,L,am),R(A)r,并設(shè)A的r階子式Dr0,則D所在的r個(gè)列向量線性無關(guān)；又由于A中所有的r1階子式均為零，所以A的任意r1個(gè)列向量線性相關(guān)，從而Dr所在的r個(gè)列就是A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，即A的列

31、向量組的秩等于r.同理可證，矩陣A的行向量組的秩也等于r.注I由定理4知，如果A(ai,a2,L,am),則R(a1,a2,L,am)R(A).n由定理4的證明可看出：A的最高階非零子式所在的列就是A列向量組的最大無關(guān)組，所在的行就是A行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組.因此可借鑒求最高階非零子式的方法求最大無關(guān)組(三)向量組的最大無關(guān)組的求、向量組的秩的求法以及用最大無關(guān)組來表示向量組的其余向量的方法。1、將向量組的每個(gè)向量為一列作出矩陣A(a1,a2,L,am)；2 、對A施行初等行變換將之化為行階梯形矩陣B;3 、R(a，a2,L,am)r=R(B)=8的非零行行數(shù)；4 、從B中找出一個(gè)非零的r階子式Dr,A中與Dr所對應(yīng)的子式為Dr,則Dr為A的一個(gè)最高階非2121,3024的秩R 124的一個(gè)最大無關(guān)組21518,41 ,求413234零子式，所在的列對應(yīng)的向量構(gòu)成向量組的一個(gè)極大無關(guān)組12例3設(shè)有向量組1311(1) 向量組1,2,(2) 向量組1,2,(3) 把不屬于最大無關(guān)組的市12212151解：記A= 13181，對A施行行初等變換，化為A的行初10411232等矩陣:關(guān)組的