2013年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（1）【2013年湖南，理1，5分】復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】B【解析】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，故在第二象限，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題（2）【2013年湖南，理2，5分】某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（ ）（A）抽簽

2、法 （B）隨機(jī)數(shù)法 （C）系統(tǒng)抽樣法 （D）分層抽樣法【答案】D【解析】總體由男生和女生組成，比例為500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1故擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查抽樣方法，屬基本題（3）【2013年湖南，理3，5分】在銳角中，角，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為若，則角等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】在中，由正弦定理得：，又為銳角三角形，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，將“邊”化所對(duì)“角”的正弦是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（4）【2013年湖南，理4，5分】若變量滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是（ ）（A） （B）

3、0 （C） （D）【答案】B 【解析】約束條件表示的可行域?yàn)槿鐖D陰影部分令，即，由線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)可得最優(yōu)點(diǎn)為，所以，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題（5）【2013年湖南，理5，5分】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【答案】B【解析】解法一：設(shè)與圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，聯(lián)立得，令，由得，(舍)當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增又，與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B解法二：在同一坐標(biāo)系下，畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象如下圖：由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象共有2個(gè)交點(diǎn)，故

4、選B【點(diǎn)評(píng)】求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，我們可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，在同一坐標(biāo)系中，做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，分析圖象后，即可等到答案（6）【2013年湖南，理6，5分】已知是單位向量， 若向量滿(mǎn)足， 則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由題意，不妨令，由得， 可看做到原點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)到原點(diǎn)的距離最近，在位置時(shí)最遠(yuǎn)，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)題意作出圖象，數(shù)形結(jié)合是解決本題的有力工具（7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能

5、等于（ ）（A）1 （B） （C） （D）【答案】C【解析】根據(jù)三視圖中正視圖與俯視圖等長(zhǎng)，故正視圖中的長(zhǎng)為，如圖所示故正視圖的面積為，而，故面積不可能等于，故選C【點(diǎn)評(píng)】正確求出滿(mǎn)足條件的該正方體的正視圖的面積的范圍為是解題的關(guān)鍵（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形中，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）若光線(xiàn)經(jīng)過(guò)的重心，則等于（ ）（A）2 （B）1 （C） （D）【答案】D【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示則， 設(shè)的重心為，則點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，因?yàn)橹本€(xiàn)方程為，所以點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，根據(jù)光線(xiàn)反射原理，均在所在直

6、線(xiàn)上，即，解得，或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，涉及直線(xiàn)方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分（一）選做題（請(qǐng)考生在第9，10，11三題中任選兩題作答，如果全做，則按全兩題記分）（二）必做題（1216題）（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，若直線(xiàn) (為參數(shù)) 過(guò)橢圓（為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù)的值為 【答案】3【解析】由題意知在直角坐標(biāo)系下，直線(xiàn)的方程為，橢圓的方程為，所以其右頂點(diǎn)為由題意知，解得【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程和普通方程的互化，考查了直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，是基礎(chǔ)

7、題（10）【2013年湖南，理10，5分】已知，則的最小值為 【答案】12【解析】由柯西不等式得，即，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為12【點(diǎn)評(píng)】本題給出等式，求式子的最小值著重考查了運(yùn)用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號(hào)成立的條件等知識(shí)，屬于中檔題（11）【2013年湖南，理11，5分】如圖，在半徑為的中，弦，相交于點(diǎn)，則圓心到弦的距離為 【答案】【解析】如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，由圓內(nèi)相交弦定理知，所以，則，所以到距離為【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相交弦定理，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，題目有一定綜合性，是中考中熱點(diǎn)問(wèn)題（二）必做題（1216題）（12）【2013年湖南，理12，5分】若，則常數(shù)的值為

8、【答案】3【解析】，【點(diǎn)評(píng)】本題考查定積分、微積分基本定理，屬基礎(chǔ)題（13）【2013年湖南，理13，5分】執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的的值為 【答案】9【解析】輸入，不滿(mǎn)足，故；不滿(mǎn)足，故；不滿(mǎn)足，故；不滿(mǎn)足，故，滿(mǎn)足，終止循環(huán)輸出【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫(xiě)程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類(lèi)型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模（14）【2013年湖南，理14，5分】設(shè)是雙曲線(xiàn)

9、的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則的離心率為 【答案】【解析】不妨設(shè)，由，可得，得，即，【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的定義，雙曲線(xiàn)的離心率的求法，考查計(jì)算能力（15）【2013年湖南，理15，5分】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（1） ； （2） 【答案】(1)(2)【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，有，得當(dāng)時(shí)，即若為偶數(shù)，則所以（為正奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則所以（為正偶數(shù)）所以（2）（為正奇數(shù)），所以，又（為正偶數(shù)），所以則，則所以， 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)為偶數(shù)時(shí)能求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)求出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，此題為中高檔題（16）【2013年湖南，理16，5

10、分】設(shè)函數(shù)，其中（1）記集合 不能構(gòu)成三角形的三條邊長(zhǎng)，且，則所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi) （2）若是的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)） ；，使不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)； 若為鈍角三角形，則使【答案】(1)；(2)【解析】（1），所以，則令得，所以所以（2）因?yàn)?，又，所以?duì)， 所以命題正確；令，則，不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)所以命題正確；若三角形為鈍角三角形，則所以，使所以命題正確【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，訓(xùn)練了特值化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)題意的正確理解，此題是中檔題三、解答題：本大題共6題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明

11、，演算步驟或證明過(guò)程 （17）【2013年湖南，理17，12分】已知函數(shù)，（1）若是第一象限角，且，求的值；（2）求使成立的的取值集合解：，（1）由得又是第一象限角，所以從而（2）等價(jià)于，即于是從而，即，故使成立的的取值集合為【點(diǎn)評(píng)】本題給出含有三角函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)、，求特殊函數(shù)值并討論使成立的的取值集合著重考查了三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題（18）【2013年湖南，理18，12分】某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線(xiàn)的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y（單位

12、：kg）與它的 “相近” 作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：123451484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線(xiàn)距離不超過(guò)1米（1）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好 “相近” 的概率；（2）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望解：（1）所種作物總株數(shù)，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有種，故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為 （2）先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量的分布

13、列，因?yàn)椋?；所以只需求出即可，記為其“相近”作物恰有株的作物株?shù)（）則由得：；，故所求的分布列為所求的數(shù)學(xué)期望為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概率的計(jì)算，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題（19）【2013年湖南，理19，13分】如圖，在直棱柱（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值解：（1）如圖，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)椋?所以平面，而面，所以 （2）因?yàn)?，所以直線(xiàn)與平面所成的角等于直線(xiàn)與平面所成的角（記為），如圖，連接，因?yàn)槔庵侵崩庵?，所以平面，從而，又，所以四邊形是正方形，于是，故平面，于是，由?）知，所以平面，故，在直角梯形中，因?yàn)?，所以，從而，故，即，連

14、接，易知是直角三角形，且，即，在中，即，從而，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為解法二：（1）易知，兩兩垂直如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為 x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因?yàn)椋越獾没?舍去)于是，因?yàn)?，所以，即?）由（1）知，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即，令，則設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則即直線(xiàn)B1C1與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題給出直四棱柱，求證異面直線(xiàn)垂直并求直線(xiàn)與平面所成角的正弦之值，著重考查了直四棱柱的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)和直線(xiàn)與平面所成角的定義等知知識(shí)，屬于中檔題（20）【2013年湖南，理20，13分】在平面直角坐標(biāo)系中，將從點(diǎn)出發(fā)沿縱、橫方

15、向到達(dá)點(diǎn)的任一路徑成為到的一條“路徑”如圖所示的路徑都是到的“路徑”某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面內(nèi)三點(diǎn)處現(xiàn)計(jì)劃在軸上方區(qū)域（包含軸）內(nèi)的某一點(diǎn)處修建一個(gè)文化中心（1）寫(xiě)出點(diǎn)到居民區(qū)的“路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（2）若以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）設(shè)點(diǎn)到居民區(qū)的“路徑”長(zhǎng)度最小值為（2）有題意知，點(diǎn)到三個(gè)居民區(qū)的“路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)分別到三個(gè)居民區(qū)的“路徑”長(zhǎng)度最小值之和（記為）的最小值當(dāng)時(shí)，因?yàn)?（*）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式（*）中的等號(hào)成立又因?yàn)椋?）

16、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式（*）中的等號(hào)成立所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，到三個(gè)居民區(qū)的“路徑”長(zhǎng)度之和最小，且最小值為45當(dāng)時(shí)，由于“路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以，此時(shí)，由知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上所述，在點(diǎn)出修建文化中心，可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“路徑”長(zhǎng)度之和最小【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生建模的能力，同時(shí)考查學(xué)生的理解能力，屬于難題（21）【2013年湖南，理21，13分】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線(xiàn)，且，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，以，為直徑的圓，圓（，為圓心）的公共弦所在的直線(xiàn)記為（1）若，證明：；（2）若點(diǎn)到直線(xiàn)的

17、距離的最小值為，求拋物線(xiàn)的方程解：（1）由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的方程為由得設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是由題設(shè)，所以，故（2）由拋物線(xiàn)的定義得，所以，從而圓的半徑，故圓的方程為，化簡(jiǎn)得：，同理可得圓方程為：于是圓，圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為，又，則的方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離故當(dāng)時(shí)，取最小值，解得，故所求的拋物線(xiàn)的方程為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法屬難題（22）【2013年湖南，理22，13分】已知，函數(shù)（1）記在區(qū)間上的最大值為，求的表達(dá)式；（2）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1