2013年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（1）【2013年湖南，理1，5分】復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】B【解析】，對應(yīng)點為，故在第二象限，故選B【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題（2）【2013年湖南，理2，5分】某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（ ）（A）抽簽

2、法 （B）隨機數(shù)法 （C）系統(tǒng)抽樣法 （D）分層抽樣法【答案】D【解析】總體由男生和女生組成，比例為500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1故擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D【點評】本小題主要考查抽樣方法，屬基本題（3）【2013年湖南，理3，5分】在銳角中，角，所對的邊長分別為若，則角等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】在中，由正弦定理得：，又為銳角三角形，故選D【點評】本題考查正弦定理，將“邊”化所對“角”的正弦是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（4）【2013年湖南，理4，5分】若變量滿足約束條件，則的最大值是（ ）（A） （B）

3、0 （C） （D）【答案】B 【解析】約束條件表示的可行域為如圖陰影部分令，即，由線性規(guī)劃知識可得最優(yōu)點為，所以，故選B【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題（5）【2013年湖南，理5，5分】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（ ）（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【答案】B【解析】解法一：設(shè)與圖象的交點坐標(biāo)為，則，聯(lián)立得，令，由得，(舍)當(dāng)，即時，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，單調(diào)遞增又，與軸必有兩個交點，故選B解法二：在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象如下圖：由圖可知，兩個函數(shù)圖象共有2個交點，故

4、選B【點評】求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，我們可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，在同一坐標(biāo)系中，做出兩個函數(shù)的圖象，分析圖象后，即可等到答案（6）【2013年湖南，理6，5分】已知是單位向量， 若向量滿足， 則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由題意，不妨令，由得， 可看做到原點的距離，而點在以為圓心，以1為半徑的圓上如圖所示，當(dāng)點在位置時到原點的距離最近，在位置時最遠(yuǎn)，故選A【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，根據(jù)題意作出圖象，數(shù)形結(jié)合是解決本題的有力工具（7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能

5、等于（ ）（A）1 （B） （C） （D）【答案】C【解析】根據(jù)三視圖中正視圖與俯視圖等長，故正視圖中的長為，如圖所示故正視圖的面積為，而，故面積不可能等于，故選C【點評】正確求出滿足條件的該正方體的正視圖的面積的范圍為是解題的關(guān)鍵（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點（如圖）若光線經(jīng)過的重心，則等于（ ）（A）2 （B）1 （C） （D）【答案】D【解析】以為原點，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示則， 設(shè)的重心為，則點坐標(biāo)為設(shè)點坐標(biāo)為，則點關(guān)于軸的對稱點為，因為直線方程為，所以點關(guān)于的對稱點為，根據(jù)光線反射原理，均在所在直

6、線上，即，解得，或當(dāng)時，點與點重合，舍去，故選D【點評】本題考查直線與點的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分（一）選做題（請考生在第9，10，11三題中任選兩題作答，如果全做，則按全兩題記分）（二）必做題（1216題）（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，若直線 (為參數(shù)) 過橢圓（為參數(shù)）的右頂點，則常數(shù)的值為 【答案】3【解析】由題意知在直角坐標(biāo)系下，直線的方程為，橢圓的方程為，所以其右頂點為由題意知，解得【點評】本題考查了參數(shù)方程和普通方程的互化，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，是基礎(chǔ)

7、題（10）【2013年湖南，理10，5分】已知，則的最小值為 【答案】12【解析】由柯西不等式得，即，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為12【點評】本題給出等式，求式子的最小值著重考查了運用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號成立的條件等知識，屬于中檔題（11）【2013年湖南，理11，5分】如圖，在半徑為的中，弦，相交于點，則圓心到弦的距離為 【答案】【解析】如圖所示，取中點，連結(jié)，由圓內(nèi)相交弦定理知，所以，則，所以到距離為【點評】此題主要考查了相交弦定理，垂徑定理，勾股定理等知識，題目有一定綜合性，是中考中熱點問題（二）必做題（1216題）（12）【2013年湖南，理12，5分】若，則常數(shù)的值為

8、【答案】3【解析】，【點評】本題考查定積分、微積分基本定理，屬基礎(chǔ)題（13）【2013年湖南，理13，5分】執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的的值為 【答案】9【解析】輸入，不滿足，故；不滿足，故；不滿足，故；不滿足，故，滿足，終止循環(huán)輸出【點評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模（14）【2013年湖南，理14，5分】設(shè)是雙曲線

9、的兩個焦點，是上一點，若，且的最小內(nèi)角為，則的離心率為 【答案】【解析】不妨設(shè)，由，可得，得，即，【點評】本題考查雙曲線的定義，雙曲線的離心率的求法，考查計算能力（15）【2013年湖南，理15，5分】設(shè)為數(shù)列的前項和，則（1） ； （2） 【答案】(1)(2)【解析】（1）由，當(dāng)時，有，得當(dāng)時，即若為偶數(shù)，則所以（為正奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則所以（為正偶數(shù)）所以（2）（為正奇數(shù)），所以，又（為正偶數(shù)），所以則，則所以， 【點評】本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)為偶數(shù)時能求出奇數(shù)項的通項，當(dāng)為奇數(shù)時求出偶數(shù)項的通項，此題為中高檔題（16）【2013年湖南，理16，5

10、分】設(shè)函數(shù)，其中（1）記集合 不能構(gòu)成三角形的三條邊長，且，則所對應(yīng)的的零點的取值集合為_ （2）若是的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號） ；，使不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長； 若為鈍角三角形，則使【答案】(1)；(2)【解析】（1），所以，則令得，所以所以（2）因為，又，所以對， 所以命題正確；令，則，不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長所以命題正確；若三角形為鈍角三角形，則所以，使所以命題正確【點評】本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)零點的判斷方法，訓(xùn)練了特值化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是對題意的正確理解，此題是中檔題三、解答題：本大題共6題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明

11、，演算步驟或證明過程 （17）【2013年湖南，理17，12分】已知函數(shù)，（1）若是第一象限角，且，求的值；（2）求使成立的的取值集合解：，（1）由得又是第一象限角，所以從而（2）等價于，即于是從而，即，故使成立的的取值集合為【點評】本題給出含有三角函數(shù)的兩個函數(shù)、，求特殊函數(shù)值并討論使成立的的取值集合著重考查了三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題（18）【2013年湖南，理18，12分】某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位

12、：kg）與它的 “相近” 作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：123451484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米（1）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好 “相近” 的概率；（2）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望解：（1）所種作物總株數(shù)，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有種，故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為 （2）先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量的分布

13、列，因為：；所以只需求出即可，記為其“相近”作物恰有株的作物株數(shù)（）則由得：；，故所求的分布列為所求的數(shù)學(xué)期望為： 【點評】本題考查古典概率的計算，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題（19）【2013年湖南，理19，13分】如圖，在直棱柱（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值解：（1）如圖，因為平面，平面，所以，又因為， 所以平面，而面，所以 （2）因為，所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角（記為），如圖，連接，因為棱柱是直棱柱，且，所以平面，從而，又，所以四邊形是正方形，于是，故平面，于是，由（1）知，所以平面，故，在直角梯形中，因為，所以，從而，故，即，連

14、接，易知是直角三角形，且，即，在中，即，從而，即直線與平面所成角的正弦值為解法二：（1）易知，兩兩垂直如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為 x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為：，因為，所以解得或(舍去)于是，因為，所以，即（2）由（1）知，設(shè)是平面的一個法向量，則即，令，則設(shè)直線與平面所成角為，則即直線B1C1與平面所成角的正弦值為【點評】本題給出直四棱柱，求證異面直線垂直并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了直四棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的定義等知知識，屬于中檔題（20）【2013年湖南，理20，13分】在平面直角坐標(biāo)系中，將從點出發(fā)沿縱、橫方

15、向到達(dá)點的任一路徑成為到的一條“路徑”如圖所示的路徑都是到的“路徑”某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面內(nèi)三點處現(xiàn)計劃在軸上方區(qū)域（包含軸）內(nèi)的某一點處修建一個文化中心（1）寫出點到居民區(qū)的“路徑”長度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（2）若以原點為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請確定點的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小解：設(shè)點的坐標(biāo)為（1）設(shè)點到居民區(qū)的“路徑”長度最小值為（2）有題意知，點到三個居民區(qū)的“路徑”長度之和的最小值為點分別到三個居民區(qū)的“路徑”長度最小值之和（記為）的最小值當(dāng)時，因為 （*）當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式（*）中的等號成立又因為（*）

16、當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式（*）中的等號成立所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立故點的坐標(biāo)為時，到三個居民區(qū)的“路徑”長度之和最小，且最小值為45當(dāng)時，由于“路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以，此時，由知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立綜上所述，在點出修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的“路徑”長度之和最小【點評】本題考查新定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生建模的能力，同時考查學(xué)生的理解能力，屬于難題（21）【2013年湖南，理21，13分】過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點，相交于點，以，為直徑的圓，圓（，為圓心）的公共弦所在的直線記為（1）若，證明：；（2）若點到直線的

17、距離的最小值為，求拋物線的方程解：（1）由題意，拋物線的焦點為，直線的方程為由得設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個實數(shù)根，從而，所以點的坐標(biāo)為，同理可得點的坐標(biāo)為，于是由題設(shè)，所以，故（2）由拋物線的定義得，所以，從而圓的半徑，故圓的方程為，化簡得：，同理可得圓方程為：于是圓，圓的公共弦所在直線的方程為，又，則的方程為，因為，所以點到直線的距離故當(dāng)時，取最小值，解得，故所求的拋物線的方程為【點評】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法屬難題（22）【2013年湖南，理22，13分】已知，函數(shù)（1）記在區(qū)間上的最大值為，求的表達(dá)式；（2）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由解：（1