定積分教案2014.2

1、教 案第5章 積分的概念及計算5.1 定積分的概念與性質(zhì)5.1.1兩個引例1曲邊梯形的面積曲邊梯形定義：由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積方法：（1）分割任取分點，把區(qū)間分成個子區(qū)間，子區(qū)間長度為。（2）近似在子區(qū)間上任取一點，則小曲邊梯形面積可近似表示為。（3）求和將個小曲邊梯形近似面積相加，則曲邊梯形面積的近似為。（4）極限令，則。2變速直線運動的路程設(shè)物體作直線運動，速度，求這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S。求路程方法：（1）分割任取分點，把區(qū)間分成個子區(qū)間，子區(qū)間長度為。（2）近似在子區(qū)間中可看做勻速直線運動，則在其上任取一點，則在子區(qū)間中路程可表示為。（3）求和將個子

2、區(qū)間路程相加，則總路程可近似為。（4）極限當(dāng)時，令，則。5.1.2定積分定義1.定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個分點將區(qū)間分成子小區(qū)間，各子區(qū)間的長度為，在每個子區(qū)間上任取一個點，作的和式，令當(dāng)時上式極限存在，則稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作其中為被積函數(shù)，為被積表達式，為積分變量，為積分下限，為積分上限。說明：（1）由定積分的定義可知：曲邊梯形的面積為 變速直線運動的路程為 （2）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間分法和任取函數(shù)值無關(guān)，與積分變量的字母選擇無關(guān)，即（3）當(dāng)時，2.定理定理1：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。定理2：設(shè)在區(qū)間上有界，且只存在有限個第一類

3、間斷點，則在上可積。3.幾何意義若，則；若，則若在區(qū)間上有正有負，則積分值等于在軸上方部分與下方部分面積差。例：利用定義計算定積分解：幾何上此定積分表示半徑為1的圓第一象限的面積 因此5.1.3定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1： 性質(zhì)2：性質(zhì)3： 注：不論在內(nèi)或外等式均成立 性質(zhì)4：如果在區(qū)間上，則 性質(zhì)5：如果在區(qū)間上，則性質(zhì)6：若函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 5.2 不定積分的概念及性質(zhì)教學(xué)過程5.2.1、導(dǎo)入新課前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)的微分學(xué)，而在實際問題中，往往會遇到相反的問題。比如：已知某質(zhì)點以速度作變速直線運動，求該質(zhì)點的運動方程；又如：已知一過原點的平面曲線上任一點處的切線斜率為，求

4、該曲線的方程。這兩個問題都可歸結(jié)為同一類問題已知某一個函數(shù)，求函數(shù)，使.象這樣的問題就是積分學(xué)所要研究的基本問題.本章主要講述不定積分的概念、性質(zhì)及其基本積分方法.5.2.2、講授新課（一）不定積分的概念1、原函數(shù)的概念定義1 設(shè)f (x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得 F(x) = f (x) 或d F(x) = f (x)dx ,則稱F(x)為f (x) 的一個原函數(shù). 例如=故lnx是的一個原函數(shù)；是2x的一個原函數(shù)，但(+1)=(+2)=2x所以的原函數(shù)不是唯一的。 關(guān)于原函數(shù)的幾點說明： 1、如果f (x)在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在。 2、原函數(shù)的統(tǒng)一表

5、達式有如下結(jié)論： 定理 若F(x)是f (x)的一個原函數(shù)，則F(x)+ C是f (x)的全部原函數(shù)，其中C為任意常數(shù) 2、不定積分的概念定義2 函數(shù)f (x)的全體原函數(shù)叫做f (x)的不定積分，記為 = F(x)+ C，其中 F/(x) = f (x)，例1 求下列不定積分（1）； （2）。解：（1）因為 = ，所以=+C（2）因為x>0時, = ,又x<0時, =,所以 =ln|x |+ C .例2 設(shè)曲線過點（1，2）且斜率為2x，求曲線方程。解 設(shè)所求曲線方程為y=y(x).按題意有: =2x , 故y = =+C .又因為曲線過點（1，2），故代入上式 2=1+C ,于

6、是所求方程為y=+1.例3 設(shè)某物體以速度作直線運動，且當(dāng)時，求運動規(guī)律。解： 按題意有，即，再將條件時代入得故所求運動規(guī)律為。由積分定義知，積分運算與微分運算之間有如下的互逆關(guān)系：（1）或；（2）或 對這兩個式子，要記熟、記準.（二）基本積分公式（為常數(shù)），,，（三）不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外，即 ( k0)性質(zhì)2 兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即.例4 求下列不定積分：（1）； （2） 。解 （1）= = ；（2）=例5 求下列不定積分：(1); (2).解 (1)= = =例6 求下列不定積分:(1); (2).解 (1)=(2)sin

7、=三、課堂練習(xí) 思考題 2 習(xí)作題2題四、小結(jié)了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式熟記基本積分公式.五、布置作業(yè)習(xí)題五 2、35.3 積分的基本公式5.3.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且設(shè)為上的一點，則函數(shù)在子區(qū)間上的定積分存在，為了方便起見，將積分變量改寫為，則定積分為，記作，即，稱為積分上限函數(shù)。定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上有導(dǎo)數(shù)說明：是函數(shù)在上的一個原函數(shù)例1：求的導(dǎo)數(shù)解：例2：求的導(dǎo)數(shù)解：例3：求解：例4：求的導(dǎo)數(shù)解：5.3.2牛頓萊布尼茨公式定理：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則有此公式稱為牛頓萊布尼茨公式，也稱為

8、微積分基本公式。 說明：為方便起見，也可記為。證明：已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)積分上限函數(shù)也是的一個原函數(shù)則，則 所以，即例1：求解： 例2：求解：例3：求解： 例4：求解：例5：，求解：例6：求解：例7：求解：例8：求在上與軸所圍成圖形的面積解：5.4 換元積分法5.4.1定積分換元積分法定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足 (1)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且值域不越出 (2)則有 注：換元必換限，換元后不必還原。例1：求解：令例2：求解：令例3：求解：令 注：例3也可以利用定積分的幾何意義求解，此定積分表示半徑為a的圓在第一象限的面積。 例4：求解：注：換元必換限，湊微分不換限。 定理：如果在上

9、連續(xù)（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，則注：利用此定理，可簡化奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分，如5.4.2分部積分法定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)公式可得，移項可得，湊微分可得公式此公式為定積分分部積分公式。 例1：求解：例2：求解： 例3：求解： 則，即 其中，綜上： 注： 令，則5.5 定積分的應(yīng)用5.5.1定積分微元法求曲邊梯形面積：用任意一組分點把區(qū)間分成長度為的各小區(qū)間，曲邊梯形的被分成個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形的面積為，總面積為，給以極限可得。5.5.2直角坐標系下平面圖形的面積方法：1.由及軸所圍成圖形的面積為 2.由及所圍成圖形的面積為 3.由及所圍成圖形的面

10、積為 例1：求由所圍成圖形的面積解：圖略可得交點為則 例2：求由所圍成圖形的面積解：圖略可得交點為5.5.3立體體積1旋轉(zhuǎn)體的體積定義：旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。此直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。方法：過區(qū)間內(nèi)某點且垂直于x軸的平面左右平移體積微元為旋轉(zhuǎn)體的體積為例：求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解：旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積元素為旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為2平行截面面積為已知的立體的體積例：底面半徑為的圓柱被與圓柱地面夾角為且過底面圓心的平面所截，求所截立體的體積解：圓柱方程為做垂直于平面且垂直于軸

11、的平面，與所求立體截得平面為三角形，其面積為則所求體積為第6章 空間解析幾何與向量代數(shù)【教學(xué)目標及基本要求】1、理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。3、理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，熟練掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。4、掌握平面方程和直線方程及其求法。5、會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6、會求點到直線以及點到平面的距離。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)

12、軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。8、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程【教學(xué)重點】1、向量的線性運算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運算及坐標運算；2、兩個向量垂直和平行的條件；3、平面方程和直線方程；4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件；5、點到直線以及點到平面的距離；6、常用二次曲面的方程及其圖形；7、旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程；8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程?！窘虒W(xué)難點】1、 向量運算及坐標運算；2、 平面方程和直線方程；3、 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件；4

13、、 旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程；5、 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程?！窘虒W(xué)內(nèi)容的深化和拓寬】1、空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。2、向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），兩個向量垂直和平行的條件。3、單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，用坐標表達式進行向量運算的方法。4、平面方程和直線方程及其求法。5、會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6、會求點到直線以及點到平面的距離。7、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

14、8、了空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程【學(xué)時分配】 (14學(xué)時)第1次課 §1 第2次課 §2 第3次課 §3第4次課 §4 第5次課 §5 第6次課 §6第7次課 習(xí)題課【參考書目】1同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下），第五版.高等教育出版社.2 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，第六版.高等教育出版社.3 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下），第六版.高等教育出版社6.1 向量及其線性運算6.1.1向量概念向量:既有大小, 又有方向的量，叫做向量.例如力、力矩、位移、速度、

15、加速度等, 向量的符號: 以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、. 自由向量: 由于一切向量的共性是它們都有大小和方向, 所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點無關(guān)的向量, 并稱這種向量為自由向量, 簡稱向量. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 例如：向量a、的模分別記為|a|、. 單位向量: 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a

16、與b平行, 記作a / b. 零向量認為是與任何向量都平行. 當(dāng)兩個平行向量的起點放在同一點時, 它們的終點和公共的起點在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 類似還有共面的概念. 設(shè)有k(k³3)個向量, 當(dāng)把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面. 6.1.2向量的線性運算 1向量的加法- A B C D A B C 向量的加法: 設(shè)有兩個向量a與b, 平移向量使b的起點與a的終點重合, 此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的

17、三角形法則. 平行四邊形法則: 當(dāng)向量a與b不平行時, 平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b. 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個向量a1, a2, × × ×, an(n ³3)相加可寫成 a1+a2+ × × ×+an, 并按向量相加的三角形法則, 可得n個向量相加的法則如下: 使前一向量的終點作為次一向量的起點, 相繼作向量a1, a2, &

18、#215; × ×, an, 再以第一向量的起點為起點, 最后一向量的終點為終點作一向量, 這個向量即為所求的和. 負向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量, 記為-a. 向量的減法: 我們規(guī)定兩個向量b與a的差為b-a=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上, 便得b與a的差b-a. 特別地, 當(dāng)b=a時, 有 a-a=a+(-a)=0. - - 顯然, 任給向量及點O, 有 , 因此, 若把向量a與b移到同一起點O, 則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差b-a . 三角不等式: |a+b|£|a|+|b|及|a-b

19、|£|a|+|b|, 其中等號在b與a同向或反向時成立. 2向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實數(shù)l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向當(dāng)l>0時與a相同, 當(dāng)l<0時與a相反. 當(dāng)l=0時, |la|=0, 即la為零向量, 這時它的方向可以是任意的. 特別地, 當(dāng)l=±1時, 有1a=a, (-1)a=-a. 運算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1 在平行四邊形ABCD中, 設(shè), . 試用a和b表示向量、

20、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. A B C D M 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以 , 于是; . 因為, 所以; 向量的單位化: 設(shè)a¹0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a = | a | ea. 定理1 設(shè)向量a ¹ 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數(shù)l, 使 b = la. 證明: 條件的充分性是顯然的, 下面證明條件的必要性. 設(shè)b / a. 取, 當(dāng)b與a同向時l取正值, 當(dāng)b與a反向時l取負值, 即b=la. 這是因為此時b與la同向, 且 |la|=|l|a|. 再證明數(shù)l的唯一性. 設(shè)b=la

21、, 又設(shè)b=ma, 兩式相減, 便得 (l-m)a=0, 即|l-m|a|=0. 因|a|¹0, 故|l-m|=0, 即l=m. 6.1.3空間直角坐標系 在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標軸. 它們構(gòu)成一個空間直角坐標系, 稱為Oxyz坐標系. 注: (1)通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位; (2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標面: 在空間直角坐標系中, 任意兩個坐標軸可以確定一個平面, 這

22、種平面稱為坐標面. x軸及y軸所確定的坐標面叫做xOy面, 另兩個坐標面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個坐標面把空間分成八個部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 與第一卦限對應(yīng)的是第五卦限, 按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標分解式: 任給向量r, 對應(yīng)有點M, 使. 以O(shè)M為對角線、三條坐標軸為棱作長方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為

23、向量r的坐標分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量. 顯然, 給定向量r, 就確定了點M及, , 三個分向量, 進而確定了x、y、z三個有序數(shù); 反之, 給定三個有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點M. 于是點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系 . 據(jù)此, 定義: 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標系Oxyz)中的坐標, 記作r=(x, y, z); 有序數(shù)x、y、z也稱為點M(在坐標系Oxyz)的坐標, 記為M(x, y, z). 向量稱為點M關(guān)于原點O的向徑. 上述定義表明, 一個點與該點的向徑有相同的坐標. 記號(x, y, z)既表示點M, 又表示

24、向量. 坐標面上和坐標軸上的點, 其坐標各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點, y=0; 在xOy面上的點, z=0. 如果點M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點, 有x=y=0. 如果點M為原點, 則x=y=z=0.6.1.4利用坐標作向量的線性運算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+

25、bx, ay+by, az+bz). a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk) =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k =(ax-bx, ay-by, az-bz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標判斷兩個向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)¹0, b=(bx, by, bz), 向量b/aÛb=la , 即b/aÛ(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 例2： 求解以向量為未知元的線性方程組,其

26、中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次線性方程組, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b . 以a、b的坐標表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 例3 :已知兩點A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實數(shù)l¹-1, 在直線AB上求一點M, 使. 解 由于, , 因此 , 從而 . , 這就是點M的坐標. 6.1.5向量的模、方向角、投影 1向量的模與兩點間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y

27、, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設(shè) , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標表示式 . 設(shè)有點A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是點A與點B間的距離為 . 例4: 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 解 因為 | M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(

28、2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5: 在z軸上求與兩點A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點. 解 設(shè)所求的點為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得, 所以, 所求的點為. 例6: 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因為, , 所以 . 2方向角與方向余弦 當(dāng)把

29、兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值。 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2

30、g=1. 例7: 設(shè)已知兩點)和B (1, 3, 0), 計算向量的模、方向余弦和方向角. 解 ; ; , , ; , , . 3向量在軸上的投影 設(shè)點O及單位向量e確定u軸. 任給向量r, 作, 再過點M作與u軸垂直的平面交u軸于點M¢(點M¢叫作點M在u軸上的投影), 則向量稱為向量r在u軸上的分向量. 設(shè), 則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影, 記作Prjur或(r)u . 按此定義, 向量a在直角坐標系Oxyz中的坐標ax, ay, az就是a在三條坐標軸上的投影, 即 ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. 投影的性質(zhì): 性質(zhì)1 (a)u=|a|c

31、os j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角; 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub); 性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua);小結(jié)1.向量的概念及其線性運算；2. 空間直角坐標系；3. 向量的坐標表示形式；4.向量的模、方向角和方向余弦、投影。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意向量和點的坐標表示形式、運算及其區(qū)別，向量和點的坐標表示形式、向量的模、方向角和方向余弦是本節(jié)的重點，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。師生活動設(shè)計1. 設(shè) ，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量。2.設(shè)

32、，求以向量，為邊的平行四邊形的對角線的長度。講課提綱、板書設(shè)計作業(yè) P12: 4,13，156.2 數(shù)量積、向量積6.2.1兩向量的數(shù)量積 數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq , 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq . 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 當(dāng)a¹0時,

33、 |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prj ab. 同理, 當(dāng)b¹0時, a·b = |b| Prj ba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) a·a = |a| 2. (2) 對于兩個非零向量 a、b, 如果 a·b =0, 則 ab；反之, 如果ab, 則a·b =0. 如果認為零向量與任何向量都垂直, 則ab Û a·b =0. 數(shù)量積的運算律: (1)交換律: a·b = b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b&

34、#215;c . (3) (la)·b = a·(lb) = l(a·b), (la)·(mb) = lm(a·b), l、m為數(shù). 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ABC中, BCA=q (圖7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, 要證 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 記=a, =b, =c, 則有 c=a-b, 從而 |c|2=c × c=(a-b)(a-b)=a × a+b × b-2a × b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b)

35、, 即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 數(shù)量積的坐標表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 a·b=axbx+ayby+azbz .提示: 按數(shù)量積的運算規(guī)律可得 a·b =( ax i + ay j + az k)·(bx i + by j + bz k) =ax bx i·i + ax by i·j + ax bz i·k +ay bx j ·i + ay by j ·j + ay bz j·k +az bx k·i + az b

36、y k·j + az bz k·k = ax bx + ay by + az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標表示: 設(shè)q=(a, b), 則當(dāng)a¹0、b¹0時, 有 . 提示: a·b=|a|b|cosq . 例2 已知三點M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則ÐAMB 就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因為 a×b=1´1+1´0+0´1=1,

37、 , . 所以 . 從而 . 例3設(shè)液體流過平面S 上面積為A的一個區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）, 計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為). 解 單位時間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖7-25(b).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為| v | cosq, 體積為 A| v | cos q = A v ·n.從而, 單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為 P=rAv ·n.6.2.2兩向量的向

38、量積 在研究物體轉(zhuǎn)動問題時, 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點.有一個力F作用于這杠桿上P點處. F與的夾角為q . 由力學(xué)規(guī)定, 力F對支點O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉(zhuǎn)向F來確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c = a´

39、b. 根據(jù)向量積的定義, 力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1) a´a = 0 ; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b = 0. 如果認為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a´b = 0. 數(shù)量積的運算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. (3) (la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 數(shù)量

40、積的坐標表示: 設(shè)a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量積的運算規(guī)律可得a´b = ( ax i + ay j + az k) ´ ( bx i + by j + bz k) = ax bx i´i + ax by i´j + ax bz i´k+ay bx j´i + ay by j´j + ay bz j´k +az bx k´i + az by k´j + az bz k´k. 由于i´i = j´

41、;j = k´k = 0, i´j = k, j´k = i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例4 設(shè)a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 計算

42、a´b . 例5 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 例6 設(shè)剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉(zhuǎn), 計算剛體上一點M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時, 我們可以用在l 軸上的一個向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l 軸, 當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時, 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq . 設(shè)線速度為v, 那么由

43、物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為 |v| =| w|a = |w| |r| sinq ; v的方向垂直于通過M點與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因此有v = w´r. 小結(jié)1. 向量的點積和叉積運算；2. 向量間的關(guān)系：平行和垂直；3. 向量兩種乘積的計算公式。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意向量的點積和叉積運算公式，向量之間的關(guān)系，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。師生活動設(shè)計1.設(shè) ，計算及，并求夾角的正弦和余弦。2.用向量方法證明正弦定理：講課提綱、板書設(shè)計作業(yè) P22: 1,3，4，9（1）（2），106.3

44、曲面及其方程6.3.1曲面方程的概念 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點的幾何軌跡. 在這樣的意義下, 如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的圖形. 常見的曲面的方程: 例1 建立球心在點M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 解 設(shè)M(x, y, z)是球面上的任一點, 那么|M0M|=R. 即 , 或 (x-x0)2

45、+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點的坐標所滿足的方程. 而不在球面上的點的坐標都不滿足這個方程. 所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地, 球心在原點O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為 x2+y2+z2=R2. 例2 設(shè)有點A(1, 2, 3)和B(2, -1, 4), 求線段AB的垂直平分面的方程. 解 由題意知道, 所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡. 設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任一點, 則有|AM|=|BM|, 即 . 等式兩邊平方, 然后化

46、簡得2x-6y+2z-7=0. 這就是所求平面上的點的坐標所滿足的方程, 而不在此平面上的點的坐標都不滿足這個方程, 所以這個方程就是所求平面的方程. 研究曲面的兩個基本問題: (1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時, 建立這曲面的方程; (2) 已知坐標x、y和z間的一個方程時, 研究這方程所表示的曲面的形狀. 一般地, 設(shè)有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個方程的特點是缺xy , yz , zx 各項, 而且平方項系數(shù)相同, 只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式, 它的圖形就是一個球面. 6.3.2

47、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)在yO z 坐標面上有一已知曲線C, 它的方程為f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x, y, z)為曲面上任一點, 它是曲線C上點M1(0, y1, z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的. 因此有如下關(guān)系等式, , , 從而得 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4 直線L繞另

48、一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面. 兩直線的交點叫做圓錐面的頂點, 兩直線的夾角a ()叫做圓錐面的半頂角. 試建立頂點在坐標原點O, 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yO z 坐標面內(nèi), 直線L的方程為 z=ycot a , 將方程z=ycota 中的y改成, 就得到所要求的圓錐面的方程 , 或 z2=a2 (x2+y2), 其中a=cot a . 例5. 將zOx坐標面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為; 繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙

49、曲面. 6.3.3柱面例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準線, 動直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到, 不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 例如, 方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面, 它的準線是xOy 面上的拋物線y2 =2x, 該柱面叫做拋物柱面.

50、 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如, 方程 x-z=0表示母線平行于y軸的柱面, 其準線是zOx 面上的直線 x-z=0. 所以它是過y軸的平面. 四、二次曲面 設(shè)S是一個曲面, 其方程為F(x, y, z)=0, S ¢是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z)ÎS, 則(lx, y, z)ÎS¢ 若(x, y, z)ÎS¢, 則. 因此, 對于任意的(x, y, z)ÎS¢, 有, 即是曲面S¢的方程. 例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍, 所