分形圖形學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)

1、分形圖形學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)分形圖形學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)一二維空間上的分形圖形生成實(shí)驗(yàn)?zāi)康? . Mandelbrot集與Julia集的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)2 .掌握用L系統(tǒng)語(yǔ)言生成分形實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1 .編寫(xiě)程序生成Mandelbrot集在復(fù)迭代中影響最大的當(dāng)屬迭代 z-zA2+c,實(shí)際上它只是形式更一般的復(fù)解 析迭代z_(n+1)=F(z_n)+c 的一種，F(xiàn)是一個(gè) 非線(xiàn)性函數(shù)。顯然zzA2+c也是最簡(jiǎn)單的一 種，它 在復(fù)迭代中的地位相當(dāng)于邏輯斯蒂映 射x_(n+1)=ax_n(1-x_n) 在實(shí)迭代中的地位 (見(jiàn)第八章)?？紤]一般形式的F,令z=x+iy,c=c_( X)+ic_(Y),其中 i 表示虛數(shù)， i=

2、SQRT(-1)。分離實(shí)部與虛部，具體化迭代關(guān) 系便有：xf(x,y)+c_(X), yg(x,y)+c_(Y).通常所說(shuō)的M集是迭代二次函數(shù) zzA2+c產(chǎn)生的，此函數(shù)具體化就是xxA2- yA2+c_( X), y-2 xy+c_( Y).其中 z=x+i y, c=c_(X)+i c_( Y ),以橫軸 x 記錄實(shí)數(shù)的實(shí)部，以縱軸y記錄實(shí)數(shù)的虛部。 M集合實(shí)際上是常數(shù)c=(c_(X), c_(Y)構(gòu)成的 圖象。讓c從屏幕左上角開(kāi)始變化，逐行增 加，一直變到屏幕右下角。如果取的區(qū)域是 200X 2 00,則一共要計(jì)算40,000個(gè)點(diǎn),把計(jì) 算的結(jié)果用不同的顏色標(biāo)記下來(lái)，就得到一幅 圖象，這

3、就是M集。對(duì)于不同的c值，如何 得到表征迭代性質(zhì)的不同的結(jié)果呢？容易知道，無(wú)窮遠(yuǎn)處肯定是迭代的一個(gè)吸 引子，即對(duì)于復(fù)平面上相當(dāng)多的初始條件， 迭 代最終都跑到無(wú)窮遠(yuǎn)處。但研究發(fā)現(xiàn)，在原點(diǎn) 附近還存在一個(gè)奇特的區(qū)域，在迭代過(guò)程中此 區(qū)域永遠(yuǎn)不會(huì)跑掉。在非嚴(yán)格的意義上，這個(gè) 不變的集合就是M集，我們的主要任務(wù)就是畫(huà) 出這個(gè)集合的邊界一一實(shí)際上邊界是分形曲 線(xiàn)，極其復(fù)雜，M集圖象的全部魅力就在這里。在復(fù)平面上，我們以原點(diǎn)（0,0）作為參考點(diǎn)，觀察迭代過(guò)程是否遠(yuǎn)離原點(diǎn)，以及逃離原點(diǎn)的速度如何。為此規(guī)定一個(gè)距離函數(shù)D=xA2+yA2）其實(shí)D有許多不同的取法，以上取法是最 普通的?？梢钥闯?，如果 D較大，

4、表明迭代 點(diǎn)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)，如果D較小，表明迭代點(diǎn)離原 點(diǎn)較近。假設(shè)對(duì)于任何一個(gè) c,迭代都從（x_0, y_0）=（0,0）開(kāi)始，我們觀察迭代點(diǎn)列(x_1 y_1), (x_2, y_2), (x_3,y_3),，(x_(100) ) y_(i00),的變化狀況。每一次都計(jì)算一下D值，即 該點(diǎn)與原點(diǎn)（0, 0）的距離（為方便計(jì)，這里 實(shí) 際上計(jì)算的是距離的平方）。取一個(gè)參考距離 R不妨取得大一些，比如 R=40（實(shí)際上取20 就足夠了）?，F(xiàn)在想知道迭代多少次后實(shí)際的 距離D大于R。在迭代過(guò)程中如果 D小于R, 則繼續(xù)讓計(jì)算機(jī)迭代，要規(guī)定一個(gè)上限，比如300次。如果迭代了 300次后結(jié)果仍然不跑掉

5、（即D仍然小于R）,則可以近 似認(rèn)為此點(diǎn) 屬于M集合。對(duì)于迭代次數(shù)小于300次的情況，如果迭 代10次D就大于R,則標(biāo)記c點(diǎn)為白色；如 果迭代35次D開(kāi)始大于R,則標(biāo)記c點(diǎn)為紅 色；如果迭代110次D開(kāi)始大于R,則標(biāo)記c 點(diǎn)為藍(lán)色，等等。2 .編寫(xiě)程序生成Julia集一個(gè)M集可以對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)種J集，實(shí)際上M 集就是所有J集的濃縮。M集不同部位的形 狀，反映了對(duì)應(yīng)于該處的J集的形狀，于是用 M集可以對(duì)J集進(jìn)行分類(lèi)，至少在計(jì)算機(jī)圖 形學(xué)的層次上可以這樣說(shuō)。計(jì)算J集時(shí)，初始迭代點(diǎn)就不能總?cè)?0 , 0) 了，而是要根據(jù)實(shí)際位置取實(shí)際的(x , y) 坐標(biāo)值。仍以迭代z-z+c為例說(shuō)明。先取 定一個(gè)c值,

6、比如c=(1.0221,0.2433),迭代 關(guān)系化為xxA2-yA2+1.0221 , y-2xy+0.2433.從屏幕左上角算起，逐行計(jì)算，一直算到屏幕右下角。當(dāng)然，也可以不取整個(gè)屏幕那么 大，只選一個(gè)200X 200的小區(qū)域做。19標(biāo)色的原理與上面講M集合時(shí)完全類(lèi)似， 此略。改變常數(shù)c的取值，可以得到 各式各 樣的J集。序偽碼如下:KochCurve ;角度增;初始圖;產(chǎn)生式是生成希爾伯Angle 6量是60°Axiom F形是一單位線(xiàn)段F=F+F-F+F將線(xiàn)段中間1/3折起結(jié)束2）用L系統(tǒng)再次生成希爾伯特曲線(xiàn) 特曲線(xiàn)的偽碼如下：Hilbert;希爾伯特曲線(xiàn)，1996-12An

7、gle 4Axiom Y初始串為任意字母YX=-YF+XFX+FY-生成規(guī)則Y=+XF-YFY-FX+生成規(guī)則，由以上規(guī)則不斷代換3）模擬草本植物。注意這里出現(xiàn)了 “括號(hào)”一一 可以方便地表示樹(shù)枝，偽碼如下：HerbPlant ;生成植物）本程序使用了括號(hào)Angle 14Axiom ZZ=ZFX +Z -Z X=X -FFF +FFF FX實(shí)驗(yàn)二高維空間的分形圖形生成實(shí)驗(yàn)?zāi)康? . 了解三維L-系統(tǒng)生成高維空間分形圖形的方法2 .掌握四元數(shù)生成Mandelbrot集和Julia集3 .掌握隨機(jī)中點(diǎn)位移法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1.編寫(xiě)程序，使用四元數(shù)生成 Mandelbrot集和Julia集通常我們是在

8、二維復(fù)平面上研究廣義的M集和J集，也可以通過(guò)“四元數(shù)”(quaternions)將它們推廣到高維空間中去。在二維復(fù)平面中表示復(fù)數(shù)只用兩個(gè)基向量：1 和i。在四維空間中討論超復(fù)數(shù)，現(xiàn)在有四個(gè)基向量：1, i, j和k。任一復(fù)數(shù)可以表示為q=x+yi+zj+qk.超復(fù)數(shù)基向量之間的運(yùn)算關(guān)系(注意，不 同于傳統(tǒng)上四元數(shù)基向量之間的運(yùn)算關(guān)系) 為：ij=k,jk=-i, ki=-j,ji=k,kj=-i,ik=-j,ii=jj=-kk=-1,ijk=1.注意，運(yùn)算關(guān)系的規(guī)定多少有些任意性，也可以規(guī)定U2=jA2=kA2=+ 1 。在四維空間H中也可以研究迭代x-x2+c下的超朱麗亞集J,選一個(gè)截面，

9、將超朱麗亞集投影到三維空間中，可以得到立 體的J集圖象。實(shí)驗(yàn)三分形混沌動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 了解動(dòng)力系統(tǒng)概念2. 掌握J(rèn)ulia復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)及其IFS詮釋3. 了解混沌的概念；實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1.使用IFS方法，編寫(xiě)生成Julia復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的程序通過(guò)IFS方法還可以繪制朱麗亞集J。設(shè) zzA2+c5求出兩個(gè)逆變換 ：w_1(z尸SQRT(z-c) ) w_2(z) =-SQRT(z-c),取概率(p_1,p_2)=(1/2,1/2),迭代后生 成的吸引子實(shí)際上就是各種朱麗亞集！IFS方法、L系統(tǒng)、混沌動(dòng)力學(xué)以及有關(guān) M 集和J集的迭代，事實(shí)上都是相互關(guān)聯(lián)著的， 這種關(guān)聯(lián)體現(xiàn)了非線(xiàn)性科學(xué)的內(nèi)在邏輯。

10、算法：Julia_IFS標(biāo)題：Julia集的IFS 算法參數(shù)：z （迭代次數(shù)）PI （兀值）RAND_MA Xt機(jī)最大值）變量：k （概率變量）x,y （z的實(shí)部和虛部）cx,cy （c 的實(shí)部和虛部）r（極距）a,b,e,f,m,n,wx,wy,theta函數(shù)：Pset（x,y）（畫(huà) 點(diǎn)函數(shù)）Rand （隨 機(jī)函數(shù)）sin （正 弦函數(shù)）cos（余弦函數(shù)）atan（反正切函數(shù)）BEGINFOR i=1 TO z m=a*x+e n=b*y+fIF i>10 THEN Pset（m,n）ENDIF wx=x-cx wy=y-cyIF wx>0 THENtheta=atan(wy/w

11、x)ENDIFIF wx<0 THENtheta=PI+atan(wy/wx)ENDIFIF wx=0 THENtheta=PI/2ENDIFtheta=theta/2r=sqit(wx*wx+wy*wy)k=randrnd=k/RAND_MAXIF rnd<0.5 THENr=sqrt(r)ELSEr=-sqrt(r)ENDIFx=r*cos(theta)y=r*sin(theta)ENDFOREND實(shí)驗(yàn)四分形圖像壓縮實(shí)驗(yàn)?zāi)康? .掌握冗余度壓縮（嫡編碼）2 .限失真編碼（嫡壓縮）3 .掌握分形圖像壓縮的原理與方法4 .編程實(shí)現(xiàn)分形圖像壓縮。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1.使用IFS方法，編程

12、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單自相似圖像謝爾賓斯基 基墊 壓縮分形圖像壓縮是利用原始圖像所具有的 自相似性，構(gòu)造一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）, 利用IFS抽取圖像的自相似性，即用圖像中的 一個(gè)子塊經(jīng)過(guò)分形仿射變換來(lái)逼近同一圖像 中的另一子塊，而且僅僅將仿射變換系數(shù)記錄 下來(lái)，從而達(dá)到壓縮圖像數(shù)據(jù)的目的。以謝爾賓斯基基墊為例加以說(shuō)明，如下 圖?？梢钥闯?，整個(gè)墊子是由上、左下、右下(a)3個(gè)較小的墊子組成。每個(gè)較小的墊子是由原 來(lái)的墊子經(jīng)收縮仿射變換得來(lái)的。如果能分別 找出把原圖形變成3個(gè)小圖形的收縮放射變 換，那么，整個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)就定下來(lái)了。設(shè)原來(lái)墊子3各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1 ) , (x2,y2) , (x3,y3 )。變換所得小墊子的3個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x'1,y'1 ), (x'2,y'2 ) , (x'3,y'3 )。圖 2.3(b)表示的是把原電子變?yōu)樯厦嫘|子的坐標(biāo)。把W1的變換式展開(kāi)：x'1=a1x1+b1y1+e1y'1=c1x1+d1y1+f1x'2=a1x2+b1y2+e1y'2=c1x2+d1y2+f1x'3=a1x3+b1y3+e1y'3=c1x3+d1y3+f1解這組方程得到變換W1的各系數(shù)。代 入以上方程組，得到。同理