2011高考數(shù)學(xué)調(diào)研題(《數(shù)學(xué)之友》)蘇教版

1、2011高考數(shù)學(xué)調(diào)研題(數(shù)學(xué)之友)一、填空題1. 在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 . 乙2 93 4 54 8 2 6 5 3 56 7 甲 8 9 1 2 5 7 8 5 6答案：45 462已知，且 則= .答案： 3若，則對(duì)任意，使的概率為 .答案：4. 從-1,1,2中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k,從-2,1,2中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則直線(xiàn)y=kx+b不 經(jīng)過(guò)第三象限的概率為 .答案：5. 已知函數(shù) ,則“-2a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的 條件.(填充分不必要、必要不充分或充要)答案：必要不充分6. 函數(shù)y=f(x)的圖像在點(diǎn)M(1, f(1)處的切線(xiàn)方程是y=3

2、x-2，則f(1)+ f (1)= .答案：切點(diǎn)既在曲線(xiàn)上也在切線(xiàn)上，f(1)=3-2=1，f (1)=3，f(1)+ f (1)=4。7. 若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值是 .答案：48已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則離心率的取值范圍是 .答案：9設(shè)函數(shù),為坐標(biāo)原點(diǎn),為函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為 的點(diǎn),向量,設(shè)為與的夾角,則= .答案：,即為向量與軸的夾角,所以,所以.10某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合. 將A、B兩點(diǎn)間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d=

3、 , 其中t0,60。CADEB答案：11. 如圖，在直角三角形ABC中，E為斜邊AB的中點(diǎn)，CDAB，AB=1，則的最大值是 .答案：12如圖，線(xiàn)段點(diǎn)在線(xiàn)段上，且為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)設(shè)面積為. 則的最大值 為 .答案：二、解答題（一）三角13. 在中，角的對(duì)邊分別為. （1）求的值；（2）求的面積.解：（1）因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以所以（2）由（1），知因?yàn)椋栽谥?，所以的面積14.已知在中，角的對(duì)邊分別為向量（1）求角的大?。?（2）若，求面積的最大值.解： 當(dāng)時(shí)，、 當(dāng)時(shí)，（二）立幾15. 如圖，直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）求證/平面（2）當(dāng)時(shí)，求證：平面平

4、面證明：（1）（2）連結(jié)得四邊形是正方形 連結(jié)則與的交點(diǎn)即為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn) 16. 平行四邊形ABCD中，CD=1，BCD=60°，且BDCD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)。(1)求證：BD平面CDE；(2)求證：GH平面CDE；(3)求三棱錐D-CEF的體積。解：(1)證明： 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD。EDAD，ED平面ABCD.EDBD。又BDCDBD平面CDE。(2)證明：連結(jié)EA，則G是AE的中點(diǎn)。EAB中，GHAB。又ABCD，GHCD，GH平面CDE(3)解：設(shè)RtBCD中BC邊上的高為h。CD

5、=1，BCD=60°，BC=2，h=。即點(diǎn)C到平面DEF的距離為，VD-CEF=VC-DEF=··2·2·=。（三）應(yīng)用題17. 如圖，海岸線(xiàn)，現(xiàn)用長(zhǎng)為的攔網(wǎng)圍成一養(yǎng)殖場(chǎng)，其中(1)若, 求養(yǎng)殖場(chǎng)面積最大值；(2)若、為定點(diǎn)，在折線(xiàn)內(nèi)選點(diǎn)，使，求四邊形養(yǎng)殖場(chǎng)DBAC的最大面積；(3)若(2)中B、C可選擇，求四邊形養(yǎng)殖場(chǎng)ACDB面積的最大值.解：(1)設(shè)，所以， 面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到(2)設(shè)為定值) (定值) ，由，a =l，知點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，為定值只需面積最大,需此時(shí)點(diǎn)到的距離最大, 即必為橢圓短軸頂點(diǎn) 面積的最大值為，因此

6、,四邊形ACDB面積的最大值為(3)先確定點(diǎn)B、C，使. 由(2)知為等腰三角形時(shí)，四邊形ACDB面積最大.確定BCD的形狀，使B、C分別在A(yíng)M、AN上滑動(dòng)，且BC保持定值，由(1)知AB=AC時(shí)，四邊形ACDB面積最大.此時(shí)，ACDABD，CAD=BAD=，且CD=BD=.S=.由(1)的同樣方法知，AD=AC時(shí)，三角形ACD面積最大，最大值為.所以，四邊形ACDB面積最大值為.18.某商店經(jīng)銷(xiāo)一種奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣(mài)出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門(mén)上交a元（a為常數(shù)，2a5）的稅收設(shè)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為x元（35x41），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例

7、已知當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件（1）求該商店的日利潤(rùn)L（x）元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為多少元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L（x）最大，并求出L（x）的最大值解：（1）設(shè)日銷(xiāo)售量為，則0， 則日銷(xiāo)售量為件日售價(jià)為x元時(shí)，每件利潤(rùn)為（x30a）元，則日利潤(rùn) L（x）（x30a） （2）當(dāng)2a4時(shí)，3331a35，而35x41，（x）0，L（x）在35，41上是單調(diào)遞減函數(shù)則當(dāng)x35時(shí)，L（x）取得最大值為10 當(dāng)4a5時(shí)，3531a36，令（x）0，得xa31x35，a31)時(shí)，（x）0，L（x）在35，a31)上是單調(diào)遞增函數(shù)； x（a31，41時(shí)，

8、（x）0，L（x）在（a31，41上是單調(diào)遞減函數(shù) L（x)在35，41上連續(xù)，當(dāng)xa31時(shí)，L（x）取得最大值為10 總之， （四）解幾19. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為2，兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為10. 設(shè)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)（1）求橢圓的方程;（2）求證直線(xiàn)過(guò)軸上一定點(diǎn)（3）若過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)求過(guò)兩點(diǎn)，且以為切線(xiàn)的圓的方程.解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意得：所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，AP=tAQ，則. 結(jié)合，得. 設(shè)B(x，0)，則， 所以，直線(xiàn)過(guò)軸上一定點(diǎn)B(1，0).（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：代入橢圓方程得： .依題意得：即得

9、： 且方程的根為.當(dāng)點(diǎn)位于軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),直線(xiàn)的方程是： .所求的圓即為以線(xiàn)段為直徑的圓，方程為：同理可得：當(dāng)點(diǎn)位于軸下方時(shí)，圓的方程為：20. 已知依次滿(mǎn)足 （1）求過(guò)點(diǎn)的軌跡； （2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的 距離為，且直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡相切，求該橢圓的方程； （3）經(jīng)過(guò)（2）中橢圓上頂點(diǎn)B作直線(xiàn)m，n，使mn，直線(xiàn)m，n分別交橢圓于P，Q，連接PQ，求證PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn).解：（1）設(shè)（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為 橢圓的方程 由與圓相切得： 將代入得： ， 又，可得， 有，. （3）點(diǎn)B(0，2)，直線(xiàn)m：y=kx+2，代入橢圓方程得：x2+2(kx+2)2

10、=8， 解出 ； 直線(xiàn)n：y=(-1/k)x+2，同理得：. 直線(xiàn)PQ的方程：. 令x=0，直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn).（五）函數(shù)21. 定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足條件：在時(shí)，且（1）求在上的解析式；（2）求在上的取值范圍；（3）若解關(guān)于的不等式解：（1）是上的奇函數(shù)，且時(shí)， 時(shí)， 又由于是上的奇函數(shù)，所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)當(dāng)時(shí)，由可得上是增函數(shù)，即在上的取值范圍是.（3）據(jù)第（2）小題，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的解集是；當(dāng)時(shí)，的解集是；當(dāng)時(shí)，即設(shè)不等式變?yōu)榭偝闪ⅲ?又注意到而當(dāng)時(shí)， 且即綜上可知，不等式的解集如下：當(dāng)時(shí)，的解集是；當(dāng)時(shí)，的解集是；當(dāng)時(shí)，的解集為22.已知函數(shù) (R)(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)

11、的極值；（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍20.解：（1）當(dāng)時(shí)，. 令=0, 得 . 當(dāng)時(shí), 則在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 則在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增. 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;當(dāng)時(shí), 取得極小值為. （2） = ，= = . 若a1，則0， 0在R上恒成立， f（x）在R上單調(diào)遞增 . f（0），, 當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) 若a1，則0，= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2） x1+x2 = 2，x1x2 = a 當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表： xx1（x1，x2）x2+00+f（x）極大值極小值,. .同理. 令f

12、（x1）·f（x2）0, 解得a 而當(dāng)時(shí), 故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn). 綜上所述，a的取值范圍是 （六）數(shù)列23. 有個(gè)首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，設(shè)其第個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為且公差為若也成等差數(shù)列.（1）求關(guān)于的表達(dá)式;（2）將數(shù)列分組如下：（每組數(shù)的個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列），設(shè)前組中所有數(shù)之和為求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)是不超過(guò)20的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于（2）中的求使得不等式成立的所有的值.解：（1）則，同理， 成等差數(shù)列.故即是公差為的等差數(shù)列.所以，（2）由（1）數(shù)列分組如下：，注意到前個(gè)奇數(shù)的和為所以前個(gè)奇數(shù)的和為即前組中所有數(shù)之和為，故又從而相減得：所以，（3）

13、由（2）， 不等式，即 設(shè)函數(shù) 當(dāng)時(shí)都有即 而 注意到當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故有 因此，當(dāng)時(shí)，成立，即成立. 所以，滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)24設(shè)數(shù)列是一個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列(1) 若是該數(shù)列的其中兩項(xiàng)，求證: ;(2) 若該數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列和都是等差數(shù)列，求證:這兩個(gè)子數(shù)列的公差相等;(3) 若(2)中的公差為1，求證: ,并證明數(shù)列也是等差數(shù)列證：(1)由條件知: (2)設(shè)兩子數(shù)列的首項(xiàng)分別為公差分別為即上式左，右端皆為常數(shù),中間的N,故必須，(3) 公差為1, 又?jǐn)?shù)列是嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列, 又由(1)知故即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列三、理科附加題25. 如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1，且的菱

14、形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，（1）試確定，使直線(xiàn)與平面所成角為（2）在線(xiàn)段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，并證明你的結(jié)論. 解：（1）如圖，連接交于以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系又則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與面所成的角為，則解得即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角為（2）假設(shè)在上存在這樣的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)則若即為的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)的要求.26. 已知函數(shù)（1）當(dāng)曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1） 由題意可得解得因?yàn)榇藭r(shí)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即與直線(xiàn)平行，故所求的值為3.（2） 令得 當(dāng)時(shí)，所以故的單調(diào)遞減區(qū)間為 當(dāng)所以，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，故的單調(diào)遞減區(qū)間

15、為和，單調(diào)遞增區(qū)間為. 當(dāng)所以在區(qū)間上，在區(qū)間上，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上討論可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.27. 某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元.表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn).（1） 求事件：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率（2） 求的分布列及期望解：（1）由表示事件：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”， 知表示