高考數(shù)學一輪復(fù)習31 數(shù)列的概念

1、第三章 數(shù)列網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標定位1.知識要求：（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義；了解遞推公式是給出一種數(shù)列的表示方法，并能寫出數(shù)列的前n項.（2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.2.能力要求：培養(yǎng)觀察能力、化歸能力和解決實際應(yīng)用問題的能力.復(fù)習方略指南本章在歷年高考中占有較大的比重，約占10%12%，特別是2002年共計26分，占17%，2003年共計21分，占14%，2004年26分，占17%.考題類型既有選擇題，也有填空題和解答題

2、，既有容易題，也有中檔題，更有難題.由于等差數(shù)列和等比數(shù)列在內(nèi)容上是平行的，所以在復(fù)習時要應(yīng)用對比去認識、理解、掌握數(shù)列知識.縱觀近幾年的高考試題，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：1.等差（比）數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點.3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時要注意靈活應(yīng)用.4.解答題的難度有逐年增大的趨勢.因此復(fù)習中應(yīng)注意：1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學習時要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.2.運用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常

3、見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算.3.分類討論的思想在本章尤為突出.學習時考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q1兩種情況等等.4.等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學復(fù)習中常常運用的，數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習時，要及時總結(jié)歸納.5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學好本章的關(guān)鍵.6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學習習慣，定能達到事半功倍的效果.3.

4、1 數(shù)列的概念知識梳理1.數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.（1）數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an，其中an是數(shù)列的第n項.（2）可視數(shù)列為特殊函數(shù)，它的定義域是正自然數(shù)集的子集（必須連續(xù)），因此研究數(shù)列可聯(lián)系函數(shù)的相關(guān)知識，如數(shù)列的表示法（列表法、圖象法、公式法等）、數(shù)列的分類（有限和無窮、有界無界、單調(diào)或擺動等）.應(yīng)注意用函數(shù)的觀點分析問題.2.通項公式如果數(shù)列an的第n項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表達，那么這個公式就叫做數(shù)列的通項公式，可以記為an=f（n）.并非每一個數(shù)列都可以寫出通項公式，有些數(shù)列的通項公式也并非是唯一的.3.數(shù)列的前n項和

5、數(shù)列an的前n項之和，叫做數(shù)列的前n項和，常用Sn表示.Sn與通項an的基本關(guān)系是：an=Sn=a1+a2+an.4.數(shù)列的分類（1）按項分類有窮數(shù)列:項數(shù)有限；無窮數(shù)列:項數(shù)無限.（2）按an的增減性分類遞增數(shù)列：對于任何nN*，均有an+1an；遞減數(shù)列：對于任何nN*，均有an+1an；擺動數(shù)列：例如:1，1，1，1，；常數(shù)數(shù)列：例如：6，6，6，6，；有界數(shù)列：存在正數(shù)M使|an|M，nN*；無界數(shù)列：對于任何正數(shù)M，總有項an使得|an|M.5.遞推是認識數(shù)列的重要手段，遞推公式是確定數(shù)列的一種方式，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系寫出數(shù)列.點擊雙基1.數(shù)列an中，a1=1，對于所有的n2，nN都

6、有a1·a2·a3··an=n2，則a3+a5等于A. B. C. D.解析一：令n=2、3、4、5，分別求出a3=，a5=，a3+a5=.解析二：當n2時，a1·a2·a3··an=n2.當n3時，a1·a2·a3··an1=（n1）2.兩式相除an=（）2，a3=，a5=.a3+a5=.答案：A2.已知數(shù)列an中，a1=1，a2=3，an=an1+（n3），則a5等于A.B.C.4D.5解析：令n=3，4，5，求a5即可.答案：A3.根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年

7、初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足關(guān)系式Sn=（21nn25）（n=1，2，12），按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月解法一：由Sn解出an=（n2+15n9），再解不等式（n2+15n9）1.5，得6n9.解法二：將選項中的月份代入計算驗證.答案：C4.已知an=，且數(shù)列an共有100項，則此數(shù)列中最大項為第_項，最小項為第_項.解析：an=1+，又4445，0，故第45項最大，第44項最小.答案：45 44典例剖析【例1】 在數(shù)列an中，a1=1，an+1=，求an.剖析：將遞推關(guān)系式變形，觀察其規(guī)律.解：原式

8、可化為=n，=1，=2，=3，=n1.相加得=1+2+（n1），an=.評析：求數(shù)列通項公式，特別是由遞推公式給出數(shù)列時，除迭加、迭代、迭乘外還應(yīng)注意變形式是否是等差（等比）數(shù)列.對于數(shù)列遞推公式不要升溫，只要能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，由此來猜測歸納其構(gòu)成規(guī)律.【例2】 有一數(shù)列an，a1a，由遞推公式an1，寫出這個數(shù)列的前4項，并根據(jù)前4項觀察規(guī)律，寫出該數(shù)列的一個通項公式.剖析：可根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前4項，然后分析每一項與該項的序號之間的關(guān)系，歸納概括出an與n之間的一般規(guī)律，從而作出猜想，寫出滿足前4項的該數(shù)列的一個通項公式.解：a1a，an1，a2，a3，a4.觀察規(guī)律：a

9、n形式，其中x與n的關(guān)系可由n1，2，3，4得出x2n1.而y比x小1，an.評述：從特殊的事例，通過分析、歸納、抽象總結(jié)出一般規(guī)律，再進行科學地證明，這是創(chuàng)新意識的具體體現(xiàn)，這種探索問題的方法，在解數(shù)列的有關(guān)問題中經(jīng)常用到，應(yīng)引起足夠的重視.思考討論請同學總結(jié)解探索性問題的一般思路.【例3】 已知數(shù)列an的通項公式an=cn+，且a2=，a4=，求a10.剖析：要求a10，只需求出c、d即可.解：由題意知 解得an=n+.a10=×10+=.評述：在解題過程中滲透了函數(shù)與方程的思想.闖關(guān)訓練夯實基礎(chǔ)1.若數(shù)列an前8項的值各異，且an+8=an對任意的nN*都成立，則下列數(shù)列中，能

10、取遍數(shù)列an前8項值的數(shù)列是A.a2k+1B.a3k+1C.a4k+1D.a6k+1解析：由已知得數(shù)列以8為周期，當k分別取1，2，3，4，5，6，7，8時，a3k+1分別與數(shù)列中的第4項，第7項，第2項，第5項，第8項，第3項，第6項，第1項相等，故a3k+1能取遍前8項.答案：B2.設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項到第_項的和最大.A.10B.11C.10或11D.12解析：ann210n11是關(guān)于n的二項函數(shù)，它是拋物線f（x）x210x11上的一些離散的點，從圖象可看出前10項都是正數(shù)，第11項是0，所以前10項或前11項的和最大.另解： 由n210n110得1n11，又nN*，

11、0n11.前10項為正，第11項為0.答案：C3.設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，寫出此數(shù)列的前三項：_，_，_.解析：由題意得=，由此公式分別令n=1，n=2，n=3可依次解出前三項.答案：2 6 104.（2004年春季上海，8）根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖中有_個點.解析：觀察圖中五個圖形點的個數(shù)分別為1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n個圖中個數(shù)為（n1）×n+1=n2n+1.答案：n2n+15.已知數(shù)列an的前n項

12、和Sn滿足log2（Sn+1）=n+1，求數(shù)列an的通項公式.解：由已知Sn+1=2n1，得Sn=2n+11，故當n=1時，a1=S1=3；當n2時，an=SnSn1=2n，故an=6.已知在正項數(shù)列an中，Sn表示前n項和且2=an+1，求an.解：由已知2=an+1，得當n=1時，a1=1；當n2時，an=SnSn1，代入已知有2=SnSn1+1，即Sn1=（1）2.又an0，故=1或=1（舍），即=1（n2），由定義得是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，=n.故an=2n1.培養(yǎng)能力7.（理）已知函數(shù)f（x）=2x+2（x1）的反函數(shù)為y=g（x），a1=1，a2=g（a1），a3=g（a

13、2），an=g（an1），求數(shù)列an的通項公式.解：由已知得g（x）=+1（0x1），則a1=1，an+1=an+1.令an+1P=（anP），則an+1=an+P，比較系數(shù)得P=.由定義知，數(shù)列an是公比q=的等比數(shù)列，則an=（a1）·（）n1=1（）n.于是an=（）n.（文）根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）3，5，9，17，33，；（2），；（3）2，6，12，20，30，42，.解：（1）聯(lián)想數(shù)列2，4，8，16，32，可知所求通項公式為an=2n+1.（2）分別觀察各項分子與分母的規(guī)律，分子為偶數(shù)列2n；分母為1×3，3×5，5&

14、#215;7，7×9，故所求通項公式為an=.（3）將數(shù)列變形為1×2，2×3，3×4，4×5，于是可得已知數(shù)列的通項公式為an=（1）n+1·n（n+1）.8.已知數(shù)列an的通項an=（n+1）（）n（nN）.試問該數(shù)列an有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由.解：an+1an=（n+2）（）n+1（n+1）（）n=（）n·，當n9時，an+1an0，即an+1an；當n=9時，an+1an=0，即an+1=an；當n9時，an+1an0，即an+1an；故a1a2a3a9=a10a11a12.數(shù)

15、列an有最大項a9或a10，其值為10·（）9，其項數(shù)為9或10.探究創(chuàng)新9.有一個細胞集合，在一小時里死亡兩個，剩下的細胞每一個都分裂成兩個，假設(shè)開始有10個細胞，問經(jīng)過幾個小時后，細胞的個數(shù)為1540個？解：設(shè)n小時后的細胞個數(shù)為an，依題意得an+1=2（an2），所以an+14=2（an4）.又a1=10，an4=（a14）·2n1=3·2n.an=3·2n+4，使3·2n+4=1540.n=9.思悟小結(jié)1.用歸納法依據(jù)前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維方法，需要我們有一定的數(shù)學觀察能力和分析能力，并熟知一些常見的數(shù)

16、列的通項公式，如：數(shù)列n2，2n，（1）n，2n，2n1，并了解an=的合一形式an=a+b.2.對于符號（數(shù)字、字母、運算符號、關(guān)系符號）、圖形、文字所表示的數(shù)學問題，要有目的地從局部到整體多角度進行觀察，從而得出結(jié)論.3.求數(shù)列的通項公式是本節(jié)的重點，主要掌握兩種求法.（1）由數(shù)列的前幾項歸納出一個通項公式，關(guān)鍵是善于觀察.（2）數(shù)列an的前n項和Sn與數(shù)列an的通項公式an的關(guān)系，要注意驗證能否統(tǒng)一到一個式子中.教師下載中心教學點睛1.要注意強調(diào)數(shù)列、數(shù)列的項、數(shù)列的通項三個概念的區(qū)別.2.給出數(shù)列的方法中，遞推關(guān)系包含兩種：一種是項和項之間的關(guān)系；另一種是項和前n項和Sn之間的關(guān)系.要用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.轉(zhuǎn)化是數(shù)學中最基本、最常用的解題策略，Sn和an的轉(zhuǎn)化，可給出數(shù)列，問題總是在一步步的轉(zhuǎn)化過程中得到解決，在運用轉(zhuǎn)化的方法時，一定要圍繞轉(zhuǎn)化目標轉(zhuǎn)化.3.重視函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用.拓展題例【例1】 已知f（x）=（+）2（x0），又數(shù)列an（an0）中，a1=2，這個數(shù)列的前n項和的公式Sn（nN*）對所有大于1的自然數(shù)n都有Sn=f（Sn1）.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若bn=（nN*），求證b1+b2+bnn=1.分析：由于已知條件給出的是Sn與Sn1的函數(shù)關(guān)系，而要求的是an的通項公式，故關(guān)鍵是確定Sn.解