高考數(shù)學(xué)必考難點(diǎn)圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)梳理

1、高考數(shù)學(xué)必考難點(diǎn)：圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)梳理1、 方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2

2、的交點(diǎn)方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn)。二、圓：1、定義：點(diǎn)集MOM=r，其中定點(diǎn)O為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程：當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程不表示任何圖形.（3） 點(diǎn)與

3、圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，MC=r點(diǎn)M在圓C上，MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中MC=。（4） 直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(

4、c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0<e<1）1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（e>1）與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.軌跡條件點(diǎn)集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a點(diǎn)集：MMF1-MF2.=

5、77;2a,F2F22a.點(diǎn)集M MF=點(diǎn)M到直線l的距離.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程(>0)(a>0,b>0)參數(shù)方程(t為參數(shù))范圍a£x£a，b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0中心原點(diǎn)O（0，0）原點(diǎn)O（0，0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實(shí)軸長2a, 虛軸長2b.x軸焦點(diǎn)F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)準(zhǔn) 線x=±準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.x=&#

6、177;準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c （c=）2c （c=）離心率e=1【備注1】雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.【備注2】拋物線：（1）拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線方程x=- ，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0)，準(zhǔn)線方程x=，開

7、口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程y=-，開口向上；拋物線=-2py（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-），準(zhǔn)線方程y=，開口向下.（2）拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.（4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(為直線AB的傾斜角

8、)，(叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：（1）坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.（2）坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。（3）坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是9x,y)，在新坐標(biāo)系x Oy中的坐標(biāo)是.設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 或叫做平移(或移軸)公式.（4） 中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表： 方 程焦

9、點(diǎn)焦 線對稱軸橢圓+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+ =1(h,±c+k)y=±+kx=hy=k雙曲線-=1(±c+h,k)x=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h六、橢圓的常用結(jié)論：1. 點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. P

10、T平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式,( ,).9. 設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線

11、于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.10. 過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是；【推論】：1、若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是。橢圓（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過橢圓 (a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3、若P為橢圓（ab0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)

12、,F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則.4、設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.5、若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).6、P為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7、橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8、已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)F作直線交

13、該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則.11、設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12、設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點(diǎn).14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)

14、與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17、橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、

15、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5、若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7、雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8、雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , ）當(dāng)在右支上時(shí)，,；當(dāng)在左支上時(shí)，,。9、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的

16、雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.10、過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.11、AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。12、若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13、若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.【推論】：1、雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過雙曲線（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則

17、直線BC有定向且（常數(shù)）.3、若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.4、設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.5、若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).6、P為雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7、雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8、已知雙曲線（ba

18、0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或.11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a0,b0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12、設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)

19、線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點(diǎn).14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17、雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).8、 拋物線的常用結(jié)論：頂點(diǎn).則焦點(diǎn)半徑;則焦點(diǎn)半徑為.通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn)（0,0）離心率焦點(diǎn)圓錐曲線的性質(zhì)對比圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(x2/