新課程理念下問題開放性變式研究的研究

1、新課程理念下“問題開放性變式研究”的研究北京宏志中學(xué) 王芝平北京北務(wù)中學(xué) 鄭廣金（本文發(fā)表于數(shù)學(xué)通報(bào)2006年第10期20頁）1研究性學(xué)習(xí)的一種有效方式問題開放性變式研究郝澎老師在文1中說：“隨著教學(xué)改革的深入，如何使用課本的教學(xué)內(nèi)容，使用研究性學(xué)習(xí)的方法，在日常教學(xué)的過程中進(jìn)行學(xué)生創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識的培養(yǎng)，就成了課堂教學(xué)改革的方向”毋庸質(zhì)疑，課堂是教學(xué)改革的主陣地，如何用“研究性學(xué)習(xí)”的理念來改造、挖掘教材內(nèi)容中適合學(xué)生研究和探索的素材？在“研究性學(xué)習(xí)”研究什么？如何研究呢？我們認(rèn)為“問題開放性變式研究”是一種比較有效的途徑“對待知識的開放心態(tài)是知識創(chuàng)新的前提”（鐘啟泉語）“開放性變式研究”

2、主要是指學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，采取一種積極的態(tài)度、開放的研究方式，對典型問題進(jìn)行變通推廣、探索引申、提煉升華的學(xué)習(xí)過程，從而重新認(rèn)識和構(gòu)建新知恰當(dāng)合理的開放性變式研究能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，它能開闊學(xué)生的視野，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維和提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極情感，達(dá)到舉一反三，事半功倍的效果這既有利于學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識2問題開放性變式研究的基本策略“開放性變式研究”的主要特征是它的開放性首先，課題的選擇是開放的；其次，研究的形式是開放的；再次，研究的空間是開放的；最后，結(jié)論是開放的那么，如何由已知的數(shù)學(xué)結(jié)論、概念和問題等出發(fā)去引出新的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行開放

3、性變式研究呢？布朗與沃爾特（Brown Walter，1983）的研究表明，提出問題的一個(gè)很有用的方法是通過對原問題的條件和限定進(jìn)行思考而自由改變來產(chǎn)生新問題他們在提問的藝術(shù)中對如何提出問題具體地給出了如下一般性的策略：1確定出發(fā)點(diǎn)，這可以是已知的命題、問題或概念等；2對確定的對象進(jìn)行分析，列舉出它的各個(gè)“屬性”；3就所列舉的每一個(gè)“屬性”進(jìn)行思考：“如果這一屬性不是這樣的話，那它可能是什么？”；4依據(jù)上述對于各種可能性的分析提出新的問題，對所提出的新問題進(jìn)行選擇這一策略的核心在第三步，即就各個(gè)“屬性”去考慮：“如果它不是這樣的話，那它可能是什么?” 這一策略通常被稱為是“否定假設(shè)法”（wha

4、t if not？）4.一個(gè)案例：圓錐曲線直徑性質(zhì)研究原始問題：（高二數(shù)學(xué)教材第96頁，練習(xí)第4題）ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-6，0），（6，0），直線AC，BC的斜率乘積等于，求頂點(diǎn)C的軌跡方程問題解答并不困難，重要的在于對條件進(jìn)行思考而自由改變來產(chǎn)生新問題變式1 若直線AC，BC所的斜率乘積不是，而是（改變了其中一個(gè)“屬性”），則C點(diǎn)軌跡方程為；變式2 （一般化）若A，B的坐標(biāo)分別是（a，0），（a，0），直線AC，BC的斜率乘積等于，則得C點(diǎn)軌跡方程為；若A，B的坐標(biāo)分別是（a，0），（a，0），直線AC，BC的斜率乘積等于，則得C點(diǎn)軌跡方程為；變式3 （再一般化）若A，B的

5、坐標(biāo)分別是（a，0），（a，0），直線AC，BC的斜率乘積等于常數(shù) ，則得C點(diǎn)軌跡方程為變式4（將A，B兩點(diǎn)改在軸上）若A，B的坐標(biāo)分別是（0，b），（0，b），直線AC，BC的斜率乘積等于，則得C點(diǎn)軌跡方程為 ；若A，B的坐標(biāo)分別是（0，b），（0，b），直線AC，BC的斜率乘積等于，則得C點(diǎn)軌跡方程為 ；拓展性問題1 在上面的問題中，AB是橢圓的長軸或短軸，換個(gè)角度看，AB是橢圓的一條直徑，那么對于一般的直徑（過原點(diǎn)的弦），上述性質(zhì)還成立嗎？結(jié)論1 （即將AB一般化，并考慮其逆命題）如圖1，若AB是橢圓的任一條直徑，C點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，那么直線AC，BC的斜率乘積等于；如圖2，若兩個(gè)AB是

6、雙曲線的任一條直徑，C點(diǎn)是雙曲線上的動點(diǎn)，那么直線AC，BC的斜率乘積等于；圖1 圖2結(jié)論2 （逆命題）若A，B，M是橢圓（雙曲線）上的點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則直線AM，BM的斜率乘積等于（）的充要條件是A，O，B三點(diǎn)共線；證明 （以橢圓為例）設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）為橢圓上的三點(diǎn)，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，x1 =x2，y1 =y2 ，所以整理得 ，所以 反過來，設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）為橢圓上的三點(diǎn)，存在，且，則，此式與式比較，得，化簡得，這說明M（x0，y0），A1（x1，y1），B（x2，y2）三點(diǎn)共線，又該三點(diǎn)都在橢圓上，故A1（x1

7、，y1），B（x2，y2）重合，顯然A1（x1，y1）與A（x1，y1）關(guān)于原點(diǎn)對稱，即A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，也就是A，O，B三點(diǎn)共線拓展性問題2 設(shè)A，B，M是圓錐曲線上的點(diǎn)，將直線AM，BM的斜率之積為定值改為其商為定值，如即時(shí)，直線AB又有何性質(zhì)呢？ 下面是學(xué)生在信息技術(shù)支持下以開放的研究心態(tài)探索得到的一些結(jié)論：結(jié)論3 如圖3，過拋物線上一點(diǎn)P(x0 ， y0)( y00)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)直線與的斜率存在且傾斜角互為補(bǔ)角，證明直線的斜率是非零常數(shù)這實(shí)際上就是2004年高考北京第17題，下面的解法不同于高考標(biāo)準(zhǔn)答案結(jié)論4 如圖4，過圓錐曲線mx

8、2 + ny2 =1（mn 0）上一點(diǎn)P(x0 ， y0)( y00)，作兩條直線分別交圓錐曲線于A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)直線與的斜率存在且傾斜角互為補(bǔ)角，則直線的斜率是非零常數(shù)拓展性問題3 直線的斜率是非零常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)還有其他性質(zhì)嗎？顯然，當(dāng)A，B兩點(diǎn)重合時(shí)，直線是圓錐曲線的切線，所以可以大膽猜想直線的斜率是P(x0 ，y0)點(diǎn)處切線的斜率 4 幾點(diǎn)思考1開放性變式研究要控制在學(xué)生認(rèn)知水平的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)開放性變式研究要自然流暢，不可牽強(qiáng)附會，要有利于學(xué)生通過問題變式的探索，加深對所學(xué)知識的理解和掌握，從而融會貫通把握知識的整體結(jié)構(gòu)和問題所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法；開放性變式

9、研究要在學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，否則，學(xué)生會有為難情緒，從而喪失探索研究的興趣；變式研究要結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容、目的和要求，要有助于學(xué)生對主體內(nèi)容的掌握2開放性變式研究要適度、適時(shí)變式研究要注意梯度，要循序漸進(jìn)，要螺旋上升，不可多多益善，否則，會使學(xué)生產(chǎn)生逆反心理，造成對解題的厭煩情緒；變式研究要把握時(shí)機(jī).若過早地進(jìn)行變式或“告知”結(jié)論，學(xué)生就難于體驗(yàn)問題發(fā)展和形成的過程，但是，如果教師不能及時(shí)撲捉到學(xué)生思維的火花，也將錯失變式研究的好機(jī)會3開放性變式研究不應(yīng)是教師的“專利”開放性變式研究不是教師表演絕活的自我陶醉教師要必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，教師要因勢利導(dǎo)地幫助學(xué)生，以期最大限度地調(diào)動

10、學(xué)生研究的積極性，提高學(xué)生的參與變式研究意識，并注意培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和感悟，從而形成積極的情感、態(tài)度、價(jià)值觀在新課改理念下，教學(xué)過程不只是執(zhí)行課程計(jì)劃的過程，更是師生開發(fā)課程、豐富課程的過程，是師生富有個(gè)性化的創(chuàng)造過程開放性變式研究重要的是教師要給學(xué)生播種下創(chuàng)新的種子，而不僅是陳述性的知識4開放性變式研究需要改變評價(jià)觀念評價(jià)是教育教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)它既有甄別、導(dǎo)向功能，又有反饋、調(diào)節(jié)、激勵功能評價(jià)的根本目的是促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展，所以評價(jià)要與時(shí)俱進(jìn)因?yàn)閱栴}開放性變式研究是一個(gè)動態(tài)的探索過程，所以，對它的評價(jià)要堅(jiān)持發(fā)展性評價(jià)觀，既要重視知識、技能的掌握和能力的提高，又要關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度和價(jià)值觀的變化要采取多元評價(jià)體系，要注重探索研究過程中的評價(jià)，要有利于營造良好的探索研究環(huán)境，從而促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展5開放性變式研究需要信息技術(shù)支持現(xiàn)代信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，各種優(yōu)秀軟件的不斷涌現(xiàn)，使信息技術(shù)（包括TI圖形計(jì)算器）為數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來了新的生機(jī)和活力由于開放性變式研究是一個(gè)開放的問題性環(huán)境，所以，必須改進(jìn)以“紙和筆”為工具的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，通過信息技術(shù)為學(xué)生提供探