2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四數(shù)列第二講數(shù)列的通項與求和學(xué)案理

1、講數(shù)列的通項與求和高考-】-以尋差、尋比數(shù)創(chuàng)為最娜.書去數(shù)列的通項、求札 LZ 同用謹(jǐn)唯黃系求數(shù)列的通頂、前山項和.核仏考點突破H罰n曲od i a ntu西 - - - 典例精析 題型突破考點一求數(shù)列的通項公式數(shù)列通項公式的求法S,n= 1,(1) 公式法：由an=求通項公式.SSi-i,n2(2) 累加法：由形如an+ian=f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推關(guān)系求通項公式時，常用累加法.(3) 累乘法：由形如 業(yè)=f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推關(guān)系求通項公式時，常用累乘an法.(4) 構(gòu)造法：由形如“an+1=Aan+B(AM0且AM1)”的遞推關(guān)系求通項公式時，可用迭 代法

2、或構(gòu)造等比數(shù)列法.角度 1 :公式法求數(shù)列通項【例 1】(2018 *全國推 I J 記久為數(shù)輛 b討的前”煩柯.若鴦=縱+1 則轉(zhuǎn)化為等 比數(shù)列第二切人點 2“與札 的遞樓關(guān)靜+苻、合公式法求述項的特征一解題指導(dǎo)12答案an= (3n 1)2n 1解析 解法一：由 S= 2an+ 1，得ai= 2a+ 1,所以ai= 1，當(dāng)n2時，an=SS1-1= 2an+1 (2an-i+ 1)，得an= 2an-1,. an是首項為-丄6丄小 6a1(1q= (1 2=1q=12=解法二：由 S1= 2an+ 1，得 S= 2S + 1,所以 S= 1，當(dāng) n2 時，由 S = 2an+ 1 得 S=

3、2( S1 S1 1)+ 1，即Sn= 2S1 1 1 ,Sn 1 = 2(Sn 1 1)，又S 1 = 2 , Sn 1是首項 為一 2,公比為 2 的等比數(shù)列，所以 S 1= 2X2n1= 2n，所以 S= 1 2n, $= 1 26=63.答案63角度 2:累加法、累乘法求數(shù)列通項【例 2】(2018 *合愿二模已知數(shù)列冷爲(wèi)屮.5=2 5+1 一】=知十為則數(shù) L.列仏的通項瓷式為_.解析因為an+1 1 =an+ 2n,所以當(dāng)n時，anan 1= 2n 1,an 1an 2= 2(n 1) 1,an 2an 3= 2(H 2) 1 ,a2a1=2X21,將以上各式相加，得ana1= (

4、2n 1) + 2(n 1) 1 + 2(n 2) 1 + (2X2 1) = 2n+ 2(n 1)+2(n2)+ +2X2(n1)=n-1畀+4n+1=(n1)(n+2)n+1=n21.又因為a1= 2，所以an=n 1 +a1=n+ 1(n2) 當(dāng)n= 1 時，a1= 2 適合上式.故an=n2+1(n N*).答案an=n+ 1角度 3:構(gòu)造法求數(shù)列通項(2018 濟南質(zhì)檢)已知止項數(shù)列叫中網(wǎng)=2迢卄=紐+30,所以1 S= 1,所以數(shù)列 ,S是首項為入，公差為 1 的等差數(shù)列，所以 fS1= ：入 + (n 1) =n+、入一 1, S= (n+ 入一 1), 當(dāng)n2時，an=SSn

5、1= 2n+ 2 寸入3, an + 1an=2,因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以a2a1= 2q 入+ 1 一入=2，解得 入=1.由(1)可得an= 2n 1,1 1 1因為Tn=+ -+,aa2a2a3anan+1” _1f11111111所以Tn= 2X13+35+57+21 一 2+7 = 24n+?角度 2:錯位相減法求和切入點胡 I 叭間的逆推關(guān)樂式亞坯構(gòu)造 等比數(shù)列，關(guān)鍵點：舉加袪求迪項去式.艾躍貞胡 I 叭訝出的適項公式.罕合 持征選擇適半的求和方苗.所以令虬=業(yè)求數(shù)列的前”項和 F”.解題指(1)構(gòu)造數(shù)列atl+xatJf 求出心+i累加法- - naa v-irm-n-rTr

6、 ! naavn-rrriir J證明：數(shù)列尙+l”為等比數(shù)列*并求豐列泊的通項公式，“ t7解(1)證明：由an + 1= 3an 2an 1(n2)，得an+ 1an= 2(anan1),因此數(shù)列an+1an是公比為 2，首項為a2 a= 2 的等比數(shù)列.所以當(dāng)n2時，anan 1= 2x22=21,an= (anan1) + (an 1an2) + (a2 aj +a1= (2 + 2 + 2) + 2 = 2 , 當(dāng)n= 1 時，也符合，故an= 2n.2n 1(2)由(1)知bn=廠,28所以 9a1+9X8X2= 99,解得a1= 3,1352n 1 金所以Tn=2+ 亍+2+ +

7、2113 52n 12 齊=22+2+藝+ ?n+1-，得如=2+ 22+2+2 + 2n弓二1 41-=2+2X112|名師點撥 A數(shù)列求和的解題策略(1)解決數(shù)列求和問題，一般首先確定數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)形式，采取相 適應(yīng)的求解方法.(2) 裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差，裂項相消后，前、后保留的項數(shù)一樣多.(3) 用錯位相減法求和時，要注意找準(zhǔn)項數(shù)、開始的項和結(jié)束的項，不要漏項或加項. 錯位相減后一定要注意其中各個項的結(jié)構(gòu)， 特別是相減后得到的和式的第一項是否可以和后 續(xù)的項組成等比數(shù)列.對點訓(xùn)練1.角度 1(2018 濟南模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為S,公差為d,若d,

8、 為函數(shù)f(x) = (x 2)(x 99)的兩個零點且dS9.(1)求數(shù)列an的通項公式；解(1)因為d,S9為函數(shù)f(x) = (x 2)(x 99)的兩個零點且d0,解得q= 2.所以bn= 2n.由b3=a4 2a1，可得 3da1= 8.由 Sn= 11b4,可得a1+ 5d= 16，聯(lián)立，解得a1= 1,d= 3，由此可得an= 3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an- 3n 2, 數(shù)列bn的通項公式為bn= 2n.設(shè)數(shù)列a2nb2n 1的前n項和為Tn,n 1由a2n=6n2,b2n 1=2X4,有a2nb2n1-(3n1)X4n,故Tn=2X4+5X4 +8X4 +(3n1)X4

9、 ,4Tn=2X4 +5X4 +8X4 +(3n4)X4 +(3n1)X4兩式相減得(2n 1)an= 2，所以2亦二!(n2).又由題設(shè)可得a1= 2 也適合上式,從而an的通項公式為an=2n 1an記 2n+ 1【勺前n項和為S.2n高考真題體驗G涮啊血titi艸. 二：二二 - 2?細(xì)硏真題 探明考向11上述兩式相減，得1223nn + 112X14 3Tn=2X4+3X4 +3X4 +3X4 (3n1)X4+=4(3n141)X4n+1= (3n2)X4n+18.得Tn= X4n+1+3.3n2n+18所以數(shù)列a2nb2n 1的前n項和為 一 3X4+ 3.感悟高考1.高考主要考查兩

10、種基本數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）、兩種數(shù)列求和方法（裂項求和法、 錯位相減法）、兩類綜合（與函數(shù)綜合、與不等式綜合 ），主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.2若以解答題形式考查， 數(shù)列往往與解三角形在 17 題的位置上交替考查， 試題難度中 等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多， 但有時也出現(xiàn)在第 12 題或 16 題位置上，難度 偏大，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起關(guān)注.熱點課題 11 數(shù)學(xué)文化中的數(shù)列問題應(yīng)用舉刮破題關(guān)鍵盍【例】（2013 河北調(diào)研廣珠篦之父稈尢位展我闔明代仆大的數(shù)學(xué)家他的應(yīng)坪數(shù)學(xué) 巨著/算註統(tǒng)宗*的呵世標(biāo)志軒我國的算陸由籌笄到珠算轉(zhuǎn)蠻的完嚨.程大位在 常旦詩繳的於式泉現(xiàn)數(shù)學(xué)問削.川申有首“竹簡容米”

11、問題的命欣:.家育九節(jié)竹-莖,為因盛嵐不均平.下頭三節(jié)三升扎,1:梢四廳曠三升.唯有中間 購打竹翌粋來政伙第盛若有先生能燈法*也教燈得間天明.氣注釋丁 -：升止川一 9切人點：各卩容枳低次成升.次笫些；虞來容積嵌撫相卷同黴址-用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得屮間悶節(jié)的容、卑菱敦列.關(guān)鍵點匕古丈譯注積為 + (1+40, LX4 =2r式的教時擁型.第三步求第模電1利.用庚學(xué)L苗茶 J d知氓求爆數(shù)列的相關(guān)信息感悟體驗1. （2017 全國卷n）我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7 層塔共掛了381 盞燈，且相鄰兩層中的下

12、一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2 倍，則塔的頂層共有燈（）A. 1 盞 B . 3 盞 C . 5 盞 D . 9 盞名師微課導(dǎo)學(xué)Mingshiweikedaoxufl勿技巧點撥升華素養(yǎng)13解析由題意可知，由上到下燈的盞數(shù)ai,az,a3,，a7構(gòu)成以 2 為公比的等比數(shù)aif 1 2 列，S7= 1 _ 2 = 381，ai= 3.故選 B.答案B2九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？ ”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？”（“錢”

13、是古代的一種重量單位）這個問題中，甲所得為（）5435A.5 錢 B.4 錢 C. 3 錢 D.5 錢43235解析 依題意，設(shè)甲所得為ai，公差為d,貝Uai+a2=a3+a+a5=，即卩 2ai+d= 3ai544+ 9d= 2,解得ai= 3，所以甲得 3 錢故選 B.答案B專題跟蹤訓(xùn)練（十九）一、選擇題1.（2018 安徽淮南一模）已知中，an=n2+入n，且an是遞增數(shù)列，則實數(shù) 入的 取值范圍是（ ）A. （ 2，+） B . 2，+C. （ 3，+） D . 3， +m）解析 an是遞增數(shù)列， ?n N，an+“，2 2 （n+1） + 入（n+ 1）n+ 入n，化簡得入 （2n

14、+ 1） ， 入 3.故選 C.答案Can+ 2，n是奇數(shù)，2.（2018 信陽二模） 已知數(shù)列an中，a1=a2= 1，an+2=、,則數(shù)列2an，n是偶數(shù)，an的前 20 項和為（）A. 1121 B . 1122 C . 1123 D . 1124解析由題意可知，數(shù)列a2n是首項為 1,公比為 2 的等比數(shù)列，數(shù)列a2n 1是首項101Xf12 10X9為 1,公差為 2 的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前 20 項和為+ 10X1+X2= 1123.1 2 214選 C.答案C3. （2018 石家莊一模）已知正項數(shù)列an中，a1= 1，且（n+ 2）aL1 （n+ 1）a+aan+115=0

15、，則它的通項公式為（）解析 因為(n+ 2)an+i(n+ 1)a?+an+1= 0，所以(n+ 2)an+1- (n+1)an (an+1+適合，an=名，故選 B.n+ 1答案B4. (2018 廣東茂名二模)S 是數(shù)列an的前n項和，且？n N*都有 2S= 3a+ 4,貝US=( )A. 22X3nB. 4X3nC.4X32D.22X31解析/ 2Sn= 3an+ 4,.2S= 3(SS1)+ 4(n2)，變形為 S 2= 3(S1 2)，又n= 1 時，2S=3S+ 4，解得 S= 4, S 2= 6. 數(shù)列S 2是等比數(shù)列，首項為一 6, 公比為 3. S2 = 6X3n1,可得

16、$= 2 2X3n.故選 A.答案A1 +an5.(2018 河北石家莊一模)若數(shù)列an滿足a1= 2,an+1=，貝Ua2018的值為()1 an11A. 2 B . 3 C .二 D.-232 +an1+a111解析Ta1= 2,an+1=, -a2= 3，同理可得：a3= a4=, as= 2,，A.annn+ 1B.an=n+ 1C.n+ 2an= 丁D. an=nan） = 0.又an為正項數(shù)列，所以an+1n+ 1ann+ 2,anan 1a2n n 1則當(dāng)n2時，ana1an1an 2a1n+ 1n2 2 1 =3n+1又ai=1也(n+ 2)an+1 (n+ 1)an= 0，1

17、6所以 log2an= 2 ，即an= 22答案D二、填空題7. (2018 河南新鄉(xiāng)三模)若數(shù)列an+1-an是等比數(shù)列，且ai= 1,a2= 2,a3= 5,則解析Ta2ai= 1,a3a2= 3,.q= 3,n _ 1r.an+1an= 3 ，二當(dāng)n2時，aa=a2a+a3a2+ +an-1an2+anan 1= 1&已知數(shù)列an中，a1= 3，且點 R(an,an+1)(n N*)在直線 4xy+ 1 = 0 上，則數(shù)列an的通項公式為_ .解析 因為點Fh(an,an+ 1)(n N*)在直線 4xy+ 1 = 0 上, 所以 4anan + 1+1 = 0.1 10因為a1

18、=3,所以a1+ 3=亍1 10故數(shù)列儡+ 3 鬼首項為亍，公比為 4 的等比數(shù)列.nn9._ (2018 山西大同模擬)已知數(shù)列an的通項公式為an=( 1)n(2n 1) cosy + 1(n N*)，其前n項和為 S,貝USo=.解析 由題意可得，當(dāng)n= 4k 3(k N)時，an=a4k-3= 1；當(dāng)n= 4k 2(k N)時，an=a4k 2= 6 8k；當(dāng)n= 4k 1(k N)時，an=ak1= 1 ;當(dāng)n= 4k(k N)時，an=ak= 8k. .a4k 3+a4k2+a4k 1+a4k= 8,S6o=8X15=120.答案120三、解答題n2+ 3 + 3=1 3n=1 3

19、， a1= 1,an=a1= 1也適an=答案3n1所以an+1+ 3 = 43an+3.答案an=詈X4n-1n 143+ 13n 1+11710. (2018 鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的首項ai= 1，前n項和S,且數(shù)列 普是公差為 2的等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若bn= ( 1)nan,求數(shù)列bn的前n項和Tn.S 解(1)由已知條件得-=1 + (n 1)x2= 2n 1,2-Si=2nn.當(dāng)n2時，an=SSn 1= 2nn 2(n 1) (n 1) = 4n 3.當(dāng)n= 1 時，a1=S= 1，而 4x1 3= 1，an= 4n 3.(2)由(1)可得bn= (

20、 1)nan= ( 1)n(4n 3),當(dāng)n為偶數(shù)時，nT=1+59+1317+(4n3)=4x?=2n,當(dāng)n為奇數(shù)時，n+ 1 為偶數(shù)，Tn=Tn+1bn+1= 2(n+ 1) (4n+ 1) = 2n+ 1.On,fn= 2k,k N* 綜上，Tn=*2n+ 1,(n= 2k 1,kN)a1a2a3an911.(2018 南昌市二模)已知數(shù)列an滿足+ + 2+ 2=n+n.(1) 求數(shù)列an的通項公式；n(2) 若bn=2an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.a1a2a3an(1)+ + 歹=n+n,a1a2a3an 12當(dāng)n2時，2+尹尹+廠=(n1)+n1,一得，|n= 2n(n2), a

21、n=n2n+1(n2).n(2)由(1)得，bn= n( 2)n,S=1x(2)1+2x(2)2+3x(2)3+ +nx(2)n，2Sn=1x(2)2+2x(2)3+3x(2)4+(n1)x(2)n+nx(2)n+1,一得,3Sn=(2)+(2)2+(2)3+(2)nnx(2)21 2nr, a1又當(dāng)n= 1 時，=1 + 1,a1= 4 也適合an=n2an=n2n+ 118nx(2)12. (2018 北京海淀模擬)數(shù)列an的前n項和S滿足 S= 2anai,且 成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè)bn=窪二，求數(shù)列bn的前n項和Tn.STST+ 1解(1) $= 2an a,當(dāng)n2時，S1= 2a1a1,an= 2an 2an1，化為an= 2an 1.由a1,a2+1,a3成等差數(shù)列得，2(a2+ 1) =a1+a3, 2(2a1+1) =a1+ 4a,解得 a= 2.數(shù)列an是等比數(shù)列，首項為 2,公比為 2.an= 2.nAn2 2 1Q+1n+ 2-(2)Tan=2, Sn=22,Sn+1=22.2 1n+1(an+121(11、-bnn+1n+