【大學(xué)物理上冊課后答案】第4章狹義相對論時(shí)空觀

1、10習(xí) 題4-1 一輛高速車以0.8c的速率運(yùn)動。地上有一系列的同步鐘，當(dāng)經(jīng)過地面上的一臺鐘時(shí)，駕駛員注意到它的指針在t=0,他即刻把自己的鐘撥到t'=0。行駛了一段距離后，他自己的鐘指到6 us時(shí)，駕駛員看地面上另一臺鐘。問這個(gè)鐘的讀數(shù)是多少？【解】，t： -t0: 6,s=10(s)1 -u2/c21 -(0.8c/c)2所以地面上第二個(gè)鐘的讀數(shù)為t =t' .：t =10(4)4-2在某慣性參考系S中，兩事件發(fā)生在同一地點(diǎn)而時(shí)間間隔為 4 s,另一慣性參考系S'以速度u =0.6c相對于S系運(yùn)動，問在S'系中測得的兩個(gè)事件的時(shí)間間隔和空間 間隔各是多少？【

2、解】已知原時(shí) & =4 (s),則測時(shí)：t' =.-44 s_ 1 -0.62= 5(s)21x - ut由洛倫茲坐標(biāo)變換x' = -j=,得:.1-u2/c2X0 - ut2.1 -u2 /c2x0 - ut1 X'=X21-X1'=.1.u2/c2u - t -89.0 10 (m)d 22.1-u /c4-3 S系中測得兩個(gè)事件的時(shí)空坐標(biāo)是 X1=6M04 m, y1=Z1=0, t1=2M04 s和X2=12M04 m, y2=z2=0, t2=1 M0-4 g如果S'系測得這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，則 S'系相對于S系的 速度u是多少

3、？ S'系測得這兩個(gè)事件的空間間隔是多少？【解】Ax = 6 x 104(m) , Ay=Az=0, N =-1 父 10"(s), At'=0g Ct .要)=0 c2 .r U X C ：t8,、= t = 2 u = =-1.5 10 ( m / s)cx. ：x= ；，(：x -u；：t) =5.2 104(m)4-4 一列車和山底隧道靜止時(shí)等長。列車高速穿過隧道時(shí)，山頂上一觀察者看到當(dāng)列 車完全進(jìn)入隧道時(shí)，在隧道的進(jìn)口和出口處同時(shí)發(fā)生了雷擊，但并未擊中列車。試按 相對論理論定性分析列車上的旅客應(yīng)觀察到什么現(xiàn)象？這現(xiàn)象是如何發(fā)生的？【解】S系（山頂觀察者）看雷

4、擊同時(shí)發(fā)生，但車廂長度短于山洞長度，故未被擊中。S系（列車觀察者）看雷擊不同時(shí)發(fā)生。雖然車廂長度長于山洞長度，但出洞處先遭雷擊，入洞處后遭雷擊，此時(shí)車尾已經(jīng)進(jìn)入山洞。故未被擊中。4-5 一飛船以0.99c的速率平行于地面飛行，宇航員測得此飛船的長度為400 m。（1）地面上的觀察者測得飛船長度是多少？（2）為了測得飛船的長度，地面上需要有兩位觀察者攜帶著兩只同步鐘同時(shí)站在飛船首尾兩端處。那么這兩位觀察者相距多遠(yuǎn)？ （3）宇航員測得兩位觀察者相距多遠(yuǎn)？【解】（1） l =l0Jl-u2/c2 =400）1 -0.992 =56.4 （m）（2）這兩位觀察者需同時(shí)測量飛船首尾的坐標(biāo)，相減得到飛船長

5、度，所以兩位觀察者相距是56.4 m。（3）上的兩位觀察者相距56.4 m,這一距離在地面參考系中是原長，宇航員看地面是運(yùn)動的，他測得地面上兩位觀察者相距為l 川0 .1 -u2/c2 =56.4 1 -0.992 =7.96（m）所以宇航員測得兩位觀察者相距 7.96 m。4-6 一艘飛船原長為Io,以速度v相對于地面作勻速直線飛行。飛船內(nèi)一小球從尾部運(yùn)動到頭部，宇航員測得小球運(yùn)動速度為U,求地面觀察者測得小球運(yùn)動的時(shí)間?！窘狻坑詈絾T測得小球離開尾部的時(shí)空坐標(biāo)為(X1',t1'),小球到達(dá)頭部的時(shí)空坐標(biāo)為(X2,t2)。地面上測得小球運(yùn)動的時(shí)間為:.1t - t 2 - t1

6、(t21 -v2/c21 v x'2 2 (&'+),1 -v2/c2c'VX2') - 122&' I)c .1-v2/c2c,X2 ' XJ = l 0 , t2' L' = l 0 / u21( t. u X) J(1 uv/c ).1 - u2/c2 cu 1 - v2 / c24-7在實(shí)驗(yàn)室中測得兩個(gè)粒子均以 0.75c的速度沿同一方向飛行，它們先后擊中同一靜止靶子的時(shí)間間隔為5 M0-8 s。求擊中靶子前兩個(gè)粒子相互間的距離?！窘狻?x = u t = 11,25(m)4-8在參考系S中，一粒子沿X軸做

7、直線運(yùn)動，從坐標(biāo)原點(diǎn)O運(yùn)動到x=1.50 108 m處, 經(jīng)歷時(shí)間At=1 so試計(jì)算粒子運(yùn)動所經(jīng)歷的原時(shí)是多少？【解】粒子在S系中的速度為u = -0 =1.5 108 (m s'):t原時(shí)為： 飛=t .1 - u2/c2 = 0.866 (s)4-9 一個(gè)在實(shí)驗(yàn)室中以0.8c的速度運(yùn)動的粒子飛行了 3 m后衰變。實(shí)驗(yàn)室中的觀察者測量該粒子存在了多少時(shí)間？與粒子一起運(yùn)動的觀察者測得該粒子在衰變前存在了多少時(shí)間？x【解】實(shí)驗(yàn)室中的觀察者測得粒子的存在時(shí)間為：At =2x =1.25m104（s）u與粒子一起運(yùn)動的觀察者測得粒子的存在時(shí)間為原時(shí)：t0 = . ：t J-u2/c2110

8、-8（s）4-10遠(yuǎn)方的一顆星體以0.8c的速率離開我們。我們接收到它輻射出來的閃光周期是5晝夜，求固定在星體上的參考系測得的閃光周期?！窘狻课覀兘邮盏拈W光周期是測時(shí)，固定在星體上的參考系測得的閃光周期為原時(shí)，即原時(shí)為：比=At <1 -u2/c2 = 3（晝夜）4-11一星體與地球之間的距離是16光年。一觀察者乘坐以0.8c速度飛行的飛船從地球出發(fā)向著星體飛去。該觀察者測得飛船到達(dá)星體所花的時(shí)間是多少？試解釋計(jì)算結(jié)果?！窘狻啃求w與地球之間的距離是原長，飛船上的觀察者測得的距離是測長，測長為：L'=L0j1 -u2/c2 = d1 0.82 L0 =9.6（光年）L't&

9、#39; = - =12（年）0.8c地球上的觀察者測得飛船到達(dá)星體所花的時(shí)間為：& =-L0- = 20（年）0.8c飛船上的觀察者測得的時(shí)間是原時(shí)，地球上的觀察者測得飛船到達(dá)星體所花的時(shí)間為測時(shí)，這正是時(shí)間膨脹的一種表現(xiàn)。4-12 根固有長度為1 m的尺子靜止在S系中，與O'軸成30角。如果在S系 中測得該尺與Ox軸成45°角，則S'系相對于S系的速度u是多少？ S系測得該尺的 長度是多少？【解】在S'系中，米尺在x'軸方向的投影長度為：x'= L0 cos30"= "'（m）2在y'軸方向的投影

10、長度為：y'=L0sin30' = 0.5(m)在S系中，米尺在y軸方向的投影長度不變，y = y' = 0.5(m)由于米尺在S系中測得該尺與Ox軸的夾角為45°,則在x軸方向的投影長度為：x=0.5(m),即x = 1 - u2 /c2 x' =0.5 - v 1 - u2 /c22S'系相對于S系的速度為：u = J-c :3S系中測得該尺的長度為：L= J2M0.5 = 0.707(m)4-13一立方體的質(zhì)量和體積分別為 m。和V。求立方體沿其一的方向以速速 u運(yùn)動時(shí)的體積和密度。【解】設(shè)立方體沿x方向運(yùn)動，立方體的一條棱邊平行于 x軸

11、。立方體的原邊長為a0 = 3 V0運(yùn)動時(shí)，沿x軸方向邊長為：a' = " u2/c2a0因此物體的體積為：V'- 1 -u2/c2a0 a0 a0 =V0、1 -u2/c21運(yùn)動時(shí)，物體的質(zhì)重為：mm02 . 20. 1-u /c因此運(yùn)動時(shí)物體的密度為：' = = j 1m0 . V0 V'1 - u2 /c2 = m0(1 - u2 /c2) JV 1-u2/c2V。4-14直桿縱向平行于S系的Ox軸勻速運(yùn)動，在S系中同時(shí)標(biāo)出該桿兩端的位置，并測得兩端坐標(biāo)差 從1=4 m。若在固定于桿上的S'系中同時(shí)標(biāo)出該桿兩端的位置， 則在S'系

12、中測得兩端坐標(biāo)差 皿=9 m。求桿本身的長度和桿相對于 S系的運(yùn)動速度?！窘狻扛鶕?jù)題意可知，在 S'系中測得桿的長度即為原長L0。L0 = x2 = 9（m）根據(jù)長度收縮關(guān)系式L0 ='1Ax1是在s系中測得桿的長度.1-U2/C2.u2 LX15=1 一 一2 = . u = ccx23【解】（邱雄習(xí)題答案）設(shè)直桿的原長為L.根據(jù)題意可知，在S'系中測得桿的長度即為原長。2<lBu2/c2"醒是s系測得的距離（原長），在系測得為Lo （縮短這個(gè)題目的AX2=9 m是在S系中的兩個(gè)坐標(biāo)之差，不是原長。如果用洛侖茲變換解這 題的第二次測量，會更容易理解。以

13、下是我的解法?！窘狻吭赟'系中，不管是否同時(shí)測量，桿兩端坐標(biāo)差都是原長，設(shè)直桿的原長為L0。第一次測量，Axi=4 m是動長，可以直接用長度收縮公式，有以下關(guān)系:(1)I ： >i1 -u2/c2第二次測量，At2'=0 Ax2=9 m Ax2'=L0由洛侖茲變換-x2(x2' u t2')得到下面式子L0二：x2 1 - u2 /c2(2)由（1） （2）得到4-15從地球上測得地球到最近的恒星半人馬座“星的距離是4.3 1016 m,設(shè)一宇宙飛船以速度0.99c從地球飛向該星。（1）飛船中的觀察者測得地球和該星間距離是 多少？ （2）按照地球上

14、的時(shí)鐘計(jì)算，飛船往返一次需要多少時(shí)間？若以飛船上的時(shí)鐘 計(jì)算，往返一次的時(shí)間又為多少？【解】（1）設(shè)地球?yàn)镾系，飛船為S'系。地球上測得地球到半人馬座 a星的距離為原 長，飛船測得的距離為測長。則：l'=l0 .1-u2/c2 =4.3 10161 -0.9992 =1.92 1015 （m）（2）地球上的時(shí)鐘計(jì)算飛船往返一次（2l0）所需的時(shí)間為一=.=2M4.”10168 =2.87，= 9.1（年） u 0.999 3 10地球上的時(shí)鐘計(jì)算飛船往返一次所需的時(shí)間為測時(shí)，以飛船時(shí)鐘計(jì)為原時(shí)，則t' = N vi -u2/c2 = 9.1 M V1 -0.9992 =

15、 0.41（24-16天津和北京相距120 km。在北京于某日上午9時(shí)整有一工廠因過載而斷電。同日在天津于9時(shí)0分0.0003秒有一自行車與卡車相撞。試求在以 0.8c沿北京到天津方向飛行的飛船中的觀察者看來，這兩個(gè)事件相距多遠(yuǎn)？這兩個(gè)事件之間的時(shí)間間隔是多少？哪一事件發(fā)生的更早？【解】（1）設(shè)飛船為S'系，地球?yàn)镾系，北京發(fā)生事件1,天津發(fā)生事件2。飛船測得這兩個(gè)事件的距離為：、-x0 - utlx0 -ut2x -u tx = x2 *2一2 -2一2-二2一21 -u /c .1 -u /c 1 -u /c120 103 -0.8 3 108 0.0003380 1 03 (m)

16、 =80(km) d-0.82(2)飛船測得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為：1(»夠.1 -u2/c2c12.1-0.82(0.0003-0.8 3 108 120 103(3 108)2 5二-3.33 10 (s)T&'<0,所以天津的事件先發(fā)生。4-17地球上的觀察者發(fā)現(xiàn)，一艘以0.6c的速度航行的宇宙飛船在5 s后同一個(gè)以0.8c的速度與飛船相向飛行的彗星相撞。（1）飛船上的人看到彗星以多大速率向他們接近。（2）按照飛船上觀察者的鐘，還有多少時(shí)間允許它離開原來的航線以避免相撞？【解】（1）設(shè)地球?yàn)镾系，飛船為S'系。由洛倫茲速度變換，在飛船測得的彗星速度

17、 為：v -uv'21 -uv/ c-0.8c -0.6c二一0.95c1 -(-0.8) 0.6即彗星以0.95c的速率向飛船接近。（2）飛船上測得測得離發(fā)生碰撞的時(shí)間間隔為:甲=1 -u2/c2：t =5 .1 -0.62 =4(s)4-18原子核以0.6c的速率離開某觀察者運(yùn)動。原子核在它的運(yùn)動方向上向后發(fā)射一光子，向前發(fā)射一電子。電子相對于核的速度為 0.8c。對于靜止的觀察者，電子 和光子各具有多大的速度?【解】設(shè)觀察者所在參考系為 S系，原子核為S'系。洛倫茲速度變換式v = v' u 21 vu/ c由題意可知,u=0.6c,電子 v' = 0.8

18、c,光子 v'=c電子的速度v電子v' u1 vu/c20.8c 0.6c1 0.8 0.6=0.946c光子的速度v光子v' u1 vu /c2-c 0.6c1 (-1) 0.64-19(1)火箭A以0.8c的速度相對于地球向正東飛行， 火箭B以0.6c的速度相對于地球向正西飛行，求火箭 B測得火箭A的速度大小和方向。(2)如果火箭A向正 北飛行，火箭B仍向正西飛行，由火箭B測得火箭A的速度大小和方向又是如何?【解】取正東為x軸的正向，正北為y軸的正向，根據(jù)洛倫茲速度相對變換式vx -u1 -vxu/c2vy ,1 -u2/c2vz . 1 - u2 /c2-，vz

19、=-1 - VxU/C1 - vxu/c(1)將 u=0.6c, Vx=0.8c, Vy=0, vz=0 代入，得:=0.95c,Vx -uVx :21 Vxu/c0.8c -(-0.6c)1 -0.8 (-0.6)Vy . 1 - u2 /C2Vy') 二 01 - vxu /cvz .1 -u2 /c21 - Vxu/c2即在火箭B上測得火箭A的速度大小為0.95c,方向?yàn)檎龞|。(2)將 u=0.6c, vx =0, vy=0.8c, vz=0 代入，得:Vx -u1 7xU / c20 - (-0.6c)二 0.6c1 -0 (-0.6)vyvy1-u2/c2/ 21 -vxu/

20、c0.8c1-0.62= 0.64c1-0( -0.6)Vz,vz 1 -u2 /c221 - vxu/cv = vx'2 vy'2 =0.87c ,0.64c1-arctg46.80.6c即在火箭B上測得火箭A的速度大小為0.87c ,方向?yàn)闁|偏北46.8 o111 1u2/c2m 二1 - u2 / c2m0 = 5883mo4-20北京正負(fù)電子對撞機(jī)中，電子可以被加速到能量為3.00x109 eV。求：(1)這個(gè)電子的質(zhì)量是其靜止質(zhì)量的多少倍？(2)這個(gè)電子的速率為多大？和光速相比相差多少？ ( 3)這個(gè)電子的動量有多大？12226【斛】(1)根據(jù) Ek = E - E0

21、 = c m0c 一 m0c , m0c = 0.51 父 10 eV 可1 - u /c得:91 = 5883& 1 3.00 10Eo - 0.51 106即這個(gè)電子的質(zhì)量是其靜止質(zhì)量的 5883倍。(2)由上式可計(jì)算出這個(gè)電子的速率為：u =0.999999986c與光速相比，相差：u =1.44 10-8c =4.33(m/s)22(3)電子的動量為：p =Ek2Ekm0cc由于Ek » m0c ,所以有p七且c9193 101.6 103 108=1.6 10,8 (kg m/s)4-21一個(gè)電子的總能量是它靜能的5倍，求它的速率、動量、總能分別是多少?2_2【解】

22、(1)根據(jù) E = Eo+Ek, E=mc, E0=m°c 可得:E m= m = 5m0Eo m0,1由m = ,，° m。,求得電子的速率為：.1 -v2/c2,248v =c = 2.94 10 (m/s)(kg m/s). 2421(2)電子的動量:p = mv = 5m0 c =1.34 105(3)電子的能量：Ek = E E0 =4m0c2 = 3.28m 10,3 (J)4-22(1)把一個(gè)靜止質(zhì)量為 m。的粒子由靜止加速到0.1c所需的功是多少？ (2)由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？【解】(1)由相對論的功能關(guān)系，電子由靜止加速到0.1

23、c所需的功為：22,122叫 =mc - m0c =( 1)m0c = 0.005m0c.1 - v2/c2(2)同理，電子由速率0.89c加速到0.99c所需的功為：22,11、2叫=m2c -m1c =(2 2 -2 2 )moc,1 - v2 /c . 1 -% /c2=4.9m0c/11'2二(2 -2)m°c 1-0.991-0.894-23一個(gè)電子由靜止出發(fā)，經(jīng)過電勢差為 1.0 104 V的均勻電場，電子被加速。已知電子靜止質(zhì)量為m0=9.11 10-31 kg,求：（1）電子被加速后的動能；（2）電子被加 速后質(zhì)量增加的百分比；（3）電子被加速后的速率?！窘狻?/p>

24、（1）根據(jù) Ek =eiV =1.6m10-19m104 =1.6父10,5 （J）（2）由相對論的動能表達(dá)式 Ek=mc2-m0c2,可得質(zhì)量的增量為:m = m-m0 =與=1.78 10工2（kg） c電子質(zhì)量增加的百分比為：mmb=2%1.78 10 32T319.11 10(3)電子加速后質(zhì)量為：m = Am + m0 = 9.29父103 (kg)1由質(zhì)速關(guān)系式m = m0 ,可得: , 1 -v /cm0 2J-(m)= 5.85 107 (m/s)8/,9.11.2=3 10.1-(),9.294-24一個(gè)質(zhì)子的靜止質(zhì)量為 mP = 1.67265父10”7kg , 一個(gè)中子的

25、靜止質(zhì)量為mn =1.67495黑1047kg , 一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)中子結(jié)合成的笊核的靜止質(zhì)量為mD =3.34365父1027kg。求結(jié)合過程中放出的能量是多少 MeV?這能量稱為笊核的結(jié)合能，它是笊核靜能的多少倍？【解】笊核的結(jié)合能為：(AE)d =(Am)Dc2 =(1.67265 + 1.67495-3.34365K 10-27 M (3父 108)2= 3.55 10-13 (J) =2.22(MeV)= 0.12%(A E)3.55-10.mDC2 - 3.34365 100(3 108)2即這一結(jié)合能是笊核靜能的0.12%倍。4-25太陽發(fā)出的能量是由質(zhì)子參與一系列反應(yīng)產(chǎn)生的，其總結(jié)果相當(dāng)于熱核反應(yīng)：1H 十 11H + 1H +；Ht 24He +2；e。已知：一個(gè)質(zhì)子(11H )的靜止質(zhì)量是mP = 1.67265M10，7kg , 一個(gè)氨核(；He)的靜止質(zhì)量 是mHe =6.642 50父10/7kg , 一個(gè)正電