導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點與題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點與題型歸納考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值考法(一)已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的極值點個數(shù)或極值a . 一.例1已知函數(shù)f(x)=x1 + ex(aC R, e為自然對數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)f(x)的極值.解由 f(x) = x 1+ *,得 f' (x)= 1 * ee當(dāng)aw。時，f' (x)>0, f(x)為(一8, + oo)上的增函數(shù)，所以函數(shù) f(x)無極值.當(dāng)a>0時，令f' (x)=0,得 ex= a,即 x= ln a,當(dāng) xC(8, in a)時，f' (x)<0;當(dāng) xC (ln a, + 8)時，f (x)&

2、gt;0,所以函數(shù)f(x)在(00, in a)上單調(diào)遞減，在(ln a, 十 °°)上單調(diào)遞增，故函數(shù) f(x)在x =in a處取得極小值且極小值為f(ln a)= in a,無極大值.綜上，當(dāng)aw。時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x= in a處取得極小值in a,無極大值.例2設(shè)函數(shù)f(x)= in(x+ 1)+ a(x2-x),其中a C R.討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由.12ax2 + ax a + 1解，(x)=+a(2x-1) =(x>- 1).x+ 1x+ 1令 g(x) = 2ax2+axa+1, xC ( 1,

3、 +8).當(dāng)a=0時，g(x)=1, f' (x)>0,函數(shù)f(x)在(一1, +8)上單調(diào)遞增，無極值點.當(dāng) a > 0 時，= a 8a(1 a) = a(9a 8).,8 一當(dāng) 0vaW£時，A< 0, g(x)>0, f (x)>0, 9函數(shù)f(x)在(-1 , + 8)上單調(diào)遞增，無極值點.、“8i _當(dāng) a>9時，A>0,設(shè)方程 2ax2+axa+1 = 0 的兩根為 x1, x2（x1vx2）,.1因為 xi+ X2= 2，11所以 XK 4, X2>-1由 g(1)=1>0,可得一1VX1V -.所以當(dāng)xC

4、(1, X1)時，g(x)>0, f' (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) xC (x1, X2)時,g(x)v0, f' (x)<0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xC (x2,+8)時,g(x)>0, f' (x)>0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個極值點.當(dāng) a<0 時，A>0,由 g(-1)=1>0,可得 X1V 1 V X2.當(dāng) xC(1, X2)時,g(x)>0, f' (x)>0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) XC(X2,+8)時,g(x)V0, f' (x)<

5、 0,函數(shù) f(X)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(X)有一個極值點.綜上所述，當(dāng)a< 0時，函數(shù)f(x)有一個極值點；當(dāng)0Waw時，函數(shù)f(x)無極值點； 9當(dāng)a >9時,函數(shù)f(x)有兩個極值點. 9考法(二)已知函數(shù)的極值點的個數(shù)求參數(shù)例3已知函數(shù)g(x) = ln xmx + m存在兩個極值點 X1 X2,求m的取值范圍. xm解因為 g(x)=ln x-mx+-,Xh 0 >0,J1故只需滿足2m>0，解得0vm<2.,1.h 茄 <°， , ，一 一 ,1所以m的取值氾圍為 0, 2 .考法(三)已知函數(shù)的極值求參數(shù)例 4 (2018 北京高考)

6、設(shè)函數(shù) f(x) = ax2 (4a+ 1)x+ 4a + 3ex.(1)若曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x= 2處取得極小值，求 a的取值范圍.解(1)因為 f(x)=ax2-(4a+1)x+ 4a+3ex,所以 f' (x)=ax2-(2a+1)x+ 2ex.所以 f' (1)=(1 a)e.由題設(shè)知f' (1) = 0,即(1 a)e=0,解得a=1.此時 f(1) = 3ew0.所以a的值為1.(2)由(1)得 f' (x)=ax2(2a+1)x+2ex= (ax-1)(x- 2)ex.若 a>1,

7、則當(dāng) xC 1, 2 時，1(x)<0; 2a當(dāng) xC (2, + 8)時，f，(x)>0.所以f(x)在x= 2處取得極小值.411. 一若 aw2,貝U當(dāng) xC (0,2)時，x-2<0, ax- 1<2x- 1<0,所以 f (x)>0.所以2不是f(x)的極小值點.一 一 ，一1綜上可知，a的取值范圍是2, + 00 .考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值In x典例精析已知函數(shù)f(x) =1.x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)m>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間m,2m上的最大值.1-ln xf' x >0,解(1)因為函數(shù)f(x)的定

8、義域為(0, +8),且F (x) =2 ，由得0xx>0,f' x < 0,<x< e;由得 x>e.x>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e, + 8).2m<e,e(2)當(dāng)即0v mw 2時，函數(shù)f(x)在區(qū)間m,2m上單調(diào)遞增，m> 0,ln 2m所以 f(x) max= f(2 m)= 2m 1;e當(dāng)mvev2m,即2vmve時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m, e)上單倜遞增，在(e,2m)上單倜遞 減，所以 f(x) max= f(e) = 1 = e 1 ；當(dāng)m>e時，函數(shù)f(x)在區(qū)間m,2

9、m上單調(diào)遞減，ln m所以 f(x)max= f(m)= m 1.綜上所述，當(dāng)0V mW：時,f(x)max= 嚼0 1；當(dāng) evmve 時，f(x)max=1 1； 2elnm .當(dāng) m>e 時，f(x)max= m _1.題組訓(xùn)練1. (2018全國卷I )已知函數(shù)f(x) = 2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是 .解析：f' (x) = 2cos x + 2cos 2x= 2cos x+2(2cos2x1)=2(2cos2x+ cos x- 1) = 2(2cos x 1)(cos x+ 1). cos x+ 1 > 0,1 .，當(dāng) cos XV 2時，

10、f (x)<0, f(x)單倜遞減;1 一 ,當(dāng) cos x>2時，f (x)>0, f(x)單倜遞增.1，當(dāng)cos x= 2，f(x)有取小值.又 f(x) = 2sin x + sin 2x= 2sin x(1 + cos x),當(dāng)sin x=等時，f(x)有最小值，即 f(x)min = 2X .當(dāng) X Ng 一呼.答案：一歲2 .已知函數(shù)f(x) = ln x+ax一一、，1 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0, 2 , (1, +8),單調(diào)遞減區(qū)間為1+bx(其中a, b為常數(shù)且aw 0)在x=1處取得極值.3 當(dāng)a= 1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0

11、, e上的最大值為1,求a的值.解：(1)因為 f(x)= ln x+ax2+bx,所以 f(x)的定義域為(0, +°°)f (x)=1+2ax+b, x4 為函數(shù)f(x)= In x+ ax2+ bx在x= 1處取得極值，2x2- 3x+ 1所以 f' (1)=1+2a+b=0,又 a=1,所以 b=-3,則 f' (x)=",x1令 f (x)= 0,得 x1 = 2, x2= 1.當(dāng)x變化時，f' (x), f(x)隨x的變化情況如下表:x。,212f' (x)十0f(x)極大值1 ,2, 11(1 , + 8)一0十極小值

12、2ax2 2a+ 1 x+ 1(2)由(1)知 f' (x) =2ax 1 x 1(x>0),1令 f (x)= 0,得 X1= 1 , X2=元，2a1因為f(x)在X= 1處取得極值，所以 X2=* X1= 1.2a當(dāng)a<0,即白<0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, e上單調(diào)遞減， 2a所以f(x)在區(qū)間(0, e上的最大值為f(1),令f(1)=1,解得a=- 2.1-當(dāng)a>0,即X2= >0時， 2a若;1<1, f(x)在0, 1, e上單調(diào)遞增，在1上單調(diào)遞減，所以最大值可能在2a2a2a11.112 . 1.11. .x=W

13、或 x=e處取得，而f 2a =ln2a+a2a-(2a+1) 2a=皿萬7一1<。，令 f(e) = ln e+ae2(2a+1)e= 1,解得 a=.e- 2a 1，一一11若1<2a<e，f(x)在區(qū)間(0，1)， 2a? e上單倜遞增，在 1，亂 上單倜遞減，所以最大值可能在 x= 1或x= e處取得，而 f(1)=ln 1 +a-(2a+ 1)<0,令 f(e) = ln e+ ae2 (2a+ 1)e= 1,-1.1 一一解得 a=-與1vx2=2ae矛盾.1若X2=>e, f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, e上單調(diào)遞減，所以最大值可能在

14、x = 2a1 處取得，而 f(1)=ln 1+a (2a+1)v0,矛盾.，、一，1.綜上所述，a= 或a=2.考點三利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問題1 C典例精析(2019貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)= ln x+ 2x2-ax+a(a R).(1)若函數(shù)f(x)在(0, +8 )上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在X=X1n X= X2處取得極值，且X2>寸eX1(e為自然對數(shù)的底數(shù)),求f(X2) f(X1)的最大值.1解(1)f (x)=-+x-a(x>0),x又f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，恒有 f (x)>0,即一+x a>

15、;0 恒成立 ) 二 aW X+ min )Xx而x+X>2 1卜! =2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“ =” ,.-.a< 2.即函數(shù)f(x)在(0, + 8)上為單調(diào)遞增函數(shù)時，a的取值范圍是(一8, 2.(2) ,f(x)在x= xi和x= x2處取得極值，1 x2 ax+ 1且 f' (x) = -+ x- a=(x>0),xx. xi, x2是方程x2ax+1 = 0的兩個實根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x+x2=a, x1x2= 1,.f(x2) f(x1)= Inx2+ 7(x2 x2) a(x2 x1) = lnx22(x2 x2)= lnx22(x2 x2)-= l

16、nx2! x1 2x1 2x1 2x1x2x12x2x1, x1x2 '設(shè) t=x2i(t> 五)，令 h(t)=ln t x解析：選 A f' (x)= e當(dāng) xC 0,1)時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增, t ； (t> 而,2 1 1.1 I _則 h (t) = '_2 1+曰= 2t2v 0,h(t)在h/e, 十 °°)上是減函數(shù),. h(t)< hC/e)= « 1 Ve+ 叁, 2e故f(x2)f(x1)的最大值為2 1 -也+3題組訓(xùn)練 aax2 + bx+ c已知函數(shù)f(x)=-

17、x(a>0)的導(dǎo)函數(shù)f' (x)的兩個零點為一3和0.e求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為一e3,求f(x)在區(qū)間5, +°° )上的最大值.解：(1)f' (x) =2ax+ b ex ax2+ bx+ c exex 2 ax2+ 2a b x+ bcex令 g(x) = ax2+ (2a b)x+ b c,因為ex>0,所以f' (x)的零點就是g(x) = ax2+(2ab)x+bc的零點，且f' (x)與g(x)符號相同.又因為 a>0,所以當(dāng)一3vxv0 時，g(x)>0,即 f (x)>

18、0,當(dāng) xv 3 或 x>0 時，g(x)v0,即 f' (x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8, 3), (0, +8).(2)由知，x = 3 是 f(x)的極小值點，所以有9a 3b + cf - 3 ="= e ,e 3g 0 = b c= 0,g 3 = 9a 3 2a b +b c=0,x2+5x+5解得 a= 1, b=5, c=5,所以 f(x)=.e由(1)可知當(dāng)x= 0時f(x)取得極大值f(0)=5,故f(x)在區(qū)間5, + 8)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者.5而 f(5)=5e5>5=f

19、(0), e 5所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5, +8)上的最大值是5e5.課時跟檢測A級1 .函數(shù)f(x)=xe x, xC 0,4的最小值為()1A. 0B二eC/44 e42D.e1 當(dāng) xC (1,4時，f' (x)<0, f(x)單調(diào)遞減,4因為f(0) = 0, f(4)=+> 0,所以當(dāng)x=0時，f(x)有最小值，且最小值為0.2 .若函數(shù)f(x)=aex sin x在x=0處有極值，則a的值為()A. 1B. 0C. 1D. e解析：選 C f' (x)=aexcos x,若函數(shù) f(x) =aex- sin x 在 x=0 處有極值，則 f (0)= a

20、-1 = 0,解得a=1,經(jīng)檢驗a= 1符合題意，故選 C.3.已知x= 2是函數(shù)f(x) = x3 3ax+2的極小值點，那么函數(shù) f(x)的極大值為()A. 15B. 16C. 17D. 18解析：選D 因為x= 2是函數(shù)f(x)=x33ax+2的極小值點，所以fz (2)=12-3a=0, 解得 a= 4,所以函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)=x312x+ 2, f (x)=3x2-12,由 f' (x)=0,得 x = ±2,故函數(shù)f(x)在(一2,2)上是減函數(shù)，在(一8, -2), (2, + 8)上是增函數(shù)，由此可知當(dāng) x= 2時，函數(shù)f(x)取得極大值f(2

21、)=18.4.(2019合肥卞II擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ bx2+ cx的大致圖象如圖所示，則x2+x2等于()2 A.o 3C.34B.3c 16D.萬解析：選C 由圖象可知f(x)的圖象過點(1,0)與(2,0), Xi, x2是函數(shù)f(x)的極值點，因此1 + b+c= 0,8+4b+2c= 0,解得 b=3, c=2,所以 f(x) = x33x2+2x,所以 f' (x)=3x2-6x+ 2,則xi, X2是方程f (x)=3x2-6x+ 2= 0的兩個不同的實數(shù)根，因此xi + x2=2, xiX222224 8=所以 X1 + X2 = (X1 + X2) 2X1X

22、2= 4 Q= Q.33 35. (2019泉州質(zhì)檢)已知直線y = a分別與函數(shù)y= e，1和V=7 x 1交于A, B兩點，則A, B之間的最短距離是()3-In 2A.-25In 2B. 23+ln 2 c.-25+In 2D. 2解析：選 D 由丫=3、+解析：f' (x)=3x2- 3a2=3(x+a)(x-a),由 f' (x) = 0 得 x=也，當(dāng)一av xva時，f' (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a或xv a時，f' (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，.f(x)的極大值為f(-a),極小值為f(a).- f( a)

23、 = a+ 3a+ a> 0 且 f(a) = a 3a+ av 0,2解得a>-2".-m 2a的取值范圍是萬2, +8 .答案：苗2, +°°1、“ 一7. (2019 長沙倜研)已知 y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng) xC(0,2)時，f(x)= ln x- ax a>2 ,當(dāng) xC ( 2,0)時，f(x)的最小值為1,則a=.解析：由題意知，當(dāng)xC(0,2)時，f(x)的最大值為一1.令 f (x) = 1- a=0,得 x=1 xa 一 一，當(dāng) 0vx一時，f (x)>0； a 得 x=ln y1,由 y=7x- 1 得*=丫2+1,所

24、以設(shè) h(y)=RB| = c 221當(dāng) x>；時，f (x)<0.y 2 y+ 222y2+1(ln y-1)=y2-ln y+2, h，(y)=2yy =y(y>0),當(dāng) 0vyvf時，h' (y)< 0;當(dāng)y>孝時，h' (y) >0,即函數(shù)h(y)在區(qū)間0,當(dāng) 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 號,+8J2、/2 c25+ ln 2上單調(diào)遞增，所以 h(y)min=h 2 = 2 ln 2 +2 = 2.6.若函數(shù)f(x) = x. f(x)max= f a = ln a 1 = 1,解得 a= 1.答案：13a2x+a(a>0)的極大值是正

25、數(shù)，極小值是負數(shù)，則 a的取值范圍是,兀，兀8. (2018 內(nèi)江一模)已知函數(shù) f(x)=asin x+bcos x(a, b R),曲線 y=f(x)在點f 3處的切線方程為y=x-3.求a, b的值；f x+.一一3 ，兀，一，一(2)求函數(shù)g(x)= x在0，2上的取小值.解：由切線方程知，當(dāng) x=,寸，y=0,.兀 V3 . i _. f 3 = a + 2b = 0.f' (x) = acos x bsin x,1V3由切線萬程知，f 3 =2a-2-b= 1，1.13. a=2，b= - 2 一、1 . m. 兀(2)由(1)知，f(x) = Sin x-2-cos x=

26、sin x- 3 ,"皿_ ,、 sin x八 一兀. 函數(shù) g(x) = -x- 0<x<2 ,xcos x-sin x兀g'(x)=一廠一設(shè) u(x)= xcos x sin x 0w xw 2 ,則, 一 兀u(x)<u(0) = 0, g(x)在 0, 2 上單倜遞.一,一 兀.u (x)=xsin x<0,故 u(x)在 0, 2 上單倜遞減.減.，函數(shù)g(x)在0, 2上的最小值為g 2=2.9.已知函數(shù) f(x) = aln x+ a>0). x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在1, e上

27、的最小值為0?若存在，求出a的值；若不 存在，請說明理由.解：由題意，知函數(shù)的定義域為x|x> 0 , fz (x)=- xax 1(a> 0).1(1)由 f (x)>0,解得 x>；, a一 一、I 1所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是二，+ 8 ;a1由f (x)<0,解得0vxv) a所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0, 1 .a111所以當(dāng)x=a時，函數(shù)f(x)有極小值fa = alng+a= aaln a,無極大值.(2)不存在，理由如下：由(1)可知，當(dāng)xC 0, 1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；1當(dāng)xe1，+ °0時，函數(shù)f(x)單倜遞增.1若

28、0VW1,即a>1時，函數(shù)f(x)在1, e上為增函數(shù)， a故函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=aln 1 + 1 = 1,顯然1W0,故不滿足條件.若1<1we,即1wav1時，函數(shù)f(x)在1, 1上為減函數(shù)，在-1, e上為增函數(shù)， a eaa故函數(shù)f(x)的最小值為f(x)的極小值f： =aln3+a= a aln a= 0,即In a= 1,解得a = a ae,而】wav1,故不滿足條件. e若>e,即0val時，函數(shù)f(x)在1, e上為減函數(shù)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(e) =aealn e + 1= a+1=0,即 a=-1,而 Ovavg,故不滿足條件.

29、e eee綜上所述，不存在這樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在1, e上的最小值為0.B級1 . (2019鄭州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x) = x3 - ax2- bx + a2在x= 1時有極值10,則a, b的值為()A. a=3, b=3或a=4, b= 11B. a=4, b=3 或 a=4, b= 11C. a=- 4, b= 11D.以上都不對解析：選 C 由題意，f' (x)=3x22ax b,則-:。,即2a+b=3.f(1) = 1-a-b+a2 = 10,即 a2- a- b=9.a= 4,a= 3,聯(lián)立，解得或b= 11b= - 3.不符合題意，舍去.故選 C.經(jīng)檢驗 b=

30、- 32 . (2019唐山聯(lián)考)若函數(shù)f(x) = x2 gln x+1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(a-1, a+1)內(nèi)存在極值，則實數(shù) a的取值范圍是 .14x? 1解析：由題意，得函數(shù)f(x)的定義域為(0, +°°)f (x) = 2x-= ,令f' (x) =2x 2x11人，0,得 x=2 x= 2舍去，a- 1 >0,3則由已知得 a 1<2， 解得1Wav. 1a+1 >2,3答案：1, 2一 1O3 . (2019德州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x) = -x3+x在(a,10a2)上有最大值，則實數(shù) a的取值3范圍是.解析：由f'

31、(x)= x2+ 1,知f(x)在(一8, 1)上單調(diào)遞減，在1,1上單調(diào)遞增，在a< 1,(1, +8)上單調(diào)遞減，故函數(shù)f(x)在(a,10 a2)上存在最大值的條件為10a2>1, 其中f 1 >f a ,f(1)>f(a),即為一1+1 > -a3+ a, 33整理得 a3-3a+2>0,即 a3-1-3a+3>0,即(a 1)(a? + a + 1) 3(a 1)>0,即(a 1)(a?+a 2)>0,即(a 1(a+ 2)>0,a< 1,即 10-a2>1,解得一2wa<1.a 1 ? a+2 >0

32、,答案：2,1)4 .已知函數(shù)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f' (x)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）a, c分別是極大值點和極小值點B. b, c分別是極大值點和極小值點C. f（x）在區(qū)間（a, c）上是增函數(shù)D. f（x）在區(qū)間（b, c）上是減函數(shù)解析：選C 由極值點的定義可知,a是極小值點，無極大值點；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,函數(shù)f（x）在區(qū)間（a, + 8）上是增函數(shù)，故選 C.5 .如圖，在半徑為 1043的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD,其中A, B在直徑上，C, D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮 ABCD 卷成一個以 AD為母線的圓柱形罐子

33、的側(cè)面 （不計剪裁與拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為 V,設(shè)AD=x,則Vmax=解析：設(shè)圓柱形罐子的底面半徑為r,由題意得 AB = 2y 10V3 2- x = 24300 x2所以r=,兀所以 V= <2x=兀-300-x2 2x=1(x3+ 300x)(0 vx10V3),故 V' =-3(x2-100) =34+10)(x 10)(0 vxv10v3).令V' =0,得x= 10（負值舍去）,則V' , V隨x的變化情況如下表:x(0,10)10(10,103)V，十0一V極大值所以當(dāng)x=10時，V取得極大值，也是最大值,所以Vma-汨答案:2 000兀6 .已知函數(shù)f(x)