合成標準不確定度的計算完整版

1、合成標準不確定度的計算標準化管理處編碼BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N不確定度的各個分量如彼此獨立，則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個分量 彼此強相關，且相關系數尸+1,則合成時是代數相加，即線性合成而非方和根合成。什么叫靈敏系數當輸出量y的估計值y與輸入量工的估計值生，必，乂之間有片f(M，生，&)的函數關系時，在不確定度的傳播中，把偏導數，切/跳匚心稱為靈 敏系數，它定量地給出了輸入量乂，與輸出量y之間的相互變化關系之比值。它本身也是 個量值，有數值和量綱，往往其量綱并非1,而是有測量單位的，這種情況下不能將它按 純數對待。偏導數應該是在代入輸入量的估計值時作出

2、評定，即在時評定的。它描述了輸入估計值工的微小變化ZU，引起/的變化(A0尸如果這 個變化是由估II值X的標準不確定度($)所引起，則y相應的變化為(“/兒(幻o因此，合;可以看作各項方差之和，而每一項代表了由每個輸入估計值長相美 之估計方差產生的輸出估計值y的估計方差。也就是:2c(y) = ijc, u(x.) 2 =弋中.。尸為，山(y)二 c 4(&)以下給出幾種比較簡單而乂較常見的函數關系的靈敏系數:ct=A； cB(b)y=lAvC=-(lAv)(c)尸X1/ (乂+照)。k照/(X1+照尸e=一 %/ (xi+照)(d)產 x/(l+x)c=1/(1+aO：(e)尸Xi照Ci=X

3、29 Ci=-Yi(f)產 3c=2x(g)戶12c=l/2 (2?-)(h)y = kx%bic產血c”、以上/, & a, b,4可以是負數或分數或等于1。當用實驗方法求靈敏系數時，特別是在y與乂之間不存在簡單函數關系時，可以通過 將其余輸入量保持不變，僅變化第，個乂，設變化量為Cm,由此而導致的y的變化設為 y,則cpAy/Ax但也可通過函數關系計算出人輸入量工的不確定度(乂)只有在乘了相應的靈敏系數u之后，才是輸出量Y的不確 定度”(力的一個分量s(v)。它們也才會有相同的量綱。在線性函數關系中輸入量的相對標準不確定度小，心）是否可以也按方和根合成為輸 出量y的相對標準不確定度小】（y

4、）在輸入量X, %,，X彼此獨立的情況下，如果它們與輸出量的函數關系是線性的， 例如最簡的一種情況：六“+走若已知與Ua）,是不能按方和根值ER而計算y的相對標準不確定度乂式（力的。例如：由兩個500g的硅碼相加,組成為輸出量1000g。每個500g硅碼的標準不 確定度（*）=（生）=0. 5g,則這輸出量1000g的不確定度實際上（y）=J（0.5g）2+（0.5名）2二3。一57二0. 71g。對1000g來說，其相對標準不確定度應為i/rel（y）=0. 71g/1000gX10-3o但如果用相對不確定度來合成，4式（8）=4式（必）=0. 5g/500g=l X 10”，它們未合成前已

5、大于4el（y）。顯然是不合理的。有些情況下，例如在化學分析中，在給定濃度下的某些不確定度的分量，這些分量的相對 標準不確定度均是除以某個相同的分母，而輸出量的相對標準不確定度也是這同一個分 母，這時是可以采用方和根來合成相對標準不確定度的。必須注意，盡管相對標準不確定度人】（區(qū)）都無例外地是無量綱量，它們都用純數給出， 但是這些純數并不都是無條件地可以相對減或是進行方和根運算的。因為這些數都是量 值，而且往往是不同定義的量值。也往往在這種相互獨立的線性函數中，輸入量與%按B類方法評定時: 一開始就是給 出的相對標準不確定度4人（氏）和4式（必），例如通過測量儀器引用誤差評定的結果。那 么，由

6、于分母不同（輸出量與輸入量），也是不能采用方和根得出輸出量的相對合成標準不 確定度&rel（y）的。在這種情況下，必須先把心式（藥）與“式（在）算成標準不確定度U（xJ與 U&）后再合成為4（力；如這時要求給出kJy），即可將4（y）除以外這是當前極易被 忽略的問題之一。當輸入量工與輸出量y之間的函數關系為六f（X,X）=CM p, x解2目.wN時，是否也應按先算出靈敏系數G通過/,（/）=2CW（M）三已產1（y）合成 可以這樣合成，但不一定要如此復雜。采用這種方法需要麻煩的偏導數。更為簡單的辦法 是采用輸入量的相對標準不確定度公】(乂)j(K)/m乘以其相應的乂的指數R,即/必進行簡單的

7、平方和得到輸出量Y的相對合成方差/刃/心即如果我們要求得到s(y)而不是&z(y)，則可將得到的“e(y)乘以y即可。這是一種完 全等效的計算方法。例如通過物體質量卬與其運動速度。的測量，求該物體的動能。它們之間的函數關系式 (稱測量模型)是：瓦二(1/2)旅設輸入量卬的標準不確定度為(加=1g,而用的最佳估計為1kg,速度。的量佳估計為 100m/s,其標準不確定度u(。=0. lm/s,求輸出量瓦的標準不確定度()。這時，不必 去求偏導數得出靈敏系數，而是求輸入量的相對標準不確定度iZrei(z)=w(zff)/zzrlg/lkg=lX IO3, urei(v)=u(v)/p=(0. lm

8、/s)/(100m/s)=lX10-3, m的指數為1,。的指數為 2,則2EJ=(ix1O)+(2ixio”=5X10、故心(瓦)光義10-3而 /() = X10-3X (1/2) X lkg X (100m/s)2= X10-3X XIOkg - m7s2=llkg m7s-=llj如果B，只是正1或負1，則在這一情況下：這就是說:在這種情況下估計值y的相對合成標準不確定度，等于輸入估計值必的相對標 準不確定度的方和根。舉例如下：設以鹽酸作為標準滴定溶液，用以測量某樣品中所含氫氧化鉀的質量分數做KOH),標準 溶液的濃度 c(HCl) = (l10T)niol/L(h2),則其標準不確定

9、度 eic(HCl)=(1/2) X1X10 3=X10-滴定終點消耗50mL,按所用的B級滴定管Q=土%(，為最大允許誤差)，由于通 過兩次讀數之差得出，按正態(tài)分布考慮，取包含因子公3,得消耗體積r的相對標準不確 定度ei(F) = (l/3) 乂乂二義10% 氫氧化鉀的相對摩爾質量來自國際1995年公布的相對原子質量表，其不確定度大大小于10工可忽略不計，其值M(KOH)二，在本例計算中可 取近似為，其修約導致的不確定度即可忽略。樣品質量獷10g,按所用天平和祛碼的相對 擴展不確定度%(向=3X10、包含因子公3,得其相對標準不確定度為?。?勿)=1X1(T。 計算方程(測量模型)為：nK

10、OH)=f(F(HCl), c(HCl), MKOH), ni)= (HHC1) Xc(HCl) XMK0H)/zz7代入輸出量的估計值得：MK0H) = X10-3其相對標準不確定度Wrel /f(KOH),可按( V) , 乂虱(C),(血)按方和根得出為:嚴(KOH)二廊商可麗麗F7而M7:x io-2如要求給出小網KOH),則再乘以/(KOH)的估計值:X10-3X XlOlYXlO-s本例所討論的計算方法，提供了不需求靈敏系數對合成標準不確定度的計算。當輸入量M之間出現了兩個或兩個以上的量乂明顯相關時，是否可以不去計算協(xié)方差或 是相關系數進行合成標準不確定度的計算在JJF1059中只

11、提到協(xié)方差與相關系數的A類評定方法，將它與其他分量的方差相加 進行合成。實際工作中，特別是在計量學領域，采用A類評定是十分復雜的。我們可以按 經驗，把輸入量乂中強相關的那些分量（k）等也是由若干分量合成的，其中既有與其他 輸入量強相關的分量，也有相互獨立的分量），按強相關（尸+1）先行單獨合成作為輸出量 不確定度（力的一個分量，然后把不相關的那些分量按彼此獨立合成為u（y）的第二個分 量，最后將此兩分量按彼此獨立來進行合成（參閱本講座。例如:在JJF1059合成標準不確定度&（y）的評定中，給過一個例子，當標稱值為IkQ 的10個電阻器，用1個值為凡的標準電阻器校準，設校準過程中的不確定度遠小

12、于兄的 標準不確定度（碼而忽略不計，校準證書給出u（凡）二Q?，F將此10個電阻器用電阻可忽 10略的導線串聯(lián)構成一個10kQ的參考電阻，其兄5f（兄）二名左（線性相加）。JJF1059中給出的電阻器的相關系數為r（凡，兄）=1,并不可能是按A類評定的，因為不存在多個 標準器分別對這10個電阻器進行校準。這里的r（,兄）是按經驗得出的。通過經驗，當 兩個（或多個）輸入量使用了同一個標準器或同一臺測量儀器時，或使用了相同的參考數 據，則它們之間存在極大的正相關。10個電阻器的校準正是這種情況。在尸+1的情況 下， /卒/向2即線性相加，因而，所構成的iokQ的晶的合成標準不確定度10-=10X Q=Q但是，如果校準過程中帶來的不確定度并非可忽略不計，例如在對這10個中每個電阻器 校準過程中的標準不確定度為。，10個這樣的分量彼此獨立，大小也一樣，合成起來就 是。義而二。它應按方和根與前面相關部分合成的。合成的u（幾 j 二 JTKq+ i.cm= q o 合成標準不確定度&（y）的自由度計算中應注意什么問題合成標準不確定度的自由度稱為有效自