高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與三角變形 - 新浪

1、【同步教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 專題復(fù)習(xí)“三角函數(shù)與三角變形”二. 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)； 2. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和積互化公式等三角公式的應(yīng)用。三. 要點(diǎn)綜述： 1. 三角函數(shù)是一類重要的初等函數(shù)，因其在復(fù)數(shù)（如復(fù)數(shù)的三角形式）解析幾何（如直線的傾斜角，參數(shù)方程，極坐標(biāo)），立體幾何（如兩條異面直線成角，直線與平面的成角，二面角）中有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)三角函數(shù)與三角變形要有足夠的認(rèn)識(shí)。 2. 三角函數(shù)的周期性，以及y=sinx，y=cosx的有界性是試題經(jīng)常考查的重要內(nèi)容。要掌握形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的函數(shù)

2、的周期的求法；靈活應(yīng)用y=sinx，y=cosx的有界性研究某些類型的三角函數(shù)的最值（或值域）問(wèn)題。 3. 三角恒等式的證明因其技巧性較強(qiáng)，一度成為數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，近些年的高考試題對(duì)這類題目的考查在減少，要求有所降低，但我們應(yīng)該充分重視三角變形，因?yàn)槠渲畜w現(xiàn)了對(duì)三角公式的運(yùn)用能力，尤其體現(xiàn)了事物之間互相聯(lián)系，互相轉(zhuǎn)化的辯證思想。 4. 基于上述幾點(diǎn)理由，建議同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，做到“立足課本，落實(shí)三基；重視基礎(chǔ)，抓好常規(guī)”即復(fù)習(xí)時(shí)以中低檔題目為主，注意求值化簡(jiǎn)題以及求取值范圍的習(xí)題，另外，注意充分利用單位圓，三角函數(shù)圖象研究問(wèn)題?！镜湫屠}分析與解答】 例1. 分析： 解： 例2. 求函數(shù)的

3、最小值。 分析：若將sinx換元，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而可把三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，但要注意到：轉(zhuǎn)化后所得二次函數(shù)的定義域。 解： 注在求解三角函數(shù)的最值時(shí)，注意三角函數(shù)的有界性。 例3. 分析：一般地，要求三角函數(shù)的最小正周期，往往要用到如下結(jié)論： 式通過(guò)三角公式，變形為上述結(jié)論中的函數(shù)形式，于是： 或按如下方法化簡(jiǎn)解析式： 注一般地，如果給定的函數(shù)解析式不是形如y=Asin(x+)的形式，在求其最小正周期時(shí)，往往先將解析式變形為y=Asin(x+)的形式。 例4. 分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設(shè)sinx=t，則原方 分析二： 解法如下：

4、 例5. 分析一：觀察角，函數(shù)名稱的關(guān)系后，易聯(lián)想到萬(wàn)能公式，于是可以按照如下方式去求值。 分析二：聯(lián)想到關(guān)于sin，cos的齊次公式可以化切，于是可以按照如下方式求值。 注兩相比較，發(fā)現(xiàn)，解法二更為簡(jiǎn)捷，事實(shí)上，對(duì)于已知tg的值，而求關(guān)于sin，cos的齊次公式的值時(shí)，方法二更具有通用性。 例6. 分析：這是一道以三角形為背景材料的三角函數(shù)問(wèn)題，要注意題中的隱藏條件：的式子，從而立即求值。 解： 例7. 解法一： 解法二： 例8. 分析：對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)是： （1）次數(shù)盡可能低； （2）角盡可能少； （3）三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一； （4）項(xiàng)數(shù)盡可能少。 觀察欲化簡(jiǎn)的式子發(fā)現(xiàn)： （1）次

5、數(shù)為2（有降次的可能）； （2）涉及的角有、2、2，（需要把2化為，2化為）； （3）函數(shù)名稱為正弦、余弦（可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一）； （4）共有3項(xiàng)（需要減少），由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點(diǎn)不同，本題化簡(jiǎn)方法不止一種。 解法一： 解法二：（從“名”入手，異名化同名） 解法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次） 解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方） 注在對(duì)三角式作變形時(shí)，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要用的變形手法。 例9. 形ABCD，（如圖），求該矩形的最大面積。 分析：欲求矩形的最大面積，按照函數(shù)的思想就是求面積函數(shù)的最大值，因此需

6、要先依照題意，建立面積函數(shù)，選哪個(gè)量作自變量呢？經(jīng)嘗試發(fā)現(xiàn)：選取COB=為面積函數(shù)的自變量最優(yōu)，于是可建立一個(gè)以角為自變量的三角函數(shù)來(lái)表示矩形面積，進(jìn)而研究該函數(shù)的最值即可。 解： 【模擬試題】一. 選擇題 1. 函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（ ） A. B. C. D. 3. 函數(shù) A. 增函數(shù)B. 減函數(shù) C. 偶函數(shù)D. 奇函數(shù) 4. 函數(shù)的最小值為（ ） A. B. C. 0D. 1 5. 若點(diǎn)P在第一象限，則在，2內(nèi)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 6. 函數(shù)的部分圖象是（ ） 7. 若x的取值范圍是（ ）

7、A. B. C. D. 8. 已知是第三象限的角，若等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知是第三象限的角，且=（ ） A. B. C. D. 10. 當(dāng) A. 最大值為1，最小值為-1 B. 最大值為1，最小值為 C. 最大值為2，最小值為 D. 最大值為2，最小值為二. 填空題 11. 函數(shù)的最小正周期為_ 12. 已知_ 13. 函數(shù)的最大值為_。 14. 求值：_ 15. 角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，則ABC的形狀是_。 16. 求值：=_二. 解答題： 17. 已知的值 18. 在分別是角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)，求sinB的值。 19. 已知函數(shù)， （I）當(dāng)y取最大值

8、時(shí)，求自變量x的集合； （II）該函數(shù)的圖象可由y=sinx，的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？【試題答案】一. 選擇題 1. 選（A） 提示：由的圖象可知，若其對(duì)稱軸方程，則y取最值，故只需求出使y取最值時(shí)的即可得到對(duì)稱軸方程。顯然當(dāng)時(shí)，y取最值，。 2. 選（D） 提示：把A、B、C、D選擇支中的函數(shù)解析式變形為后，易由的只有（D） 3. 選（C） 提示： 4. 選（A） 提示： y有最小值 5. 選（B） 提示： 6. 選（D） 提示：顯然 7. 選（D） 提示： 8. 選（A） 提示： 9. 選（C） 提示：利用半角公式 10. 選（D） 提示：，而 二. 填空題 11. 最小正周期 12. 提示： 兩邊同時(shí)平方，有 求出 13. 最大值為 提示： 14. 提示：利用公式 可把 15. 是等腰三角形或直角三角形 提示：利用正弦定理，有 從而 16. 原式= 提示： 原式