高考復習 不等式的性質(zhì)

1、不等式的性質(zhì)教學重點：不等式的性質(zhì)及運用性質(zhì)判斷命題的正誤及作差法比大小 重難點剖析： 1不等式定義：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 其實質(zhì)是運用實數(shù)運算來定義兩個實數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。 可以結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個熟悉的知識背景，來認識作差法比大小的理論基礎是不等式的性質(zhì)。 作差后，為判斷差的符號，需要分解因式，以便使用實數(shù)運算的符號法則。 如證明y=x3為單增函數(shù)， 設x1, x2(-,+), x1<x2，f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)

2、=(x1-x2)(x1+)2+x22 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), f(x)為單增。 2不等式的性質(zhì)： 不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分?；拘再|(zhì)有： (1) a>bb<a (對稱性) (2) a>b, b>ca>c (傳遞性) (3) a>ba+c>b+c (cR) (4) c>0時，a>bac>bc c<0時，a>bac<bc。 運算性質(zhì)有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c

3、>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn (nN, n>1)。 (4) a>b>0>(nN, n>1)。 應注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”和“”即推出關(guān)系和等價關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應用不等式性質(zhì)。 關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察，主要有以下三類問題： (1)根據(jù)給定的條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。 (2)利用不等式的性質(zhì)及實數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實數(shù)值的大小。 (3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中

4、條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。 典型例題： 例1設x, yR，判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系。 (1)命題甲：，命題乙： (2)命題甲：，命題乙： 分析與解答： (1)當x>0且y>0時，由實數(shù)的性質(zhì)可知x+y>0, xy>0, 當xy>0時，x,y同號；又x+y>0，可知x, y同x>0且y>0。 因此，命題甲是命題乙的充分必要條件。 (2) x>2>0, y>2>0, x+y>4, xy>4, 即，反之， ，反例如下：令x=100, y=, 此時，x+y>4, xy>4, 但x&g

5、t;2，而y<2，即不成立， 命題甲是命題乙的充分條件，但不必要條件。 例2船在流水中航行，在甲地與乙地間來回行駛一次的平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？ 分析與解答：設甲地與乙地的距離為S，船在靜水中的速度為u, 水速度為v(u>v>0)，則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時間t=。平均速度， =-<0， <u。 因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度。 例3xy0, 比較與的大小。 分析與解答：xy0, >0, 而可正可負，所以，可分情況比大小。 （1）當x3+y30時，0，>0

6、, <。 （2）當x3+y3>0時，設A=()6=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6。 B=()6=(x2+y2)3=x6+3x4y2+3x2y4+y6。 A-B=-3x2y2(x-)2+y2 (x-)2+y2>0， A-B<0, A<B。 根據(jù)不等式的性質(zhì)，即 <, 綜上可知，<。 練習： （1）判斷下列各命題的正誤，并說明理由。 a>b>cab>ac。 a2>b2, ab>0。 a3>b3, ab>0。 （2）a>b，則成立的充要條件是（ ）。 A、a>b>0B、b<a<

7、0C、a>0>bD、0<b<a<1 （3）若a,b,mR+, a<b，比較與的大小。 練習答案： （1）× × （2）C （3）>在線測試窗體頂端選擇題1下列命題正確的是( ) (A)若ac>bca>b(B)若a2>b2a>b(C)若a<b(D)若a<b 窗體底端窗體頂端2已知a，b，cR，則下面推理中正確的是( ) (A)a>bam2>bm2(B)a>b (C)a3>b3，ab>0 (D)a2>b2，ab>0 窗體底端窗體頂端3已知a>b，c>

8、;d，則下列命題中正確的是( ) (A)a-c>b-d(B) (C)ac>bd(D)c-b>d-a 窗體底端窗體頂端4若x+y>0，a<0，ay>0則x-y的值為( ) (A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)符號不確定 窗體底端窗體頂端5正數(shù)a，b，c，d滿足a+d=b+c，|a-d|<|b-c|，則有( ) (A)ad=bc(B)ad<bc(C)ad>bc(D)ad與bc大小不定答案與解析 答案：1、D 2、C 3、D 4、A 5、C解析：1、解答：分析：用驗證法。 (A)中若c<0，則不成立； (B)中若a，b均小于0或a&l

9、t;0，則不成立； (C)中若a>0，b<0，則不成立； (D)中有a>0，b>0，據(jù)平方法則可得，故本題應選(D)。 2、解答：用淘汰法。 (A)中若m=0不成立；(B)中若c<0，不成立；(C)中a3-b3>0(a-b)(a2+ab+b2)>0。 a2+ab+b2>0恒成立，故a-b>0。 a>b，又ab>0，(D)中a2>b2(a+b)(a-b)>0，不能說明a>b，故本題應選(C)。 3、解答：用特殊值法。 令a=1，b=0，c=-1，d=-2，代入驗證知(D)成立。 另解用直接法， a>b-b&

10、gt;-a， 又c>d， +可得 c-b>d-a。故本題應選(D)。 4、解答：用直接法。 a<0，ay>0y<0， 又x+y>0x>0， x-y=x+(-y)>0。故本題應選(A)。 5、解答：用直接法。 由a+d=b+c，得 a2+2ad+d2=b2+2bc+c2 (a2+d2)-(b2+c2)=2bc-2ad。 由|a-d|<|b-c|得: a2-2ad+d2<b2-2bc+c2 (a2+d2)-(b2+c2)<-2bc+2ad， 將代入，得 2bc-2ad<-2bc+2ad， ad>bc，故本題應選(C)。

11、求商比大小 原型：若b>0，則。 分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)定理4，很容易證明。 證明：若b>0, 則，故由a>b，得 ，即。 反之由，得，即a>b， 類似地，由a<b，可得，即， 反之由，得 ， 即a<b。評注：不等式的這個性質(zhì)非常有用，根據(jù)此性質(zhì)，我們可作不等式左右兩邊的商，看這個商值是否大于1來對不等式左右兩邊的數(shù)進行比較，這種方法也稱為作商比較法，簡稱比商法。應用比商法時，最好保持分子、分母同為正值。 應用1：當a>0, b>0且ab時，比較aabb與abba的大小。 分析：因為a>0,b>0, 故aabb>0, abba&

12、gt;0，嘗試作商比較這兩個正數(shù)的大小關(guān)系。 證明：因為a>0, b>0，且ab。(1)當a>b>0時，有，從而得， 又abba>0，故 aabb>abba； （2）當0<a<b時，有，從而得， 又abba>0，故 aabb>abba；綜合(1),(2)，可得：aabb>abba。應用2：已知a,b,c是互不相等的正數(shù)，求證： (1)(2) 分析：注意到待證不等式（1）是三個同向不等式aabb>abba, bbcc>bccb和ccaa>caac的乘積，根據(jù)應用1的結(jié)論，問題即可得證。而待證不等式(2)與待證不等

13、式(1)是等價的，只不過表達形式不同。因為，故這里只給出不等式（1）的證明。 證明：因為a,b,c是互不相等的正數(shù)，根據(jù)變式一的結(jié)論，可得 aabb>abba>0 bbcc>bccb>0 ccaa>caac>0 故 (aabb)(bbcc)(ccaa)>(abba)(bccb)(caac) 即 a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。應用3：設0<a<b, a+b=1，則在下列各不等式中，正確的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 分析1：在含參數(shù)的不等式選項中，我們可以舉出一個反例來否定不正確的不等式命題。通常的方法就是對參數(shù)取某些符合條件的特殊值，代入不等式中進行推算，若不等式不成立，則可排除。直到選出正確答案為止。 證法1：取滿足條件0<a<b, a+b=1的一組參數(shù)值： ，則有 于是，由，可否定A；