著名不等式薈萃

1、著名不等式薈萃在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩。下面擇要介紹一些著名的不等式。一、平均不等式（均值不等式）設(shè)a1，a2，an是 n個實數(shù)，A叫做這n個實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。當這 n個實數(shù)非負時，G叫做這 n個非負數(shù)的幾何平均數(shù)。當這 n個實數(shù)均為正數(shù)時，H叫做這 n個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)。設(shè)a1，a2，an為 n個正數(shù)時，對如下的平均不等式：HGA當且僅當 a1a2an時等號成立。平均不等式AG是一個重要的不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，如求某些函數(shù)的最大值和最小值即是其應(yīng)用之一。設(shè)x1，x2，xn是 n個正的變數(shù)，則(1)當積 x1x2xnP是定值

2、時，和x1x2xn有最小值，且(x1x2xn)minnn(2)當和 x1x2xnS是定值時，積 x1x2xn有最大值，且(x1x2xn)max()n()n兩者都是當且僅當 n個變數(shù)彼此相等時，即 x1x2xn時，才能取得最大值或最小值。在 AG中，當n2，3時，分別有，平均不等式 AG經(jīng)常用到的幾個特例是： (a1a2an) ()n2當且僅當a1a2an時等號成立；a12，當且僅當a11時等號成立。二、柯西不等式（柯西許瓦茲不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）對任意兩組實數(shù)a1，a2，an；b1，b2，bn，有(a1b1a2b2anbn)(a12a22an2) (b12b22bn2)其中等號當且

3、僅當時成立?？挛鞑坏仁降膸讉€特例(以下a1，a2，an；b1，b2，bn均為實數(shù))是：(1) a12a22an21，b12b22bn21，則a1b1a2b2anbn1(2) a1a2a2a3a3a1a12a22a32(3) (a1a2an)2n(a12a22an2)柯西不等式是又一個重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣。三、閔可夫斯基不等式設(shè) a1，a2，an；b1，b2，bn是兩組正數(shù)，k0，k1，則(1) k1時，(2) 0k1時，當且僅當 時等號成立。閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當k2，n2時得平面上的三角形不等式：右圖給出了對上式的一個直觀理解。若記(a1，a2)，(b1

4、，b2)，則上式為|四、貝努利不等式(1)設(shè)xi1，i1，2，n，n 2且同號，則(1x1)(1x2)(1xn)1x1x2xn不等式(1)的一個重要特例是：(1x)n1nx，x1，x0，nN，n2(2)設(shè)x1，則(i) 當01時，有(1x)1x；(ii) 當1或0時，有 (1x)1x。上兩式當且僅當x0時等號成立。五、赫爾德不等式已知aibi(1in)是2n個正實數(shù)，p0，q0，pq1，則a1pb1qa2pb2qanpbnq(a1a2an) p(b1b2bn)q上式中若令pq，xi2ai，yi2bi，即為柯西不等式。六、契比雪夫不等式(1)若 a1a2an；b1b2bn，則(a1b1a2b2a

5、nbn)；(2)若 a1a2an；b1b2bn，則(a1b1a2b2anbn)；下面給出一個n2時的契比雪夫不等式的直觀理解。如圖，矩形OPAQ中， a1a2， b1b2，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小于空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段MN向上翻折比較即知）。于是有(a1a2) (b1b2)2(a1b1a2b2)，也即(a1b1a2b2)七、排序不等式設(shè)有兩組數(shù)a1，a2，an；b1，b2，bn滿足a1a2an；b1b2bn，則有a1bna2bn1anb1a1bk1a2b k2anbkna1b1a2b2anbn，式中的 k1， k2，kn是1，2，n的任意一個排列，式中的等號當且僅

6、當 a1a2an或 b1b2bn時成立。以上排序不等式也可簡記為：反序和亂序和同序和。這個不等式在不等式證明中占有重要地位，它使不少困難問題迎刃而解。八、含有絕對值的不等式a，b為復(fù)數(shù)，則|a|b|ab|a|b|左邊的等號僅當 a，b的幅角差為時成立，右邊的等號僅當 a，b的幅角相等時成立，這個不等式也稱為三角形不等式，其一般形式是|a1a2an|a1| a2|an|絕對值不等式在實數(shù)的條件下用得較多。九、琴生不等式設(shè)f(x)是(a，b)內(nèi)的凸函數(shù)，則對于(a，b)內(nèi)任意的幾個實數(shù)x1，x2，xn有f()f(x1)f(x2)f(xn)等號當且僅當x1x2xn時取得。琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生于1905年到1906年間建立的。利用琴生不等式我們可以得到一系列不等式，比如“冪平均不等式”，“加權(quán)的琴生不等式”等等。十、艾爾多斯莫迪爾不等式設(shè)P為ABC內(nèi)部或邊界上一點，P到三邊距離分別為PD，PE，PF，則PAPBPC2(PDPEPF)當且僅當 ABC為正三角形，且P為三