三次函數(shù)的切線

1、高考中三次函數(shù)圖象的切線問(wèn)題一、已知斜率為與三次函數(shù)圖象相切的切線三次函數(shù)1、,斜率時(shí)，有且只有一條切線；時(shí)，有兩條不同的切線；時(shí)，沒(méi)有切線；2、,斜率時(shí)，有且只有一條切線；時(shí)，有兩條不同的切線；時(shí)，沒(méi)有切線；證明 1、 當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，所以斜率為的切線有且只有一條；其方程為： 當(dāng)時(shí)，方程，有兩個(gè)不同的解，且=-，即存在兩個(gè)不同的切點(diǎn)，且兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于三次函數(shù)圖象對(duì)稱中心對(duì)稱。所以斜率為的切線有兩條。當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，所以斜率為的切線不存在。2、時(shí)，讀者自己證明。二、過(guò)三次函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P一定有直線與的圖象相切。若點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象的對(duì)

2、稱中心，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線。證明 設(shè) 過(guò)點(diǎn)P的切線可以分為兩類。1 P為切點(diǎn) 切線方程為：2 P不是切點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)Q（） 又 （1） 即 代入（1）式得 討論：當(dāng)時(shí)， ，也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，兩切線重合，所以過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線。 當(dāng)時(shí)，所以過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線。其切線方程為： 由上可得下面結(jié)論：過(guò)三次函數(shù)上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)，過(guò)作圖象的切線切于，如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列-，則，且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)趨近三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心。證明 設(shè)過(guò)與圖象切于點(diǎn)的切線為， 又 = 即 設(shè) 則 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 即 。 三、過(guò)三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)的切線 設(shè)點(diǎn)為三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)， 則過(guò)點(diǎn)一定有直線與圖象相切。（1） 若則過(guò)點(diǎn)恰有一條切線；（2） 若且，則過(guò)點(diǎn)恰有一條切線；（3） 若且=0，則過(guò)點(diǎn)有兩條不同的切線；（4）若且，則過(guò)點(diǎn)有三條不同的切線。其中證明 設(shè)過(guò)點(diǎn)作直線與圖象相切于點(diǎn)則切線方程為 把點(diǎn)代入得：，設(shè) 令則因?yàn)榍∮幸粋€(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在上為單調(diào)函數(shù)或兩極值同號(hào)，所以或且時(shí)，過(guò)點(diǎn)恰有一條切線。有兩個(gè)不同實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以且=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)有兩條不同的切線。有三個(gè)不同實(shí)根的充要條件是曲線與