三棱錐的幾個(gè)重要性質(zhì),!

1、直角三棱錐的幾個(gè)性質(zhì)有一類特殊的三棱錐，它的經(jīng)過同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，我們不妨把這種三棱錐稱作直角三棱錐，從結(jié)構(gòu)上看，它是平面的直角三角形在空間的擴(kuò)展。循著直角三角形的一些重要性質(zhì)對(duì)直角三棱錐進(jìn)行探究，我們能得到直角三棱錐的有趣的相應(yīng)性質(zhì)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的直角三角形的性質(zhì)有：性質(zhì)1：Rt的垂心就是直角頂點(diǎn)。性質(zhì)2：Rt的兩個(gè)銳角互余。性質(zhì)3：Rt兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。性質(zhì)4：Rt中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影比例中項(xiàng)；每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；由此，Rt兩條直角邊的平方比等于它們?cè)谛边吷系纳溆氨?。性質(zhì)5：Rt兩直角邊的乘積，等于斜邊與斜邊上高的乘積。

2、性質(zhì)6：Rt斜邊上的中線等于斜邊的一半。(所以Rt的外接圓半徑Rc)。性質(zhì)7：Rt的內(nèi)切圓半徑r(abc)?，F(xiàn)在我們來探究一下直角三棱錐的性質(zhì)。如圖所示，在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，設(shè)PAa，PBb，PCc。PA、PB、PC兩兩垂直，PA面PBC，PB面PCA，PC面PAB，面PAB、面PBC、面PCA兩兩垂直。作PH面ABC于H，連CH并延長(zhǎng)并交AB于D，連PD，則PHAB，PHCD，面PCD面ABC；而PC面PABPCAB，所以AB面PCD，ABPD，ABCH。同理，AHBC，BHCA。由AB面PCD知CDAB，而PDAB且APB90°，ABC、CAB

3、為銳角。同理，BCA也是銳角，從而有：性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。由ABCH，AHBC，BHCA易知，H是ABC的垂心，由此可得：性質(zhì)2：直角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。在RtPAB中，PD·ABPA·PBPD；在RtPCD中，CDPDPC()c；在RtPCD中，PHCD，PD·PCCD·PHPH，。因此有：性質(zhì)2：直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h滿足關(guān)系式。因PH面ABC，側(cè)棱PC與底面ABC所成角為PCH，則有sinPCHsin。同理,側(cè)棱PB與底面ABC所成角為PBH,sinPBHsin，側(cè)棱PA與底面ABC所成角為PAH，s

4、inPBHsin，所以sinsinsin1。因此，性質(zhì)3：直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的正弦值的平方和等于1。三條側(cè)棱與底面所成角，和三個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。由ABPD,ABCD，側(cè)面PAB與底面ABC所成角為PDC,由PCPD知90°,sinsin(90°)cos。類似推理，由sinsinsin1。易得：sinsinsin1。另外，tan(P-AB-C)tanPDCc，同理，tan(P-BC-A)a ，tan(P-CA-B)b。所以，性質(zhì)3：直角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)c，tan(P-BC-A)a ，t

5、an(P-CA-B)b。如圖，Q為底面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，作點(diǎn)Q到面PAB的距離為RQd，到面PBC的距離為RTd，到面PCA的距離為RSd，容易得到：PQRQRPRQRTRSddd性質(zhì)4：底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方和。QP與棱PA所成角的余弦值cos，QP與棱PB所成角的余弦值cos，QP與棱PA所成角的余弦值cos，在PQRQRTRS兩邊同時(shí)除以PQ，得coscoscos1；性質(zhì)4：直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三條棱分別構(gòu)成三個(gè)角，其余弦值的平方和為1。QP與面PAB所成角的余弦值cos，QP與面PBC所成角的余弦值cos，QP與面PCA所成角的余弦值c

6、os，由PQRQRTRS得2×PQRSRTRSRQRTRQ,兩邊同時(shí)除以PQ，得coscoscos2，1sin1sin1sin2，得sinsinsin1。性質(zhì)4：直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三個(gè)側(cè)面分別構(gòu)成三個(gè)角，其正弦值的平方和為1。底面三角形的面積SAB·CD·，這也可以當(dāng)成直角三棱錐的一個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)5：直角三棱錐底面三角形的面積S。在RtPCD中，PDHD·CD，兩邊同乘以AB得AB·PDAB·HD·CD，即SS·S；同理，SS·S；SS·S。性質(zhì)5：直角三棱錐側(cè)面面積是其在底面

7、的射影面積與底面面積的比例中項(xiàng)。把SS·S；SS·S；SS·S；這三個(gè)式子相加，得SSSS。性質(zhì)5：直角三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，等于底面面積的平方。直角三棱錐P-ABC中，在點(diǎn)A處，cosPAB·cosPAC·，cosBACcosPAB·cosPAC；即cosBACcosPAB·cosPAC；同理，點(diǎn)B處，cosABCcosPBA·cosPBC；點(diǎn)C處，cosACBcosPCB·cosPCA。所以性質(zhì)6：直角三棱錐底面端點(diǎn)處，側(cè)棱與底面兩邊所成角的余弦積，等于底面角的余弦值。將直角三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則

8、直角三棱錐的外接球也是長(zhǎng)方體的外接球，其球心是長(zhǎng)方體的中心，半徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線的一半。因此有性質(zhì)7：直角三棱錐外接球的半徑R。設(shè)直角三棱錐內(nèi)切球半徑為r，球心為，連OA,OB,OC，則把直角三棱錐分成四個(gè)小三棱錐，VVVVV，S，×ab×c×ab×r×bc×r×ca×r×××r ，r。所以，性質(zhì)7：直角三棱錐內(nèi)切球的半徑r。現(xiàn)在將以上所探究到的直角三棱錐性質(zhì)小結(jié)如下：性質(zhì)1：直角三棱錐的底面是銳角三角形。性質(zhì)2：直角三棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的垂心。直角三棱錐頂點(diǎn)到底面的距離為h滿足關(guān)系式。性質(zhì)3：直角三棱錐三條側(cè)棱與底面所成角的正弦值的平方和等于1。三條側(cè)棱與底面所成角，和三個(gè)側(cè)面與底面所成角互為余角。直角三棱錐三個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)c，tan(P-BC-A)a ，tan(P-CA-B)b。性質(zhì)4：底面內(nèi)任一點(diǎn)到頂點(diǎn)距離的平方，等于它到三個(gè)側(cè)面距離的平方和。直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三條棱分別構(gòu)成三個(gè)角，其余弦值的平方和為1。直角三棱錐底面內(nèi)任一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，和三個(gè)側(cè)面分別構(gòu)成三個(gè)角，其正弦值的平方和為1。性質(zhì)5：直角三棱錐底面三角形的面