換元積分法(第一類換元法)

1、§4.2換元積分法I 授課題目§4.2換元積分法(第一類換元法)n 教學(xué)目的與要求：理解第一類換元法的基本思想，它實(shí)際上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆過程，其關(guān)鍵是湊微分d (x) (x)dx掌握幾種典型的湊微分的方法，熟練應(yīng)用第一類換元積分法求有關(guān)不定積分m 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：第一換元法的思想，難點(diǎn)：熟練應(yīng)用第一換元法計(jì)算有關(guān)函數(shù)的不定積分W 講授內(nèi)容：、第一類換元積分法設(shè)f (u)具有原函數(shù)F(u),f(u)du F(u) C.若u是中間變量，u(x),(x)可微，則根據(jù)10 / 103復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有f (x) (x)。dF( (x) dF du 一、duf (u)d

2、x du dx dx所以根據(jù)不定積分的定義可得：f (x) (x)dx F (x) Cd=x)Fu C f(u)du以上是一個(gè)連等式可以改變順序從新寫一遍，就有f (x) (x)dxu(x) f (u)du F u C F (x) C .以上就是第一換元積分法。從以上可以看出，雖然 f (x) (x)dx是一個(gè)整體記號(hào)，但是被積表達(dá)式中的 dx可當(dāng)作變量x的微分來對(duì)待從而上式中的(x)dx可以看成是 (x)的微分，通過換元u (x),應(yīng)用到被積表達(dá)式中就得到 (x)dx du .定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u), u(x)可導(dǎo)，du(x)dx ,則f (x) (x)dx f (u)du F

3、(u)如何應(yīng)用公式(1),在求不定積分積分g(x)dx時(shí)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的積的形式f (x) (x)的形式g(x)dx f (x) (x)dx (x) u f (u)duC F (x) C如果被積函數(shù) g(x)可以化為一個(gè)復(fù)合函數(shù)與它那么F(u) Cu(x)F (x) C.所以第一換元積分法體現(xiàn)了湊”的思想.把被積函數(shù)湊出一個(gè)復(fù)合函數(shù)與其內(nèi)函數(shù)的積f (x) (x)來.例 1 求 3e3xdx解3e3xdxe3x3dx= e3x( 3x) dx ,可設(shè)中間變量 u 3x ,du d (3x) 3dx 3dx du,所以有e3xdxe3x3dxeudu eu C e3x C .首先觀察被積函數(shù)的復(fù)

4、合函數(shù)是什么樣的，然后看是否有它的內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若沒有就去湊。例 2 cos2xdx11cos2xdx 一 cos2x 2dx=-222x ,顯然 du 2dx,cos2 x (2 x) dx則 cos2xdx1八八，1一 cos2x 2dx 一22,1 .八1 . c八cosudu sin u C sin2x C.22在比較熟練后，我們可以將設(shè)中間變量u (x)的過程省略，從而使運(yùn)算更加簡潔。5例 3 (3x 2) dx解 如將(3x 2)5展開是很費(fèi)力的，不如把3x 2作為中間變量,d(3x 2) 3dx,5151516(3x 2) dx= (3x 2) 3dx= (3x 2) d(3x

5、2)(3x 2) C .3318例 41 dx3 2x111111dx=2dx=d(3 2x) - In |3 2x| C .3 2x 2 3 2x 2 3 2x22例 52xex dx2xex dxex (x2) dxex dx2 ex C例 6 求 xvix2 dxx、，1 x2dx-(2x) ,1 x2dx 22 K x2)dx1 1 x2d(1 x2)22 Judu22u13二、掌握幾種典型的湊微分”的方法10 / 1011xn 1dx 1d (xn b)nexdx d(ex)；，1 一 ，、dx -d(ax b)；acosxdx d(sinx)；1dx d(ln x)； xx 1 x

6、a dx d(a )；ln asin xdx d (cosx)2sec xdx d (tan x)2csc xdx d (cot x)；secxtanxdx d(secx)；dxd (arcsin x),- 1 x2dxd(arctanx)。1 x2三、利用第一換元積分法法計(jì)算有關(guān)函數(shù)的不定積分 計(jì)算有關(guān)函數(shù)的不定積分時(shí)，需要先把被積函數(shù)變形轉(zhuǎn)化，再利用第一換元積分法計(jì)算dx1-.一 cos2xdx2求 sin2 xdx,2,1八、，1sin xdx (1 cos2x)dx 一22(cos2x)2dxx 1 . sin 2x2 4（此題利用三角函數(shù)中的降騫擴(kuò)角公式）(a 0)dx, a2d(-

7、)11dx afFxarcsin 一 C .a利用d(xn)nxn1dx ,有如下例題.1 sindx例9求 一2xx1解d(-)x.1sin 2xdxx1 (sin-)( x1 2)dxx，. 1.1 .(sin-)(-) dxx x11sin 一 d(-)x x1cos Cx例 10 求 ex cosexdx解excosexdx= cosexd(ex) sin ex C.利用 d(ex) exdx, d(ax)ax In adx11求一 xedx習(xí)題4-2:2(30)dx1213dxx 2(e )dxdexx 2(e )- arctanex C. 1dx6x4x此題利用6xx 9xdx 9

8、xdxdx21(2)xd(ax)卜面幾個(gè)例題利用dx 例14求一dx xln6x4x9x4xdxdx3 x d(3) ax ln adxd(ln x)1dx xd(ex 1)3 x(2)x-2-dx(|廣ln3 ln2x ln(ex 1) C.3x - arctan$)C.科 dx解 xln xjx ln x xln xd(ln x) ln ln x C .又如習(xí)題4-2:2(16)dxx ln x ln ln x4 / 10dx _ x In x In In x111,-dxIn In x In x x11d In xIn In x In xd In In x ln|lnlnx| C.In

9、In x一 ,14 ,例 15 求一(2ln x 5) dx x1414 2斛 一(2ln x 5) dx (2ln x 5) dx x2x1415(2ln x 5) d(2ln x 5) (2ln x 5) C .210第一次課可以講到這里.被積函數(shù)是分母是二次函數(shù)，分子是常數(shù)或一次函數(shù)的有理分式函數(shù)的不定積分的求法 (例16例22六個(gè)例題)dx例16求 一r(a 0)分子是常數(shù)，分母是二次二項(xiàng)式，沒有一次項(xiàng)a x6 / 10dx-2a1-dx 117dx 9x2 12xdx- 2_-9x 12x 4 3(-)2aa 1 (-)2 alzxx 1, x 八d(一) -arctan C.被積函

10、數(shù)分母是一個(gè)完全平方式1 2 3dx (3x 2)被積函數(shù)分母是一個(gè)完全平方式，被積函數(shù)化為例18dx4x2 4x 17dx4x2 4x 171-2d(3x 2) (3x 2)12 dx= 1(ax b) aC . 3(3x 2)1 一 ，、2 d(ax b) (ax b)分子是常數(shù)，分母是二次三項(xiàng)式，不是完全平方式dx16 (2x 1)2161 2x 11+ zxd () - arc tan(一1 (2x 1)2482'4 "q1 1 dx 1 (1)24 C被積函數(shù)分母是二次三項(xiàng)式且不可以分解因式，不是完全平方式時(shí)可以把分母配方化為21_(ax b) c的形式，然后利用

11、2dx arctan x C1 x練習(xí)：求 x1一 dx (第一換兀積分法分)2x 52斛 x 2x 5(x 1)2 4,dx2 Z(x2 2x 5)(x 1)2 4dx=141dx x_J)2 12例1911 (x_J)22+ dx求 -x xd21 1 一二一arctan 21x 1212分子是常數(shù),分母是二次三項(xiàng)式且可以分解因式(x 3)(x 4) 1(x 4 x 3dxx 121d(x 4) 一71(7x41 d(xx 31 )dx x 313)-ln7|x1.1dx 一x 4714 | ln | x7-dxx 31x 43| C -ln|-4 | C.7x 310 / 1019被積函

12、數(shù)分母是二次三項(xiàng)式且可以分解因式，被積函數(shù)可以用裂項(xiàng)法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡單分式的差(x a)(x b)a b(x a)1(x b)1例20求一1dx x分子是次多項(xiàng)式，分母是二次多項(xiàng)式解 d (x2 1) 2xdxx .7 dx1 x2二xdx1 x212bld(x1)12-ln(x2 1) C.例21求解：d（x22x2xxx2 2xdx 1010)dx10(2x 2)dx,2x 2 22x10dx2x122x 102x2x 2 22xdx 102x 1012dxx2 2x 10d(x2 2x 10)dxx2 2x10x2 2x 102ln(2x10)(x 1)2 9dx-ln(x2 2x 10)

13、1(滬312- dx -ln(x 2x 10)121一 arctan3被積函數(shù)分子是一次多項(xiàng)式,分母是二次多項(xiàng)式時(shí)，首先把分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)卜面幾個(gè)例題利用三角函數(shù)的微分公式:d(sin x) cosxdx ； d(cosx) sin xdx ； d(tan x)2sec xdx ； d (cotx)2.csc xdx例22求 tan xdx（化切為弦）sinx tan xdx= dx=cosxsinx ,dxcosx1 一 、d(cosx)cosxlncos例23求 tan3 xdx,3.tan xdx2tan x(sec x2.1)dx tan xsec xdxsin x dxcosxta

14、n xd(tan x)1d (cosx)cosx12一 tan x ln cosx2例 24 求 cscxdx,1.cscxdx- dx=sin x1dxxx2sin cos-2212 x cos 一 2dx x sin 一22x cos-22xsec - v-rd -tan_22乙,x tan- 2d tanx2x ln|tan2|C.因?yàn)閤 tan2.x sin一2x cos_22 x2sin _2-xx2sin _cos_222 x 2sin2_2sin xcosx cscx cotx. sin x所以cscxdx ln| tan -12In | cscxcot x | C .此題用三角

15、萬能公式代換也可以cscxdx= dxt tan 2sin xt22m dt2t 1 t21-x-dt ln|t| C In |tan-12C.例 25 求 secxdx1,斛1 secxdx dxcosx1 dx sin(x -2)sec(x -2)d(x 2)In | csc(x -2) cot(x T) |C ln |secxtanx| C .secxdx In |secx tanx |例26求cos3x cos2xdx （利用三角函數(shù)積化和差公式）sinsin2 sincos22sinsin2 cossin22 ;coscos2 coscos-22coscos2 sinsin22解 根

16、據(jù)三角函數(shù)的積化和差公式：cos3x和差化積公式1cos2x - (cos5 x cosx)積化和差sincos1,. , 一sin( 2)sin()cossin1,. , 一sin( 2)sin()coscos1 r , 一cos( 2)cos()sinsin1.，一 cos( 2)cos()cos3x cos2xdx cos5x cosxdx21,1,1 ,1 . 八 cos5xd5x cosxdx sin 5x -sin x C.102102湊微分”思想,由以上例題可以看出，第一換元積分法是一種非常靈活的計(jì)算方法，始終貫穿著 因此學(xué)生應(yīng)熟悉這些基本例題。V 歸納總結(jié)f (x) (x)dx

17、u1 .第一換元法是把被積函數(shù)g(x)湊成f (x) (x)的形式然后應(yīng)用公式里f (u)du F u C F (x) C ;2 .要熟練掌握幾種典型的 湊微分”的方法。1ndx -d(ax b) ； x a1dx1nxx .-d(xb) ； e dx d(e );n1 dx d(lnxx)；axdx1 x而d(a);d(cot x)；22,cosxdx d (sin x) ； sin xdx d(cosx) ； sec xdx d (tan x) ； csc xdx, 一 、 dxsecx tan xdx d (secx) ； J1 x2d (arcsin x);dx1 x2d (arctan x).3 .熟練掌握幾種典型用第一換元積分法計(jì)算的不定積分ex f2ax bxdxx ln x