+二維隨機(jī)變量及其分布

1、2009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章二維隨機(jī)變量及其分布2008年考試內(nèi)容多維隨機(jī)變量及其分布二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性常用二維隨機(jī)變量的分布兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布2008年考試要求1. 理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分 布、邊緣分布和條件分布，理解二維離散型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會(huì)求與二維隨 機(jī)變量相關(guān)事件的概率。2. 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條

2、件。23. 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布N （ 1, 2； 1,）的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。4. 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布。本章構(gòu)架|本章的核心內(nèi)容是 離散三分布（聯(lián)合、邊緣和條件）；連續(xù)三密度（聯(lián)合、邊緣和 條件）；均勻與正態(tài)。介紹了作者原創(chuàng)的三個(gè)秘技（直角分割法、平移法和旋轉(zhuǎn)法） 求分布問(wèn)題。本章是教育部關(guān)于概率論大題命題的重點(diǎn)。一、二維隨機(jī)變量（向量）的分布函數(shù)1.1二維隨機(jī)變量（向量）的分布函數(shù)的一般定義X, Y是二維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)X和y，稱F（x, y） PX x, Y y P X x Y y P AB為X, Y的分

3、布函數(shù)，又稱 聯(lián)合分布函數(shù)。 F x, y具有一維隨機(jī)變量分布類似的性質(zhì)。 0 F x, y 1 ; F x, y對(duì)x和y都是單調(diào)非減的，如 x2 F xn y F x2, y ; F x, y對(duì)x和y都是右連續(xù)； F ,Jim F x, y 1, F ,F x,F , y 0,x5592009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)576 F x, y幾何意義：表示F x, y在x, y的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn) X, Y在X x左側(cè)和Y方的無(wú)窮矩形內(nèi)的概率。對(duì)有限矩形域有：P xiXX2,yi丫討2F(X2,y2)F(xi,y2)F(X2,yjF(xyj1.2二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律設(shè)

4、X, Y的一切可能取值為x, yj;i, j 1,2,，且X, Y取各對(duì)可能值的概率為P X 冷丫yjPj，則 F(x, y)P X x, Y yP稱為聯(lián)合分布律。x x yj y設(shè)事件AXXi,Bj丫yj，根據(jù)全概率公式有P XxipAnP Bjj 1P An|BjP ABjj 1nPjP.j 1P YyjpBjnP Ai 1P Bjn|AiP ABji 1nPjPji 1所以我們定義:Fx(x)PjP.及Fx(x)RjPj分別稱為X，丫的邊緣分布律j 1i 1評(píng)注已知聯(lián)合分布，可求出全部邊緣分布，反之不然。如已知22fX x N 1, 1f x, y N i,2； i ,2；2fY y N

5、2, 2反之則卻確定不了，還必須另給條件?！纠?】根據(jù)下表求P X 1, Y 3及P X 1和P Y 1。X12310.10.302000.230.10.10400.20解:P X 1, Y 3P X 2,Y3P X 2,Y4 P X 3,Y3 P X 3,Y40.1 0.20 00.3P X 1 P X 1, Y 1,2,3,40.1 0 0.1 0 0.2(邊緣分布)；(邊緣分布)P Y 1 P X 1,2,3, Y 10.1 0.3 0 0.41.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度1.3.1聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度連續(xù)型聯(lián)合分布函數(shù)：x yF(x,y) P X x,Y yf(u,v)d

6、udvf(u,v)dudv直角分割區(qū)域正概率區(qū)間D區(qū)域D按照陳氏直角分割法 確定且有聯(lián)合概率密度：2匸fF x,yf x,yx y1.3.2邊緣分布的概率密度Fx x F x,xf x, y dy dxfx xdFx xf x, y dydxydFY yFx x F, yf x, y dx dyfY yf x, y dxdy評(píng) 注|二維連續(xù)型 X, Y的兩個(gè)分量X, Y還是連續(xù)型，但兩個(gè)分量都是連續(xù)型的隨機(jī)變量的 二維隨機(jī)變量卻不一定是連續(xù)型，即可能成為既非連續(xù)型，又非離散型?！纠?】已知二維隨機(jī)變量X,Y N2j12, 2，求邊緣分布概率密度解:f X, y1 (x 1)2 22 1 212

7、2x 1 y 2 y 2 21 2 2fx xx, y dy2e由于1 22x 11e"2 1 2dX 12121 "21dyx 11 TTx e2 1t2e 7dtX 1 2/r 21 N同理 fY yeV222y 22 22 2 N2, I，可見(jiàn)二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然是正態(tài)分布。1.3.3三分三密決定隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性二元分布有聯(lián)合、邊緣和條件形式共三種分分布函數(shù)和三種密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱：三分三密。一般型：任意X1丄，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)F X1,L ,Xn滿足F Xp X2L,XnFx1X1Fx2X2LFxnXn時(shí)，稱X1，L,Xn 相互獨(dú)立。注意，可以證明，這個(gè)

8、定義與前面的用事件的概率來(lái)定義事件之間的獨(dú)立性是完全等價(jià)的二維離散型：X, Y相互獨(dú)立的充要條件是 Pij Pi二維連續(xù)型：X, Y相互獨(dú)立的充要條件是 f x, yfX x fY y如果f x,y在規(guī)則區(qū)域，如矩形區(qū)間等，具有分離變量形式，即f x, y g x h yx a,b , y c, d ，則 X, Y 一定相互獨(dú)立。如f x, y 8xy 0 x 1, 0 y 1中X, Y就一定不獨(dú)立。注意g x , h y 不是邊緣分布。如f x, y 8xy 0 x y, 0 y 1，存在不規(guī)則區(qū)間，故 X, Y不獨(dú)立。如果上述兩個(gè)條件一個(gè)都不滿足，則一般不獨(dú)立。二維正態(tài)型和隨機(jī)變量只取二值

9、型：X, Y相互獨(dú)立的充要條件是相關(guān)系數(shù)0，即X, Y不相關(guān)。 如果Xi N i,'，且Xi相互獨(dú)立，則n n n 2ZKXiNKi,ki ii 1i 1i 1設(shè)隨機(jī)向量 X1,L ,Xm 和 Y,L ,Yn 及 X1,L ,Xm； ¥,L ,Yn 滿足FX1,L,Xm；y1丄，F(xiàn)1X1,L,XmF?y1,L, yn則稱X1,L ,Xm與Y,L ,Yn相互獨(dú)立；此時(shí)，Xi與Yi必相互獨(dú)立；并且，任意函數(shù)分布g X1,L ,Xm與h Y,L ,Yn也相互獨(dú)立，如隨機(jī)變量Xi,X2相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量的函數(shù)f Xi與g X2必相互獨(dú)立，但f Xi,X2 與g X1, X2卻不一定

10、獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, L , Xn相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合分布函數(shù)為 FXi xi ，貝UMMax Xi, X2, L , Xn Fmhx zPM z Fxiz Fx2 zLFxnzNMin Xi, X2, L , XnFMin zP Nz 11Fx z1Fx?zL Fx.zFx1 z Fx2 z L Fxn z F xnn 1M Max X1, X2, L , Xn FMax z P M z F z fMax x nf x F znn 1N Min X1, X2, L , XnFm z P N z 11 F z fMin xnf x 1 F z X, Y相互獨(dú)立，如X, Y的聯(lián)合密度函

11、數(shù)為f x, y ，則Z aX bYfZ zfX x fY ax dxfX by fY y dyba形象記憶掌握法：這個(gè)公式特別有規(guī)律，在形式上，只要從 z ax by中解出y 三空代換 bfY y中的y，或者從 z ax by中解出x三旦代換fx x中的x即可。 a 4類可加性分布（其余分布不可加） X, Y 相互獨(dú)立，X B m, p , Y B n, p，貝UZ X YBm n, p X, Y 相互獨(dú)立，X P , , Y P 2 ， 貝UZ X Y P 12但泊松分布不存在線性性，即丫 aX b不再是泊松分布。 X, Y 相互獨(dú)立，X N 1,12 , Y N 2,；，則Z X YN如

12、果X, Y不獨(dú)立，則Z X Y N2, X, Y 相互獨(dú)立，X 2 n1 , Y 2 n2，則Z X Y 2 n,n2 '模球模型1 如口第i 屮幺球在有若干個(gè)紅球和黑球的箱中逐次隨機(jī)取一球，令Xj，丄“ 紅丄 i 1,2，則'0,如第i取出黑球不管放回與否，Xi和X2同分布，但放回抽樣時(shí)Xi和X2獨(dú)立，不放回抽樣時(shí)Xi和X2不獨(dú)立1.4 .離散型與連續(xù)型分布函數(shù)的關(guān)系P N X X2，yi Y y2f x, y dxdy證明:P xiXX2, yi丫y2F(X2,y2) F(xi,y2) F(X2,yJ F(xi,yjP X X',Y yj P x X x dx, y

13、 Y y dyF(x dx,y dy) F(x dx, y) F(x, y dy) F(x, y)Fy(x dx, y)dy Fx(x,y)dyFXy(x, y)dxdy f x, y dxdyi.5條件分布i.5.i離散型PX | Y yjP XXi, YyjP Y yjPijP.ji, j =i,2也Pi.PY yj | X <【例3】已知X, Y的聯(lián)合分布律表，求Y i條件下的X分布律。7、i234Py YyjIiiii2548I2I64820i丄丄I38I2I648i2I0300I2I648PxX X'ii丄ii4444解：先求出所有的邊緣分布，如上表，于是P X 1Y

14、12 Y 13Y 14 Y 1P X 1,Y 112512_P Y 14 4825125684825125412482512531.5.2連續(xù)型f x, yfx|Yx|yfY yf x, yfY|X y|xfx x證明:P X x, y YyP y Yyx,y dy dxxf x, 1 dxxf x, 1 dxfY y dyfYfYx f x,-dxfY 2y, y0x f x,fY yf x|yxfdxfY yf x, yfY y同理:fYix y |xf x, y例 4】 設(shè) X, Y N 0, 0; 1, 1;解：因?yàn)閒 x, yN 0, 0;又，fx xe 2,fY yf x, yf

15、x,yfXYfY y1 e首x2 2 xy y212 1 21, 1;e，2.'12，求 fxY xy 與 gx y x 。2x y121 22e N2y, 12 116 4825X1234P 1264P 3P25252525fY|Xf X, yf x, yfx x1 叮7TeX, 12可見(jiàn)正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然是正態(tài)分布。般地X, Y NfXYN112y2 ,2112fY|XN22x1 ,22121而且，從上式可以看出，當(dāng)0,即X, Y獨(dú)立或不相關(guān)時(shí)，兩個(gè)正態(tài)邊緣分布和條件分布相同。1.6連續(xù)型分布的概率密度、邊緣密度和條件密度函數(shù)的關(guān)系乘法公式全概率公式貝葉斯公式二維隨機(jī)變量f

16、 X, yxy fx x fY|x y | xfY y fxY x | yp p.pjiiPjRijfx xfx|Y x| yf x, y dyfY y fx|Y x|y dyfx_x_fY|x_y|xfY yx, Y的聯(lián)合分布唯一地確定兩個(gè)邊緣分布、條件分布；但反之不然。若x, Y獨(dú)立，由兩個(gè)邊緣分布可以確定聯(lián)合分布；若 x, Y不獨(dú)立，則由一個(gè)邊緣分布再加上 個(gè)對(duì)應(yīng)的條件分布才能確定聯(lián)合分布（參看上述乘法公式）。二、2大二維連續(xù)型分布函數(shù)（其它的多維分布函數(shù)不是考點(diǎn)）1 二維均勻分布1I,x, y Df x,ySD U D0,other評(píng) 注|設(shè)x, Y服從非矩形區(qū)域、圓形區(qū)域 D x,

17、y |x2 y2 r2等上的均勻分布，則兩 個(gè)邊緣分布都不是均勻分布，但兩個(gè)條件分布都是均勻分布。設(shè)X, Y服從D x, y |a x b, c x d上的均勻分布，則兩個(gè)邊緣分布和兩個(gè)條件分布都是對(duì)應(yīng)的一維均勻分布，而且 X, Y獨(dú)立2二維正態(tài)分布2 2f x, yi2.2 ；（X 1）2 X 1 y 2 y 2 21 2 2 1 2 ；-e2評(píng)注 設(shè)二維隨機(jī)變量X, Y N 1, 2； 12,；，則X, Y線性組合Z GX CY N G 1 C2 2, C12 12 d ； 2C1C2 1 2仍然是正態(tài)分布；但任意兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合卻不一定是正態(tài)分布；兩個(gè)邊緣分布都是正態(tài)分布的二維

18、隨機(jī)變量也不 一定是正態(tài)分布。三、6大二維函數(shù)的分布函數(shù)及其模型（簡(jiǎn)稱函數(shù)分布X, Y）1 備用模型Z X Y FZ z PZz P X Y z1.1離散型直接計(jì)算Z的分布律?！纠?】4121520320求 Z X Y 和 Z XY。12320202612020解：先列出Z的分布律，如下表P520220620320320120X, Y1, 11,11,22, 12,12,2Z X Y201134Z XY112224從表中看出：Z X Y 2, 0, 1, 3, 4P X Y 2 P X 1丫 12020PXY1 P X 1丫2 PX 2,Y1 £ "20 20 203201

19、20于是Z X Y的分布律如下Z X Y-20134P520220920320120同理可得到Z XY的分布律如下1.2連續(xù)型XY-20134P420220520320120設(shè)X, Y的概率密度為f (x, y)，則分布函數(shù)Fz zP Z yf x, y dxdyx y zx y z是x y z及其左下方的半平面，則Fz zf x,y dxdyx y zz yf x, y dx dy令x u y，并交換積分次序u y, y dy dufz zFz zf z y,ydy即得備用模型的連續(xù)型公式由于X,Y的輪換對(duì)稱性，易知fZ z FZ z f x, z x dxfZ zf z y, y dy f

20、 x, z x dx如果X,Y獨(dú)立，則可寫成下述卷積形式fz zfx z y fY ydy fx fyfz zfx x fY z x dx fY fxfx fY即得備用模型的連續(xù)型公式fz zfx z y fy y dyfx x fY z x dx fx fY評(píng)注 備用模型是常年考點(diǎn)，它的一般形式更重要，在獨(dú)立性結(jié)論中已經(jīng)列舉過(guò)，希望讀者仿 照上訴方法務(wù)必反復(fù)推導(dǎo)三次，領(lǐng)會(huì)其一般思想，切不可硬背。如果存在非正規(guī)區(qū)域（即：積 分區(qū)域不能用一項(xiàng)表示出來(lái)），則需要使用平移法劃分為若干個(gè)正規(guī)區(qū)域。2并聯(lián)模型一M Max X, 丫和串聯(lián)模型一N Min X, Y，X, Y獨(dú)立F Max zP M zP

21、X乙丫zP Xz P Y zFx z Fy zF Min zP N z1 PNz1PX乙丫z 1P X z PY z1 1P X z 1 PYz11Fxz 1 Fy z一般地:FmaxzFX!zFX?z LFXnzFminz11FX1z1Fx2 z L1Fxzn如XiX丄Xn為同分布，則有nF max zF zn 1max zn fX F Zn 1min z n f X 1 F ZnFmin z 11 F z評(píng)注等價(jià)表示：M Max X, Y1XY X Y ； N Min X, Y3商積模型fu, v u, V般來(lái)說(shuō)，如果U g X,YX,Y存在唯一的反函數(shù)：X X U, V , YU, V，

22、利用雅可比微元變換 J可得u, v u,vX, Y x u,v ,y u,v I J3.1商模型 求Z的概率密度,方法如下FzpXx, ydxdyy,uv, yFzuv, uJ dudvf uv,u du dvfz zf zu, u u duzy, yy dy如X, Y獨(dú)立,fx zy fY y y dy。這也是一個(gè)常用公式【例6】設(shè)X, Y相互獨(dú)立,都服從，求Zx-的分布密度函數(shù)fz z。解:fxxe0,fY ye0,y, yfz zf zy,y dyfx zy fYy ydyydy 1 z0,評(píng)注商模型是重要考點(diǎn)如果存在非正規(guī)區(qū)域（即：積分區(qū)域不能用一項(xiàng)表示出來(lái)），則需要使用旋轉(zhuǎn)法劃分為若

23、干個(gè)正規(guī)區(qū)域。3.2積模型求Z XY的概率密度。只要改寫成Z XY |，然后Y令 u , v xyy1x uv, y 一 u1uv, 一 uJ dudvZ XY fZ z上1 duf zu, u uy dyy評(píng)注積模型本質(zhì)上就是二維聯(lián)合分布。數(shù)學(xué)1,3考點(diǎn)Xi,X2丄Xn為獨(dú)立同分布N 0,1nXi2i 1n護(hù)n20,n2 2Xi ni 1kY2 n Z Y 2 niniL nki 1tn模型數(shù)學(xué)1,3考點(diǎn)Y 21n 12n1tt12 n1 , Yn2nin22n1n1n12n2n2X,Y獨(dú)立1 6n2n20,n21F1口，n2Fn2, n1四、典型題型與求解秘訣2009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶

24、書系列-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)【例7】 把一硬幣連擲三次，X表示正面次數(shù)，丫 |2X 3,求X, Y的聯(lián)合分布律和邊緣分 布律。解：應(yīng)符合二項(xiàng)式分布B(n, p) Ckpk(1 p)n k11本題中 P , n 3, k x; X B 3,-2 2X 0, 1, 2, 3 Y 2X 33, 1, 1,3P(X0, Y3)P(X0)"12 8P(X1, Y1)P(X1)c3 1 山2 32 2 8P(X2, Y1)P(X2)d "J) 32 2 8P(X3, Y3)P(X3)c； (1)3(1)0 -2 2 8其它的X, Y組合的概率全為0X, Y的聯(lián)合分布律如下:Y0123103

25、83803180018X, Y的邊緣分布如下:X0123Y13P1331P31888844【例8】設(shè)(X, Y) U 0 x 2 , 0 y 1 ，求邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的概率密度f(wàn)S s。解：顯然，0 s 2，曲線xy s與正概率區(qū)域的右邊交點(diǎn)為 2,-，于是25772009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)620P XY s2 -0 dx 02 f x, y dy1sdy2x, y dx2dx0匕dy0 Sd1 s sdy°y 21 dx 1Sd22dx0s；dy1 -sdy ydx02sln21s121In 22In 2 In sIn s【例9】設(shè)離散型X,Y的

26、分布列為Y12111632193118問(wèn)，取什么值時(shí)X, Y獨(dú)立解：邊緣分布為Y12P.1111632112991131818Pj11133由歸一性知，11 11333要使X, Y獨(dú)立，顯然要求再驗(yàn)證每一項(xiàng)疋否滿足獨(dú)立：經(jīng)驗(yàn)證29,1時(shí)，X, Y 獨(dú)立。9【例10】X, Y獨(dú)立，且PX 1P Y 1p 0, P X 0 P Y 01 p 0，1-9.1 1-3 1-3Yp12-9Xp1,1,X Y為偶數(shù)X Y為奇數(shù)，問(wèn)當(dāng)p為何值時(shí),X與U獨(dú)立?解：如果X與U獨(dú)立，又X與U都是二值變量，故只需要求任意組數(shù)獨(dú)立即可(另一組自動(dòng)滿2 x y, 0 x 1,0 y 1,0其他足獨(dú)立性要求)，則P X1

27、,U 1P X1PU1PX1,XY為偶數(shù)攵pPU1PX1,Y1 pPX0,Y0 PX1,Y1PX1,Y1 pPX0,Y0 PX1,Y1PX1 PY 1pP X0P Y0P X1 P Y 1p2 P 1 P2p2p 1【例11】設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)1 求 P X 2Y ；2 求Z X Y的概率密度f(wàn)z(z)解：1P X 2Yf (x, y)dxdyx 2y 0x1,0 y 11"dy12y(2x y)dx32(2 5y 4y )dy724X Y的概率密度f(wàn)z(z)可以直2如果已知(X, Y)的聯(lián)合概率密度為f(x, y)，則Z接用公式fz(z)f (x, z

28、 x)dx求解。f (x, z x) 2 x (z x) 2 乙由于被積函數(shù)f (x, z x)只有在0 x 1, 0 zx 1 2時(shí)不為0 (正概率區(qū)域)，則當(dāng)0z 1時(shí)，如右圖的下三角形區(qū)域(視zfz(z)0 (2 z)dx z(2 z).z為常數(shù))當(dāng)1z 2時(shí),如右圖的上三角形區(qū)域(視z為常數(shù))fz(Z)11(2z 1z)dx(2 z)2.于是Z的概率密度為fz(Z)z(2(20,z),z)2,1 z 2其它【例12】設(shè)X，丫相互獨(dú)立，且都服從N0, 2解Fz zP 、x2 Y2P X2當(dāng)z當(dāng)zZ x,y2 2x y-e才2匸Fz zx2 y2丄e2 2edxdyz2fzFz z0,【例

29、13】解:，求Z X2 Y2函數(shù)分布。Y2r2z22 22 2re 2 dr 1 e 20，1)上的均勻分布 的分布函數(shù)和密度函數(shù)；設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從(求Z X Y設(shè)U X Y, V X Y，求U, V的密度函數(shù);求U, V關(guān)于U與V的邊緣密度函數(shù)。均勻分布為:f x ,y石 X，y D0, other1, x, y D0, other1 FZ z PZz PXYz0,PzX Yz 六邊形的面積 12 i1 z 1 z1,0z 0112 z0 z 11z 1fzzFz z2 1 z ,0,0 z 1 other2 X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)f x, y1, 0 x 1, 0 y 10

30、,其它令 u x y, u x yu vu vx,y22J根據(jù)商積模型公式，得U , V的密度函數(shù)x, yu, vf(uv,v)J,0220,0u v 2,0 u2'0,其它fu, v (U, V)11(u v) 1, 0 (u v) 122其它v 23 U, V關(guān)于U的邊緣密度函數(shù)求法是：把u看成常數(shù)，對(duì)v進(jìn)行全區(qū)域積分，得邊緣U分布由x, y0, 10 u v 2, 0 u v 2，畫圖可知u, v所圍區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2,旋轉(zhuǎn)了 45°的正方形。由圖形立即可得：0 u 2, 1 v 1。則u 1dv u u20 u 1u0 u 1u0 u 12 u 1fu (u)dv 2

31、u1 u 22u1 u 22u1 u 2u 2 20其它0其它0其它2 v 1du v 1v 21 v 0fv(v)2 v 1du 1 vv 20 v 10其它ex x 0 【例14】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布，密度函數(shù)f(x)0x0試證明X Y與-也相互獨(dú)立。Y證明：X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)f u, v (u, v)產(chǎn))1 vu(1 u)21(1 v)2uue0, v 00其它U , V的邊緣密度函數(shù)為f(x, y)e(x y)0x0, y 0其它令xuvu0,v 0x yu, vx1Jy ,uyv1vxxvuuvJ(x, y)uv1v1 v12v(u, v)yy1uuv1v1v2故得U

32、, V的密度函數(shù)為u(1 v)2于是陳氏第5技fu(u)fv(u)fuv (u, V)fuv (u, v)dufuv (u, v)du12 ue0 (1 v)2dvuue0,其它12 ue0 (1 v)2du0,fu (u) fv(v)，命題得證?！径S直角分割法】。秘訣如下在某局部區(qū)域中，已知兩個(gè)隨機(jī)變量不為零的分布密度 率點(diǎn)區(qū)域)，求全部區(qū)域的分布函數(shù)F x, y問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn) 清晰地解決這類題型。二維直角分割法秘訣如下(1 v)2'其它f x, y (這個(gè)局部區(qū)域又稱為正概 作者創(chuàng)立的直角分割法可以方便1如果正概率點(diǎn)區(qū)域在x和y兩個(gè)方向都有界，則需要將全平面區(qū)域劃分為 5類積分區(qū)

33、 域，在每類區(qū)域中求x, y時(shí)，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率點(diǎn)區(qū)域的交集。第1類積分區(qū)域占八、x, y的直角分割區(qū)域與f x, y正概率點(diǎn)區(qū)域無(wú)交集，顯然這時(shí)x, y第2類積分區(qū)域占八、x, y的直角分割區(qū)域畫在與f x, y正概率點(diǎn)區(qū)域y方向的外邊，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分，顯然這時(shí)相當(dāng)于求X的邊緣分布函數(shù)F x, y FX x ；第3類積分區(qū)域點(diǎn)x, y的直角分割區(qū)域畫在與fx, y正概率點(diǎn)區(qū)域x方向的外邊，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分，顯然這時(shí)相當(dāng)于求X的邊緣分布函數(shù)F x, yFy y ；第4類積分區(qū)域點(diǎn)x, y的直角分割區(qū)域畫在fx, y正概率點(diǎn)

34、區(qū)域的內(nèi)部，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分；第5類積分區(qū)域點(diǎn)x, y的直角分割區(qū)域包含整個(gè)正概率點(diǎn)區(qū)域的全部，積分區(qū)域是正概率點(diǎn)區(qū)域本身，顯然此時(shí)有F x, y 12如果正概率點(diǎn)區(qū)域在x和y兩個(gè)方向有一個(gè)區(qū)間無(wú)界，由于直角分割區(qū)域頂點(diǎn)無(wú)法畫在該無(wú) 界區(qū)間的外部，則只需將全部區(qū)域劃分為3類積分區(qū)域，即沒(méi)有第2類和第5類，或者沒(méi)有第3 類和第5類。在每類區(qū)域中F x, y積分區(qū)域仍為直角分割區(qū)域和正概率點(diǎn)區(qū)域的交集?！纠?5】已知隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布密度為f x, y4xy,0,0 x 1, 0 y 1其它，求（X,Y）的的聯(lián)合分布函數(shù)F x, y 。解：采用直角分割法。第

35、1 類：x 0,或 y 0 F x, y 0 ；第2類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)x, y在區(qū)域y1, 0 x即在正概率點(diǎn)區(qū)域0x1, 0 y 1的y方向的外部），積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域0x1, 0 y 1(即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。x 1x124uvdudv 4udu vdv x 0 0 0 0F x, y第3類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)x, y在區(qū)域x 1, 0 y 1內(nèi)（即在正概率點(diǎn)區(qū)域0x1, 0 y 1的x方向的外部），積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域0x1, 0 y 1(即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。y 14uvdudv0 0F x, yy124vdv udu y00第4類

36、：直角分割區(qū)域頂點(diǎn) x, y在正概率點(diǎn)區(qū)域0 x 1, 0 y 1的內(nèi)部，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域0x1, 0 y1 （即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。F x, yy x4uvdudv0 0yx4vdv udu0 0第5類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)x, y在區(qū)域x 1, y1的內(nèi)部，直角分割區(qū)域包含正概率點(diǎn)區(qū)域0x1, 0 y 1的全部,積分區(qū)域?yàn)槎x區(qū)域0x 1, 0 y 1 （即正概率區(qū)域）的本身。F x, y14uvdudv014vdv udu0綜上所述，得0,x0或y02x ,0x 1, y12y ,0y 1, x12 2x y ,0x 1, 0y1,x1,y 1F (x, y)1

37、【例16】設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的密度函數(shù)xey 0 x yf (x, y)，試求分布函數(shù) F(x, y)。0其它，由于區(qū)域邊界不是常數(shù),解：利用【直角分割法】計(jì)算，先畫圖確定正概率區(qū)域0 x y易知全平面只有3類直角分割區(qū)域。第 1 類：x 0 或 y 0 F(x, y) 0，因?yàn)橹苯菂^(qū)域與正概率區(qū)域0 x y無(wú)公共部分;第2類：不存在;第3類：直角區(qū)域頂點(diǎn)在0 y x（即正概率區(qū)域0y的x方向外部），積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域0 x（即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。F(x, y) P(X x, Y y)y0dyx1c0xeydx 1 (-y2y 1)e y第4類:三角區(qū)域頂點(diǎn)在0內(nèi)

38、，積分區(qū)域?yàn)槿菂^(qū)域與定義區(qū)域0 x yF (x, y)P(X x, Yy)xdx0xe ydyx2ey2第5類：綜上所述，得不存在F(x, y)(2y2 y1)e y評(píng)注由于乍(X,Y)x y(x 1)e xS2ey20,所以當(dāng)密度函數(shù)為零,分布函數(shù)卻不一定為零。如本題 f x,1區(qū)域0 y x為零，而在概率分布函數(shù)中等于1 （- y2 y 1）e y。10 x 10 y 2x例 17】X, Y 的概率密度 f x, y l, 0 x l, 0 y 2x，求 P Y 0,otherfx解：由于條件分布和聯(lián)合分布及其邊緣分布有關(guān)，故首先求邊緣分布2xfxx0,f x, y dy dy 2x,

39、0 x 1 .otherP Y 1|X 12 2P Y 1, X2x, y dxdy點(diǎn)1，1的直角分割區(qū)域正概率區(qū)域2 21、2 fx x dx316141 1jdy dx2至 2xdx0陳氏第6技 【備選模型平移法】。精妙絕倫秘訣如下Z aX bY的分布函數(shù)密度備選模型中，已知兩個(gè)隨機(jī)變量的分布密度，求它們線性組合fz z ,如果積分區(qū)間是分段的，我們必須將 z分割成不同的積分區(qū)間，再利用平面積分手段或備選模型公式Z aX bY fz z f x, -_ax dx。問(wèn)題關(guān)鍵和難點(diǎn)就是如何確定積分區(qū)b間，為此，作者創(chuàng)立了平移法可以方便而清晰地解決這類題型。平移法秘訣如下1首先畫出基準(zhǔn)直線ax

40、by 0 ；2把基準(zhǔn)直線平移到正概率區(qū)域的全部邊界點(diǎn)上，從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線,該直線與x軸的交點(diǎn)就是x方向的積分區(qū)間分段點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)就是y方向的積分區(qū) 間分段點(diǎn)?！纠?18】設(shè) X, Y 獨(dú)立，fxx ° j 1,fYy ey0，求 Z2X 丫 的 fzz。0, other0,y0解：fZzfXxfYz 2x dx 1fYz 2x dxe2x zdx但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域，x的積分區(qū)間必須依照z的不同范圍分段進(jìn)行。按照平 移法，先作基準(zhǔn)直線2x y 0 ,然后將該基準(zhǔn)直線平移到x 1邊界點(diǎn)得直線方程2x y 2， 從而得到z在x軸上的關(guān)于正概率區(qū)間的兩個(gè)分界點(diǎn)

41、z1 0, z2 2。其中當(dāng)0 z 2時(shí)，又把基 準(zhǔn)直線任意平移到該區(qū)間，得方程2x y z，該直線與x軸的交點(diǎn)為x -，即為此區(qū)間x的積2分上限。由圖形立即看出z 0為零概率區(qū)間，所以分三段分別計(jì)算 fZ z如下fZ ze2x zdx【例19】X, Y的概率密度f(wàn) x, y1 P X 2Y ；2 Z X解：1 P X 2Yx 2y 0x1,0 y 10,z012x ezdxz22x ze dx1ze ,0 z 200212x ezdx12ze 1 e ,z 2022xy,0x1, 0y 1求0,otherY的fzz 0x, y dxdy1 rdx 2 2 xy dy7 ；0 0242 fz

42、zf x, z x dx 2 z dx但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域,x的積分區(qū)間必須依照z的不同范圍分段進(jìn)行按照平移法，先作基準(zhǔn)直線x y 0，然后將該基準(zhǔn)直線平移到x 1邊界點(diǎn)得直線方程x y 1，再平移到x 1, y 1邊界點(diǎn)得直線方程x y 2，從而得到z在x軸上的關(guān)于正概率區(qū)間的三個(gè)分界點(diǎn)乙0, Z2 1, Z3 2。其中，當(dāng)0 z 1時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移，得方程 x y z，該 直線與x軸的交點(diǎn)為x z，即為此區(qū)間x的積分上限，當(dāng)1 z 2時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移到 該區(qū)間，得方程x y z，但該直線與x軸的上限交點(diǎn)x z已經(jīng)超出正概率區(qū)間，當(dāng)與直線y 1的下限交點(diǎn)為x z 1

43、，即為此區(qū)間x的積分下限。由圖形立即看出z 0為零概率區(qū)間,所以分四段分別計(jì)算fz z如下fz z2 z dx0, z 0z2 z dx012z 1or zz dx 2【例20】X, Y的概率密度f(wàn) x, y3x, 00,x 1,0other，求 Z X Y 的 fz z解:fz zf x, z x dx3xdx但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域,x的積分區(qū)間必須依照z的不同范圍分段進(jìn)行按照平1，從而移法，先作基準(zhǔn)直線x y 0 ,然后將該基準(zhǔn)直線平移到x 1邊界點(diǎn)得直線方程x y得到z在x軸上的關(guān)于正概率區(qū)間的二個(gè)分界點(diǎn) zi 0, Z21,。其中，當(dāng)0 z 1時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移到該區(qū)間，

44、得方程x y z，該直線與x軸的交點(diǎn)為x z，即為此區(qū)間x的積分下 限（上限為1），因?yàn)榇藭r(shí)y為變區(qū)間，即0yx 0xzx 0 z x x z。由圖形立即看出z 0為零概率區(qū)間，fZ z0，z1為全概率區(qū)間，F(xiàn)Z z 1 fZ z 0。所以分三段分別計(jì)算fz z如下0,z0 or z 1fZ z3xdx1323xdx-1z2 ,0 z 1z2陳氏第7技【商模型旋轉(zhuǎn)法】。秘訣如下Y商模型中，已知兩個(gè)隨機(jī)變量的分布密度求它們的商函數(shù) Z -的分布函數(shù)密度f(wàn)z z，如Y果積分區(qū)間是分段的，我們必須將 z分割成不同的積分區(qū)間，再利用平面積分手段或商模型公式Z Xfz z f zy, y y|dy。問(wèn)題關(guān)鍵和難點(diǎn)就是如何確定積分區(qū)間，為此，作者創(chuàng)立了平移法可以方便而清晰地解決這類題型。旋轉(zhuǎn)法秘訣如下1首先畫出基準(zhǔn)直線-1 ；y2把基準(zhǔn)直線旋轉(zhuǎn)到正概率區(qū)域的全部邊界點(diǎn)上，從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線，該直線與x軸的交點(diǎn)就是x方向的積分區(qū)間