三角形與多邊形及鑲嵌

1、三角形與多邊形及鑲嵌一、知識結(jié)構(gòu)框圖： 二、知識要點(diǎn)：1三角形的分類：2三角形的三種重要線段：三角形的高線、中線、角平分線。3三角形的三邊之間的關(guān)系：（1）三角形任意兩邊的和大于第三邊；（2）三角形任意兩邊的差小于第三邊4三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)：（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（3）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角；（4）三角形的外角和等于360°5作圖6三角形的穩(wěn)定性三、典型例題：1如圖，圖中共有多少個(gè)三角形? 分析：根據(jù)三角形的概念，不重復(fù)、無遺漏地找出所有的三角形，關(guān)鍵在于按照某種順序去找。解：共8個(gè)，分

2、別為：BCE，CDE，BFE；BCF，BCD，ACF,ADB；BCA2在ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長分為12cm和15cm的兩部分，求三角形各邊的長。分析：因?yàn)橹芯€BD中的點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，所以AD=DC，造成所分的兩部分不等的原因就在于BC邊與AB邊的不等，故應(yīng)分類討論。解：如圖，設(shè)，則 （1）若AB+AD=12， 即，得x=8 即AB=AC=8 則DC=4，故BC=15-4=11 此時(shí)AB+AC>BC，可構(gòu)成三角形（2）若AB+AD=15， x=10 即AB=AC=10，則DC=5，故BC=12-5=7 顯然此時(shí)可構(gòu)成三角形綜上，三邊長為：8，8，11或1

3、0，10，7.3（1）已知三角形的兩邊分別為5cm和6cm，求第三邊c的取值范圍及三角形周長的取值范圍；（2）已知三角形的三邊分別為14，4x和3x，求x的取值范圍；（3）已知三角形的三邊分別為，和，求的取值范圍。分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得第三邊的取值范圍是：兩邊之差第三邊兩邊之和，所以較容易確定第三邊的取值范圍解：（1）（6-5）cm < c <（6+5）cm 1cm<c<11cm 設(shè)周長為pcm 又因另兩邊分別為5cm和6cm （5+6）+1cm < p < 11+（5+6）cm 即12cm < p < 22cm（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)

4、系： （3） 又 三角形的三邊長為正 又 4如圖，在小河的同側(cè)有A，B，C三條村莊，圖中的線段表示道路，某郵遞員從A村送信到B村，總是走經(jīng)過C村的道路，不走經(jīng)過D村的道路，這是為什么呢？請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識加以證明。 分析：郵遞員走經(jīng)過C村而不走經(jīng)過D村的路，其理由很明顯：因?yàn)槁烦谈?。若將該問題抽象成數(shù)學(xué)問題即為：已知：C是ABD內(nèi)一點(diǎn)，試證明：AD+BD>AC+BC。點(diǎn)撥：解決幾條線段間的不等關(guān)系，應(yīng)利用三角三邊關(guān)系性質(zhì)，為此，連接AB，得BD+DA>AB，CA+CB>AB，但仍無法得出結(jié)論，故可考慮構(gòu)造另外的三角形，找到所證線段之間的相互關(guān)系。解答：延長AC交BD于點(diǎn)E

5、，由三角形的三邊關(guān)系：在ADE中，AD+DE>AC+CE 在CBE中，CE+BE>BC 由和得：AD+DE+BE+CE>AC+BC+CE所以：AD+BD>AC+BC四、多邊形及其平面鑲嵌：1多邊形及其內(nèi)角和：（1）n邊形的內(nèi)角和： （2）多邊形的外角和等于360°（3）多邊形的對角線： 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對角線有：（n-3）條； n邊形共有：條對角線。（4）正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。2正多邊形的概念：正多邊形的概念一般說來必須同時(shí)滿足“各邊相等”和“各角相等”，只有三角形例外，滿足其一即可說明：（1）只滿足“各邊相等”的反例：

6、菱形；（2）只滿足“各角相等”的反例：矩形3多邊形的內(nèi)外角和的推導(dǎo)思路：（1）通過對多邊形內(nèi)角和公式的探究和推導(dǎo)，充分體會三角形在研究多邊形問題的過程中所發(fā)揮的重 要作用，在探究的過程中應(yīng)與同學(xué)們充分討論，發(fā)現(xiàn)不同的證法 說明：可以將各種證法統(tǒng)一起來，即點(diǎn)O在不同的位置（2）利用內(nèi)角和以及鄰補(bǔ)角的定義，推導(dǎo)外角和公式，體會變與不變的關(guān)系五、例題選講：5一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，那么這個(gè)多邊形的對角線的條數(shù)是（ ）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2答案：A6己知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和共2160°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。 答案：127一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和與它的一個(gè)外角

7、的和為2005°，求多邊形的邊數(shù)。答案： 13 提示：用2005÷180=11余25，n一2=11，n=138若多邊形最多有四個(gè)鈍角，那么此多邊形的邊數(shù)最多是_答案：七 提示：從外角考慮，外角和中最多有三個(gè)鈍角，加上四個(gè)銳角，最多有七個(gè)外角，所以也就最多有七個(gè)內(nèi)角或七條邊。9如果一個(gè)凸多邊形，除了一個(gè)內(nèi)角以外，其它內(nèi)角的和為2570°，求這個(gè)沒有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)答案：130° 提示：用2570÷180=14余50，180°-50°=130°六、課題學(xué)習(xí) 鑲嵌：1本節(jié)課是探索并推導(dǎo)平面圖形的鑲嵌問題，通過這個(gè)過程

8、可以加深對多邊形內(nèi)角和的理解2用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或 平面鑲嵌）的問題。3通過探究和實(shí)驗(yàn)，總結(jié)出平面鑲嵌的必要條件是：（1）拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；（2）相鄰的多邊形有公共邊4主要解決的問題是：（1）什么樣的正多邊形可以實(shí)現(xiàn)平面鑲嵌?假定有正n邊形，則此正n（n3）邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的內(nèi)角，由于這些角的和應(yīng)為360°，因此有，化簡得，所以此不定方程有且只有三組正整數(shù)解： 即分別用6個(gè)正三角形或4個(gè)正方形或3個(gè)正六邊形可平面鑲嵌（2）用全等的任意n邊形進(jìn)行平面

9、鑲嵌，易證三角形和四邊形可以，當(dāng)n5時(shí)，只對于特殊的全等n邊形還可能，如下圖，是圣地亞哥的一位婦女瑪喬里·賴斯于1977年12月找到的。（3）利用（1）的辦法，研究用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，可能的結(jié)果有以下幾種：3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形，或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形，或2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形，或1個(gè)正三角形和2個(gè)正12邊形，或1個(gè)正四邊形和2個(gè)正8邊形圖形如下： 初一數(shù)學(xué)周末練習(xí)8（三角形與多邊形及鑲嵌）周末練習(xí)：基礎(chǔ)練習(xí)：1如圖，己知ABCD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分BEF，若l=50°，則2的度數(shù) 為（ ）（A）50° （B）60

10、6; （C）65° （D）70°2若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的可能值有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)3如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角 B是150°,第三次拐的角是C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則C是（ ） （A）120° （B）130° （C）140° （D）150°4如圖，在RtABC中，B=90°，A=30°，AC=3，將BC向BA方向折過去，使點(diǎn)C落在BA上的點(diǎn), 折痕為BE，則的長

11、是_ 5如圖，ABE和ADC是ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的若1：2：3：=28：5：3， 則的度數(shù)為_ 6如圖，A、B是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，在平面上找一點(diǎn)C，使ABC構(gòu)成等腰直角三角形，且C為直角頂點(diǎn), 請問這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？并在圖中作出所有符合條件的點(diǎn)（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不 寫作法）7判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形（1）3k，4k，5k（k>0）（2）m+1，2m，m+1（m>0）（3）a，b，a+b+1（a>0，b>0）8（1）已知等腰三角形的一邊等于8cm，一邊等于6cm，求它的周長 （2）一個(gè)等腰三角形的周長為30cm，一邊長為

12、6cm，求其它兩邊的長9已知：如圖2，ABC中，D是AB上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn) 求證：AB+AC>DB+DC10已知：如圖3，點(diǎn)P為ABC內(nèi)任一點(diǎn)求證：11已知：如圖4，D、E是ABC內(nèi)的兩點(diǎn)求證：AB+AC>BD+DE+EC12已知：如圖5，在ABC中，AB=AC，周長為16cm，AC邊上的中線BD把ABC分成周長差為2cm的兩個(gè)三角形，求ABC各邊的長。13下列四個(gè)圖中能說明1>2的圖是（ ）14已知：如圖7，直線ABCD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，BEF的平分線與DFE的平分線相交于點(diǎn)P，試說明：P=90°。 15如圖8，在銳角三角形ABC中，CD、BE分

13、別是AB、AC邊上的高，且CD、BE交于一點(diǎn)P，若A=50°，求BPC的度數(shù)。16如圖9，D是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試說明：ADB=1+2+C17如圖10，若P為B、C平分線的交點(diǎn)，求的值。18如圖11，ABC的兩條外角平分線交于點(diǎn)D，則下列等式成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）19如圖，ABC中，ABC的平分線與ACE的平分線交于點(diǎn)D，試探求D與A之間的大小關(guān)系。 20已知：如圖12，在ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AD、BE相交于點(diǎn)F求：C+1+2+3 21已知：如圖13，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，A與l+2之間有什么關(guān)系，請猜想并證明2

14、2把一副三角板按如圖14方式放置，則兩條斜邊所形成的鈍角=_度 23某零件的形狀如圖15所示，圖紙上要求A=90°，B=32°，C=21°，當(dāng)檢驗(yàn)員量得BDC=145°就斷定這個(gè)零件不合格。請你解釋一下，這是為什么? 24已知：如圖16，ABC中，ABC=C=BDC，A=ABD，求A 25如圖17，在ABC中，AEBC于E，AD為BAC的平分線，B=50°，C=70°，求DAE的度數(shù)?；A(chǔ)練習(xí)參考答案：1C 2B 3D4580°6有2個(gè) 作圖：連結(jié)AB，作AB的垂直平分線，以AB為直徑作圓， 該圓與AB的中垂線的交點(diǎn)就是所求

15、作的點(diǎn)。7（1）能 （2）能 （3）不能8（1）20 cm或22 cm （2）12cm，12 cm9證明略10證明略11. 提示：延長BD、CE，交于F 12. 6cm，6cm，4cm或，13C14略15130°16證明略1790°18C1920180°212A=1+222165°23BDC=143°2436°2510°中考鏈接：1如圖，直線ABCD，EFCD，F(xiàn)為垂足如果GEF=20°，那么l的度數(shù)是_度。 2如圖1，已知ABC為直角三角形，C=90°，若沿圖中虛線剪去C，則1+2等于_ 3已知一個(gè)三角

16、形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是1：5：6，則其最大內(nèi)角的度數(shù)為（ ）A60° B75° C90° D120°4如圖3所示，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)A，B是方格紙的兩個(gè)格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)）， 在這個(gè)6×6的方格紙中，找出格點(diǎn)C，使ABC的面積為1個(gè)平方單位的直角三角形的個(gè)數(shù)是_ 5三角形的兩邊長為4cm和7cm，則這個(gè)三角形面積的最大值為_cm26八邊形的內(nèi)角和為_度7在下列四組多邊形地板磚中，正三角形與正方形；正三角形與正六邊形；正六邊形與正方 形；正八邊形與正方形將每組中的兩種多邊形結(jié)合，能密鋪地面的是（ ）A B C D8拼圖與設(shè)計(jì)： 如

17、圖22-1，四邊形ABCD是一位師傅用地板磚鋪設(shè)地板尚未完工的地板圖形，為了節(jié)省材料，他準(zhǔn)備在剩余的六塊磚中（如圖22-2所示）挑選若干塊進(jìn)行鋪設(shè)，請你在下列網(wǎng)格紙上幫他設(shè)計(jì)3種不同的鋪法示意圖 9（遼寧大連旅順）如圖，ABC為等邊三角形，面積為S，分別是ABC三邊上的點(diǎn)，且，連結(jié)，可得（1）用S表示的面積_，的面積_；（2）當(dāng)，分別是等邊ABC三邊上的點(diǎn)，且時(shí)，如圖，求 的面積和的面積是；（3）按照上述思路探索下去，當(dāng)，分別是等邊ABC三邊上的點(diǎn)，且 時(shí)（n為正整數(shù)），的面積 _。 的面積 _ 10若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）A5 B6 C7 D81

18、1一幅圖案在某個(gè)頂點(diǎn)處由三個(gè)邊長相等的正多邊形鑲嵌而成其中的兩個(gè)分別是正方形和正六邊形，則第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是_12如圖所示，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2圖a、圖b、圖c是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實(shí)際大小畫在圖a、圖b、圖c的方格紙上。要求：（1）所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中的小正方