圓錐曲線的切線方程總結附證明

1、運用聯(lián)想探究圓錐曲線的切線方程現(xiàn)行人教版統(tǒng)編教材高中數(shù)學第二冊上、第75頁例題2,給出M ( Xo , yo )的切線方程為xox + y°y = r2 ;當 點引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所 那么，在圓錐曲線中，又將如何？我們了經(jīng)過圓x2 y2訂2上一點 M ( xo , yo )在圓外時，過M 在直線方程為 不妨進行幾個聯(lián)想。聯(lián)想一：(1)過橢圓篤 爲二1 ( a b o )上一點M ( xo , yo )切線 2 b22 2方程為竽-纓=1 ； (2)當M ( xo , yo )在橢圓篤與=1的外部時，a ba b過M引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為：竽與=1a b

2、X°X2 2 r證明：(1)篤2=1的兩邊對X求導，得今勢=0，得a ba bx=Xq.2.2-7勺，由點斜式得切線方程為y yo二一(X - Xo)，即a yoa yo2 2XoXyoyXoyodb2 a2 b22 2(2 )設過橢圓篤與=1 ( a b 0 )外一點M ( Xo , yo )引兩條切 a b切點分別為A(x yj、B(X2 , y2)。由(1)可知過A、B兩點的切、蘭，與=1。又因M(xo，y。)是兩條切 a b、警.警胡。觀察以上兩個等式，a b弩彎=1，所以過兩切點A、Ba2b2線，線方程分別為：警卷=1a b線的交點，所以有警與胡a b發(fā)現(xiàn)A(% , yj、

3、B(X2 , y2)滿足直線XoXyoy2 y_ ab2切線方程為 弩-與=1 ；(2)當M (a b兩點的直線方程為篤 o 1a2 b22 評注：因M ( Xo , y° )在橢圓務 a圓上或橢圓外)的不同，同一方程 亦不同。2聯(lián)想二：(1)過雙曲線務-2出=1 ( a b 0)上的位置(在橢 b2學 普表示直線的幾何意義a b=1 ( a o , b o )上一點 M ( Xo , y° )2 2Xo , yo )在雙曲線令y? = 1的外a b部時，過M引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為： 竽一譽=1。（證明同上）a b聯(lián)想三：（1）過圓錐曲線Ax2 Cy2 D

4、x Ey 0 （A，C不全為 零）上的點 M （ X。，y。）的切線方程為 Ax）x - Cyoy D x 0 - E * J F = 0 ； （ 2）當 M（x°,y。）在圓錐曲線 Ax2 Cy2 Dx Ey F -0（ A，C不全為零）的外部時，過 M引切線有 兩條，過兩切點的弦所在直線方程為： Ax Cyoy D 0 E 0 F =0證明：（1）兩邊對x求導，得2Ax 2Cyy： D Ey、0得 y ” X之 =_2Ax0 +D，由點斜式得切線方程為 y_y0 = _2Ax0 *D（X_X0）2Cy° + E '2Cy° + E化簡得22x2Cy0y

5、 _2Cy0 Ey -Ey0 2Ax0x Dx -2Ax0 _Dx0 =0 因為Ax02 Cy02 Dx0 Ey° F =0 由X 2可求得切線方程為：Ax0x Cy0y Dxx°丘七也 0（2）同聯(lián)想一（2）可證。結論亦成立。根據(jù)前面的特點和圓上點的切線方程，得到規(guī)律：過曲線上的點 M （ x° , y° ）的切線方程為：把原方程中的x2用x°x代換，y2用y°y代換' 若原方程中含有x或y的一次項，把x用 3 代換，y用 1°代換,2 2得到的方程即為過該點的切線方程。當點 M（X0 , y0）在曲線外部時，過M

6、引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為：x+xoy + y0Axx Cy0y D 0 E 0 F = 0 2 2通過以上聯(lián)想可得出以下幾個推論：推論1 : ( 1 )過拋物線y2 = 2px ( p . 0 )上一點M ( x0 , y0 )切線方 程為y°y = p (x X。)； ( 2)過拋物線y2 =2px ( p 0 )的外部一點 M(x°,y°)引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為： y°y = p (x X。)推論2：( 1)過拋物線y2 = -2px ( p 0)上一點M (x。，y。)切線方 程為y°y =-p (x x&

7、#176;) ； ( 2 )過拋物線y2=-2px(p0)的外部一點 M(X0,y°)引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為： y°y = -p (x X0)。推論3：( 1)過拋物線X2 =2py ( P 0)上一點M ( X0 , y0 )切線方 程為x°x - - p(y y°) ； ( 2 )過拋物線x2 - -2py ( p 0 )的外部一點 M(X0,y°)引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為： x°x p (y y°)。推論4 : ( 1)過拋物線x2 = -2 py ( p . 0 )上一點M ( x° , y° )切線方 程為 x°x = -p(y+y°) ； ( 2 )過拋物線 x2=-2py (p = 0)的外部一點 M(X0,y°)引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為： x&#