華宏MBA聯(lián)考輔導資料B

1、3. 乘積矩陣的列向量組和行向量組，設A是m n矩陣B是n s矩陣.A的列向量組為：-1,：-2, :n, B的列向量組為l -i,、,-s, AB的列向量組為1, 2, s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出： AB的每個列向量組為i=A：i,i=1,2,s.即 A( -1, -2, ：s)=(A：i,A2, A：s). '-=(bi,b 2,bn)T ,貝V Ap= blCtl+b2O(2+bnO(n.應用這兩個性質(zhì)可以得到：乘積矩陣AB的第i個列向量i是A的列向量組為：-1,冷 ，：.n的線性組合，組合系數(shù)就 是B的第i個列向量林的各分量類似地，乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組

2、的線性組合，組合系數(shù)就是 A的 第i個行向量的各分量以上規(guī)律在一般教材都沒有強調(diào)，但只要對矩陣乘法稍加分析就不難看出然而它們無論在理論上(有助于了解代數(shù)學中各部分內(nèi)容的聯(lián)系)和解題中都是很有用的請讀者注意例題中對它們的應用下面是幾個簡單推論用對角矩陣上從左側(cè)乘一個矩陣，相當于用上的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行 向量；用對角矩陣上從右側(cè)乘一個矩陣，相當于用上的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各 列向量單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣數(shù)量矩陣kE乘一個矩陣相當于用k乘此矩陣兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應元素相乘求對角矩陣的方幕只需把對角線上的每個作同次方幕4. 矩陣方程和可逆矩陣(伴

3、隨矩陣)(1) 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運算是解下面兩中基本形式的矩陣方程(I) AX=B.(II)XA=B.其中A必須是行列式不等于0的n階矩陣，這樣這兩個方程都是唯一解.當B只有一列時，(1)就是一個線性方程組.由克萊姆法則知它是唯一解.設B有s列,B=( ：1,2,:s),則 X 也有 s 列，記X=(1,2,s)得到 Ai=：i,i=1,2,s,這些方程組都是唯一解，從而AX=B唯一解這些方程組系數(shù)矩陣都是 A可同時求解，即得(I) 的解法：將A和B并列作矩陣(A B),對它作初等行變換，使得 A邊為單位矩陣，此時B邊為解X(II) 的解法：對兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式：axb

4、I再用解(I)的方法求出乂,轉(zhuǎn)置得x 矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往比較復雜 ，要用恒等變形簡化為下上基本形式再求解(2) 可逆矩陣定義 設A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B,使得AB=E BA=E,則稱A為可逆矩陣 此時B是唯一的，稱為A的逆矩陣，通常記作A矩陣可逆性的判別： n階矩陣A可逆| A 0 n階矩陣A和B如果滿足AB=E,則A和B都可逆并且互為逆矩陣(即AB=EBA=EJ可逆矩陣有以下性質(zhì)：如果A可逆,則A1 也可逆,并且(A-1) -1=A| A-11=| A -1.A也可逆，并且(Ar)"1=(A"1)T.當c 0時，c A也可逆,并且(c

5、A) 1=c1A-1. 對任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(£)-1 =(A-1)k.(規(guī)定可逆矩陣 A的負整數(shù)次方幕 A"k=(A() -1=(A-1)k. 如果A和B都可逆，則AB也可逆，并且(AB-'B1". 如果A可逆,則A在乘法中有消去律：AB=0B=0. BA=0B=0.AB=AC B=C BA=CA B=C. 如果A可逆,則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊 ):AB=CB=A"C BA=CB=CA.由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：(I) AX=B 的解 X=A-1 B ;(ll)XA=B 的解 X= BA-1.這種解法自

6、然好記，但是計算量必初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).(3) 逆矩陣的計算和伴隨矩陣 逆矩陣的計算有兩種方法. 初等變換法：A-1是矩陣方程AX=E的解,于是對(A|E)用初等行變換把化為E則E化為A-1.伴隨矩陣法若A是n階矩陣，記A是| A的(i,j) 位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣為A*= A 12An A21A 22 A n2A n1=(Aj )T.A1n A2nAmn規(guī)定伴隨矩陣不要求 A可逆.但是在A可逆時，A*和A1有密切關系.基本公式：AA*= A*A=|AE于是對于可逆矩陣 A,有-1 亠 -1A = A*/| A|,或 A*=| A|A .因此可通過求 A*來計算

7、A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較，伴隨矩陣法的計算量要大得多，除非n=2, 一般不用它來求逆矩陣 對于2階矩陣a b “c d =-c因此當ad-bca b 丫1c d-ca ,0時,d -ba (ad-伴隨矩陣的其它性質(zhì)： 如果A是可逆矩陣，則 A*也可逆，并且(A*)-1= A/| A=(A)*. | A*|=| A|n-1. (at)*=(a*)t. (c A) * =c n-1 A*. (AB*= B*A*; (A)*= ( A*). (A*)*=| A|n-2 A.練習題二1. 設：=(1,2,3,4) T,匸(1,1/2,1/3/1/4) 【丄=:二 求丄n .

8、 彳 1/2 0、2設 A=2 1 0 ，求J 1/2 0 1 0 0r 3設 G=(1,o,1) T, P=(0,1,1) T, P= 1 1 0 ,A= P-1op TP,求 A2003.T 0 0 1 t I J4 設TIQ 2 0 A=0 1 1, B=AzPT 求 B5.O 0-L J5. 已知 3 階行列式 | :-, -, |=3，求 |3 : - -+2 ,-.:+ :+ ,2 : +5-7 |.6. 已知 A= 1 1 00 1 47. 已知f3,AB=A+ 2B,求 B.廠0 1 0 1卻,X=AX+B，求 X.-1&9.已知.-=-1 110. 已知 .-=101

9、1.設0 11,A*X=A2 1 ，求X 丿0 11 01 (A =0 -4,ABA=6A+A,求E.0-2 3<5三 =(t+E)-1(_-l-E),則(ME)-112. A是一個3階矩陣，3維向量組1,2 ,3線性無關，滿足A 1= 2+ 3, A 2= 1+ 3, A 3= 1+ 2 .求| A|.13.設 1<0 0A= 0 0 0 ,0<<0 -114.2 0 0設九=(1/2)( 1 : 0 2 5 B = 2 -1 0 ,1 <求（A*）11X B = B A,求 X 和 X .15.設n階矩陣丄滿足一 -：；T，證明丄可逆，并求和（上-1'

10、） -16. 設n階矩陣丄滿足k為一個自然數(shù)，證明；:一:可逆17. 設n階矩陣Z滿足I并且A不是數(shù)量矩陣.問a為什么數(shù)時 A-aE可逆?18. 已知n階矩陣證明二i .19. 設A, B, C都是n階可逆矩陣，D= （ABAC）",證明BACD=CDAB .A=-1 10 -153 已知,(A- E)B = A,求 A. r 、20. 設A, B都是n階矩陣，AB+E可逆.證明 BA+E也可逆，并且(BA+E) -=E-3(AB+E 廠A.21. A, B都是n階矩陣，并且 B和E AB都可逆，證明：3( E +A2)己：-E三(E + AB 廠A .22. 設A三是兩個n階矩陣，

11、則( )是A三可交換的充分必要條件(A) (A+2)3= A3+3Ab +3甩2+蘭.(B) A與三2可交換(C) A+三與 A_2可交換.(D)(A22=A2h.23. 設A, B是兩個n階矩陣，滿足(AB)2=E則() 成立.A) AB=E(B) | A| B|=1.(C)AB =BA.(D ( BA) 2=E .).廠21 -3-5、3 9A= 1 1-25a3：=-3-2 6 ,-3 -2 696-17JA)36.(B)1/36.(C)-6.(D6.25.已知3階矩陣Z滿足：求二24. 設 A, B 是兩個 3 階矩陣,| A-11=2,| B-1 |=3,則 | A* B-1- A-

12、1 B* |=(26設A, B是兩個n階矩陣，則()成立.A)如果A, B都可逆,則AB = BA. (B) 如果AB是非零數(shù)量矩陣，則AB = BA. 2 2 2(C)女口果 A * B= BA *,貝 y AB = BA .(D 如果 (AB) = Ab 貝 V AB = BA.27.設: =(-1,-1,2),-=(1,1,0),.-=2E+: , B =E+3 -、，則 AB- BA=.參考答案nn-11. 4丄.2.2 A.1 1 1r-.2003_.3. A = A=-1 -1 -11 1 1< J4 ,再-9 -9B5七曲 丁 =2 3 3<2 3 35. -135.

13、6. 5 -2 -2 AB= 4-.-2 2 I7. 3 -1 rX = 2 0 .1 -1 I& 1 1/2 0A= -1/2 1 0 .0 0 L1B=-3 1 3 2 .1 1 2 L111. ( B-E)- = -( .-+E)/2.12. 2.13.設1 fo 02 -1 0 ,11X B = B A,求 X 和 X .0 0 0 ,0<0 -114. ( A*) -=-4 二15. yw.) -二 m)/4.16. 設n階矩陣直滿足A =0, (k為一個自然數(shù)，證明E可逆，17. A不等于1和2.18. 已知n階矩陣證明二=.設A, B, C都是n階可逆矩陣，D= (

14、ABAC)J,證明BACD=CDAB .設A, B都是n階矩陣，AB+E可逆.證明 BA+E也可逆，并且(BA+E)=E _m(AB+E 廠A.A, B都是n階矩陣，并且 B和E AB都可逆，證明：m( e +Am)p 一-= e _m(E + ab 廠a .19.20.21.22. (C).23. (D).-iro i24. (B).25.26.27.0 11 -(B).-2 - 2 -2AB- BA=3( &郎 Q P2 4-2T TOKXP)=6 2 2 -2 .第四章向量組的線性關系與秩1.向量組的線性表示關系如果n維向量等于n維向量組:-1, :-2, : s的一個線性組合,

15、:-s線性表示.判別“ 一：是否可以用：-1, ：-2, : s線性表示？表示方式是否唯一？”就說：可以用M, ：-2,就是問：向量方程X1：1+X2：2+ +Xs：s=很1,?2,:s -為增廣矩陣的是否有解？解是否唯一？這個向量方程用分量寫出就是以 線性方程組.設：-1, ：2, : s和-1,-2,-t都是n維向量組，如果每個：i都可以用：'1, ：'2, :-s線性表示，則說向量組 二 L ,1可以用?1, ?2, :-s線性表示.反之,如果向量組'-1,'-2,:s)和:s的分例如，乘積矩陣AB的列向量組可以用A的列向量組線性組合,1可以用：-1, ：

16、-2, : s線性表示，則矩陣(M,2,1)等于矩陣(：-1, ：-2,一個s t矩陣C的乘積.C可以這樣構(gòu)造：它的第i個列向量就是 腎對1, ：-2, 解系數(shù).當向量組：-1, ：-2, : s和'-1,'-2,；互相都可以表示時就說它們互相 等價 并記作'1, 2,人1,'-2, i / .向量組的線性表示關系有傳遞性從而等價關系也有傳遞性2. 向量組的線性相關性線性相關性是描述向量組內(nèi)在關系的概念.定義 設>1,也，,:-s是n維向量組，如果存在不全為0的一組數(shù)C1,c 2,c s使得Cv；l+ C 2.:學+, + C s：£s=O,則說

17、：'1,：2, : s線性相關否則（即要使得CC'l+C2： 2+, + C s：s = O,必須C1,C2,Cs全為0）就說它們線性無關于是，a , ce, os "線性相關還是無關”即xiai+ X2G2+，+x sq（s=O "有還是沒有非0解”，也就是以（,，a , :s）為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無非0解一個向量（s=1）相關（無關）即它是（不是）零向量與線性相關性有關的性質(zhì)： ：'1,：2, : s線性相關 至少有一個，可以用其它向量線性表示 當向量的個數(shù)s大于維數(shù)n時，/,2, : s一定線性相關 線性無關向量組的每個部分組都無關（從

18、而每個向量就不是0）. 如果：-1,：-2, :s線性相關而：-1,：-2,s.|，線性相關則：可用：-1,：-2, :-s 線性表示 如果F可用?1, ：2, : s線性表示則表示方式唯一，2, : s線性無關 如果'-1,'-2,:可以用：-1, ：-2, : s線性表示，并且1>8,則d 2, '：t線性相關推論如果兩個線性無關的向量組互相等價，則它們包含的向量個數(shù)相等3. 向量組的極大無關組和秩秩是刻畫向量組相關“程度”的一個數(shù)量概念它表明向量組可以有多大的線性無關的部分組定義 設8,色,as是n維向量組，（1）是它的一個部分組.如果 （I）線性無關. （

19、I）在擴大就線性相關.就稱（I）為：-i, ：2, : s的一個極大無關組條件可換為：任何：-|都可用（I）線性表示也就是（I）與：-1,?2, : s等價當：'1,：2, :'s不全為零向量時.它就存在極大無關組.并且任意兩個極大無關組都等價從而包含的向量個數(shù)相等定義 如果M, ：2, : s不全為零向量 則把它的極大無關組中所包含向量的個數(shù)是一個正整數(shù)稱為：-1, ：2, :-s的秩記作r（ ：-1,：-2, : s ）.如果_<1,：2,7.s全是零向量則規(guī)定 r（ :-1,：2, : s）=0.秩有以下性質(zhì)： ：-1,：2, : s 線性無關 r（ ：-1, ：-

20、2, : s ） = s. 可用：-1,：2, : s 線性表示 r（ :-1, :-2, :-s， -）=r（ :-1, :-2, : s）.（見例 3.2） 如果 r（ :-1, ：2, : s ）=k,貝Ui）：1,：2, :-s的每個含有多于k個向量的部分組相關.ii）：1, ：2, :-s的每個含有k個向量的無關部分組一定是極大無關組. 如果：1,2,1可以用：'1, ：'2,，亠線性表示，則r（ -1,2,） r（ ：-1, ：-2, : s）.如果：'1, ?2,，上和-1,2,-t等價，則r（ ：m, ：-2, :s）=r（腎，'-2,1）.極大

21、無關組和秩的概念可以推廣到向量集合上（即包含的向量的個數(shù)不必有限），所有性質(zhì)仍然成立4. 有相同線性關系的向量組兩個向量數(shù)相同的向量組 ?1, ?2, : s和'-1,'-2, k稱為有相同線性關系，如果向量方程Xi ：l+ X 2 ； 2+X s：£s=O 和 Xl|.：l+ X 2'-2+Xs|.S = O同解(例如，當A經(jīng)過初等行變換化為B時，A的列向量組和B的列向量組有相同線性關系.)當：-1, ：2, : S和!:：'1, !： 2,-S有相同線性關系時，(1) 它們的秩相等(2) 它們的極大無關組相對應(3) 它們有相同的內(nèi)在線性表示關系5. 矩陣的秩定義 一個矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等，稱為此矩陣的秩，記作r( A).于是r( A)=0A=0.如果A是m n矩陣，則r( A)Minm,n,當?shù)忍柍闪r，稱A為滿秩的如果A是n階矩陣，則A滿秩，即r( A)=nA的行(列)向量組無關IA 0 A可逆AX=fW唯一解齊次方程組AX=0只有零解命題初等變換保持矩陣的秩，階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù),矩陣A的r階子式：任取A的r行和r列，在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式命題r( A)就是A的不等于0的子式的階數(shù)的最大值(即A的每個階數(shù)大于r( A)的子 式都為0,都是A有階數(shù)等于r(A)非0子式)在作矩陣