華宏MBA聯(lián)考輔導(dǎo)資料B

1、3. 乘積矩陣的列向量組和行向量組，設(shè)A是m n矩陣B是n s矩陣.A的列向量組為：-1,：-2, :n, B的列向量組為l -i,、,-s, AB的列向量組為1, 2, s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出： AB的每個(gè)列向量組為i=A：i,i=1,2,s.即 A( -1, -2, ：s)=(A：i,A2, A：s). '-=(bi,b 2,bn)T ,貝V Ap= blCtl+b2O(2+bnO(n.應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到：乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量i是A的列向量組為：-1,冷 ，：.n的線性組合，組合系數(shù)就 是B的第i個(gè)列向量林的各分量類似地，乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組

2、的線性組合，組合系數(shù)就是 A的 第i個(gè)行向量的各分量以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào)，但只要對(duì)矩陣乘法稍加分析就不難看出然而它們無論在理論上(有助于了解代數(shù)學(xué)中各部分內(nèi)容的聯(lián)系)和解題中都是很有用的請(qǐng)讀者注意例題中對(duì)它們的應(yīng)用下面是幾個(gè)簡(jiǎn)單推論用對(duì)角矩陣上從左側(cè)乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用上的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各行 向量；用對(duì)角矩陣上從右側(cè)乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用上的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各 列向量單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣數(shù)量矩陣kE乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用k乘此矩陣兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘求對(duì)角矩陣的方幕只需把對(duì)角線上的每個(gè)作同次方幕4. 矩陣方程和可逆矩陣(伴

3、隨矩陣)(1) 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運(yùn)算是解下面兩中基本形式的矩陣方程(I) AX=B.(II)XA=B.其中A必須是行列式不等于0的n階矩陣，這樣這兩個(gè)方程都是唯一解.當(dāng)B只有一列時(shí)，(1)就是一個(gè)線性方程組.由克萊姆法則知它是唯一解.設(shè)B有s列,B=( ：1,2,:s),則 X 也有 s 列，記X=(1,2,s)得到 Ai=：i,i=1,2,s,這些方程組都是唯一解，從而AX=B唯一解這些方程組系數(shù)矩陣都是 A可同時(shí)求解，即得(I) 的解法：將A和B并列作矩陣(A B),對(duì)它作初等行變換，使得 A邊為單位矩陣，此時(shí)B邊為解X(II) 的解法：對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式：axb

4、I再用解(I)的方法求出乂,轉(zhuǎn)置得x 矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往比較復(fù)雜 ，要用恒等變形簡(jiǎn)化為下上基本形式再求解(2) 可逆矩陣定義 設(shè)A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B,使得AB=E BA=E,則稱A為可逆矩陣 此時(shí)B是唯一的，稱為A的逆矩陣，通常記作A矩陣可逆性的判別： n階矩陣A可逆| A 0 n階矩陣A和B如果滿足AB=E,則A和B都可逆并且互為逆矩陣(即AB=EBA=EJ可逆矩陣有以下性質(zhì)：如果A可逆,則A1 也可逆,并且(A-1) -1=A| A-11=| A -1.A也可逆，并且(Ar)"1=(A"1)T.當(dāng)c 0時(shí)，c A也可逆,并且(c

5、A) 1=c1A-1. 對(duì)任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(£)-1 =(A-1)k.(規(guī)定可逆矩陣 A的負(fù)整數(shù)次方幕 A"k=(A() -1=(A-1)k. 如果A和B都可逆，則AB也可逆，并且(AB-'B1". 如果A可逆,則A在乘法中有消去律：AB=0B=0. BA=0B=0.AB=AC B=C BA=CA B=C. 如果A可逆,則A在乘法中可移動(dòng)(化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊 ):AB=CB=A"C BA=CB=CA.由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：(I) AX=B 的解 X=A-1 B ;(ll)XA=B 的解 X= BA-1.這種解法自

6、然好記，但是計(jì)算量必初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算).(3) 逆矩陣的計(jì)算和伴隨矩陣 逆矩陣的計(jì)算有兩種方法. 初等變換法：A-1是矩陣方程AX=E的解,于是對(duì)(A|E)用初等行變換把化為E則E化為A-1.伴隨矩陣法若A是n階矩陣，記A是| A的(i,j) 位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣為A*= A 12An A21A 22 A n2A n1=(Aj )T.A1n A2nAmn規(guī)定伴隨矩陣不要求 A可逆.但是在A可逆時(shí)，A*和A1有密切關(guān)系.基本公式：AA*= A*A=|AE于是對(duì)于可逆矩陣 A,有-1 亠 -1A = A*/| A|,或 A*=| A|A .因此可通過求 A*來計(jì)算

7、A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較，伴隨矩陣法的計(jì)算量要大得多，除非n=2, 一般不用它來求逆矩陣 對(duì)于2階矩陣a b “c d =-c因此當(dāng)ad-bca b 丫1c d-ca ,0時(shí),d -ba (ad-伴隨矩陣的其它性質(zhì)： 如果A是可逆矩陣，則 A*也可逆，并且(A*)-1= A/| A=(A)*. | A*|=| A|n-1. (at)*=(a*)t. (c A) * =c n-1 A*. (AB*= B*A*; (A)*= ( A*). (A*)*=| A|n-2 A.練習(xí)題二1. 設(shè)：=(1,2,3,4) T,匸(1,1/2,1/3/1/4) 【丄=:二 求丄n .

8、 彳 1/2 0、2設(shè) A=2 1 0 ，求J 1/2 0 1 0 0r 3設(shè) G=(1,o,1) T, P=(0,1,1) T, P= 1 1 0 ,A= P-1op TP,求 A2003.T 0 0 1 t I J4 設(shè)TIQ 2 0 A=0 1 1, B=AzPT 求 B5.O 0-L J5. 已知 3 階行列式 | :-, -, |=3，求 |3 : - -+2 ,-.:+ :+ ,2 : +5-7 |.6. 已知 A= 1 1 00 1 47. 已知f3,AB=A+ 2B,求 B.廠0 1 0 1卻,X=AX+B，求 X.-1&9.已知.-=-1 110. 已知 .-=101

9、1.設(shè)0 11,A*X=A2 1 ，求X 丿0 11 01 (A =0 -4,ABA=6A+A,求E.0-2 3<5三 =(t+E)-1(_-l-E),則(ME)-112. A是一個(gè)3階矩陣，3維向量組1,2 ,3線性無關(guān)，滿足A 1= 2+ 3, A 2= 1+ 3, A 3= 1+ 2 .求| A|.13.設(shè) 1<0 0A= 0 0 0 ,0<<0 -114.2 0 0設(shè)九=(1/2)( 1 : 0 2 5 B = 2 -1 0 ,1 <求（A*）11X B = B A,求 X 和 X .15.設(shè)n階矩陣丄滿足一 -：；T，證明丄可逆，并求和（上-1'

10、） -16. 設(shè)n階矩陣丄滿足k為一個(gè)自然數(shù)，證明；:一:可逆17. 設(shè)n階矩陣Z滿足I并且A不是數(shù)量矩陣.問a為什么數(shù)時(shí) A-aE可逆?18. 已知n階矩陣證明二i .19. 設(shè)A, B, C都是n階可逆矩陣，D= （ABAC）",證明BACD=CDAB .A=-1 10 -153 已知,(A- E)B = A,求 A. r 、20. 設(shè)A, B都是n階矩陣，AB+E可逆.證明 BA+E也可逆，并且(BA+E) -=E-3(AB+E 廠A.21. A, B都是n階矩陣，并且 B和E AB都可逆，證明：3( E +A2)己：-E三(E + AB 廠A .22. 設(shè)A三是兩個(gè)n階矩陣，

11、則( )是A三可交換的充分必要條件(A) (A+2)3= A3+3Ab +3甩2+蘭.(B) A與三2可交換(C) A+三與 A_2可交換.(D)(A22=A2h.23. 設(shè)A, B是兩個(gè)n階矩陣，滿足(AB)2=E則() 成立.A) AB=E(B) | A| B|=1.(C)AB =BA.(D ( BA) 2=E .).廠21 -3-5、3 9A= 1 1-25a3：=-3-2 6 ,-3 -2 696-17JA)36.(B)1/36.(C)-6.(D6.25.已知3階矩陣Z滿足：求二24. 設(shè) A, B 是兩個(gè) 3 階矩陣,| A-11=2,| B-1 |=3,則 | A* B-1- A-

12、1 B* |=(26設(shè)A, B是兩個(gè)n階矩陣，則()成立.A)如果A, B都可逆,則AB = BA. (B) 如果AB是非零數(shù)量矩陣，則AB = BA. 2 2 2(C)女口果 A * B= BA *,貝 y AB = BA .(D 如果 (AB) = Ab 貝 V AB = BA.27.設(shè): =(-1,-1,2),-=(1,1,0),.-=2E+: , B =E+3 -、，則 AB- BA=.參考答案nn-11. 4丄.2.2 A.1 1 1r-.2003_.3. A = A=-1 -1 -11 1 1< J4 ,再-9 -9B5七曲 丁 =2 3 3<2 3 35. -135.

13、6. 5 -2 -2 AB= 4-.-2 2 I7. 3 -1 rX = 2 0 .1 -1 I& 1 1/2 0A= -1/2 1 0 .0 0 L1B=-3 1 3 2 .1 1 2 L111. ( B-E)- = -( .-+E)/2.12. 2.13.設(shè)1 fo 02 -1 0 ,11X B = B A,求 X 和 X .0 0 0 ,0<0 -114. ( A*) -=-4 二15. yw.) -二 m)/4.16. 設(shè)n階矩陣直滿足A =0, (k為一個(gè)自然數(shù)，證明E可逆，17. A不等于1和2.18. 已知n階矩陣證明二=.設(shè)A, B, C都是n階可逆矩陣，D= (

14、ABAC)J,證明BACD=CDAB .設(shè)A, B都是n階矩陣，AB+E可逆.證明 BA+E也可逆，并且(BA+E)=E _m(AB+E 廠A.A, B都是n階矩陣，并且 B和E AB都可逆，證明：m( e +Am)p 一-= e _m(E + ab 廠a .19.20.21.22. (C).23. (D).-iro i24. (B).25.26.27.0 11 -(B).-2 - 2 -2AB- BA=3( &郎 Q P2 4-2T TOKXP)=6 2 2 -2 .第四章向量組的線性關(guān)系與秩1.向量組的線性表示關(guān)系如果n維向量等于n維向量組:-1, :-2, : s的一個(gè)線性組合,

15、:-s線性表示.判別“ 一：是否可以用：-1, ：-2, : s線性表示？表示方式是否唯一？”就說：可以用M, ：-2,就是問：向量方程X1：1+X2：2+ +Xs：s=很1,?2,:s -為增廣矩陣的是否有解？解是否唯一？這個(gè)向量方程用分量寫出就是以 線性方程組.設(shè)：-1, ：2, : s和-1,-2,-t都是n維向量組，如果每個(gè)：i都可以用：'1, ：'2, :-s線性表示，則說向量組 二 L ,1可以用?1, ?2, :-s線性表示.反之,如果向量組'-1,'-2,:s)和:s的分例如，乘積矩陣AB的列向量組可以用A的列向量組線性組合,1可以用：-1, ：

16、-2, : s線性表示，則矩陣(M,2,1)等于矩陣(：-1, ：-2,一個(gè)s t矩陣C的乘積.C可以這樣構(gòu)造：它的第i個(gè)列向量就是 腎對(duì)1, ：-2, 解系數(shù).當(dāng)向量組：-1, ：-2, : s和'-1,'-2,；互相都可以表示時(shí)就說它們互相 等價(jià) 并記作'1, 2,人1,'-2, i / .向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性從而等價(jià)關(guān)系也有傳遞性2. 向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念.定義 設(shè)>1,也，,:-s是n維向量組，如果存在不全為0的一組數(shù)C1,c 2,c s使得Cv；l+ C 2.:學(xué)+, + C s：£s=O,則說

17、：'1,：2, : s線性相關(guān)否則（即要使得CC'l+C2： 2+, + C s：s = O,必須C1,C2,Cs全為0）就說它們線性無關(guān)于是，a , ce, os "線性相關(guān)還是無關(guān)”即xiai+ X2G2+，+x sq（s=O "有還是沒有非0解”，也就是以（,，a , :s）為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無非0解一個(gè)向量（s=1）相關(guān)（無關(guān)）即它是（不是）零向量與線性相關(guān)性有關(guān)的性質(zhì)： ：'1,：2, : s線性相關(guān) 至少有一個(gè)，可以用其它向量線性表示 當(dāng)向量的個(gè)數(shù)s大于維數(shù)n時(shí)，/,2, : s一定線性相關(guān) 線性無關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無關(guān)（從

18、而每個(gè)向量就不是0）. 如果：-1,：-2, :s線性相關(guān)而：-1,：-2,s.|，線性相關(guān)則：可用：-1,：-2, :-s 線性表示 如果F可用?1, ：2, : s線性表示則表示方式唯一，2, : s線性無關(guān) 如果'-1,'-2,:可以用：-1, ：-2, : s線性表示，并且1>8,則d 2, '：t線性相關(guān)推論如果兩個(gè)線性無關(guān)的向量組互相等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等3. 向量組的極大無關(guān)組和秩秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”的一個(gè)數(shù)量概念它表明向量組可以有多大的線性無關(guān)的部分組定義 設(shè)8,色,as是n維向量組，（1）是它的一個(gè)部分組.如果 （I）線性無關(guān). （

19、I）在擴(kuò)大就線性相關(guān).就稱（I）為：-i, ：2, : s的一個(gè)極大無關(guān)組條件可換為：任何：-|都可用（I）線性表示也就是（I）與：-1,?2, : s等價(jià)當(dāng)：'1,：2, :'s不全為零向量時(shí).它就存在極大無關(guān)組.并且任意兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià)從而包含的向量個(gè)數(shù)相等定義 如果M, ：2, : s不全為零向量 則把它的極大無關(guān)組中所包含向量的個(gè)數(shù)是一個(gè)正整數(shù)稱為：-1, ：2, :-s的秩記作r（ ：-1,：-2, : s ）.如果_<1,：2,7.s全是零向量則規(guī)定 r（ :-1,：2, : s）=0.秩有以下性質(zhì)： ：-1,：2, : s 線性無關(guān) r（ ：-1, ：-

20、2, : s ） = s. 可用：-1,：2, : s 線性表示 r（ :-1, :-2, :-s， -）=r（ :-1, :-2, : s）.（見例 3.2） 如果 r（ :-1, ：2, : s ）=k,貝Ui）：1,：2, :-s的每個(gè)含有多于k個(gè)向量的部分組相關(guān).ii）：1, ：2, :-s的每個(gè)含有k個(gè)向量的無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組. 如果：1,2,1可以用：'1, ：'2,，亠線性表示，則r（ -1,2,） r（ ：-1, ：-2, : s）.如果：'1, ?2,，上和-1,2,-t等價(jià)，則r（ ：m, ：-2, :s）=r（腎，'-2,1）.極大

21、無關(guān)組和秩的概念可以推廣到向量集合上（即包含的向量的個(gè)數(shù)不必有限），所有性質(zhì)仍然成立4. 有相同線性關(guān)系的向量組兩個(gè)向量數(shù)相同的向量組 ?1, ?2, : s和'-1,'-2, k稱為有相同線性關(guān)系，如果向量方程Xi ：l+ X 2 ； 2+X s：£s=O 和 Xl|.：l+ X 2'-2+Xs|.S = O同解(例如，當(dāng)A經(jīng)過初等行變換化為B時(shí)，A的列向量組和B的列向量組有相同線性關(guān)系.)當(dāng)：-1, ：2, : S和!:：'1, !： 2,-S有相同線性關(guān)系時(shí)，(1) 它們的秩相等(2) 它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng)(3) 它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系5. 矩陣的秩定義 一個(gè)矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等，稱為此矩陣的秩，記作r( A).于是r( A)=0A=0.如果A是m n矩陣，則r( A)Minm,n,當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，稱A為滿秩的如果A是n階矩陣，則A滿秩，即r( A)=nA的行(列)向量組無關(guān)IA 0 A可逆AX=fW唯一解齊次方程組AX=0只有零解命題初等變換保持矩陣的秩，階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù),矩陣A的r階子式：任取A的r行和r列，在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式命題r( A)就是A的不等于0的子式的階數(shù)的最大值(即A的每個(gè)階數(shù)大于r( A)的子 式都為0,都是A有階數(shù)等于r(A)非0子式)在作矩陣