好好看看幾何模型

1、全等三角形相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型（一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過(guò)點(diǎn) G作GE丄射線AC10A、例題1、如圖，在 ABC 中，/ C=90 ° , AD 平分/ CAB , BC=6cm , BD=4cm，那么點(diǎn) D 到直線 AB 的距離是cm.A1Ur、R_* 、門(mén)-曲"jA.圭f / / Acztj /i /Cf耳2、如圖，已知，/3、如圖，在四邊形1 =Z 2, Z 3 =Z 4，求證：AP 平分/ BAC.ABCD 中，BC > AB , AD = CD , BD 平分/ ABC，求證：/ A +/ C = 180（二）角平分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A

2、、例題輔助線：延長(zhǎng) ED交射線0B于F輔助線：過(guò)點(diǎn)E作EF /射線0B例1、如圖，求證:BE如圖，在厶 ABC中，/ ABC = 3/ C , AD是/ BAC的平分線， BE丄AD于F .1_ (AC AB).2在厶 ABC中，/ BAC的角平分線 AD交BC于點(diǎn)D，且AB = AD，作CM丄AD交1_(AB AC).21-7、（三）角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全兩個(gè)圖形飛輔助線都是在射線AD的延長(zhǎng)線于M.求證：AMDON上取點(diǎn) B，使OB = OA，從而使厶 OAC OBC .IX工_Jl一 一*_D二=i F 一 _AtfIA、例題1、如圖，在 ABC 中，/ BAC=60 °

3、 ,Z C=40 ° , AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q，求證：AB + BP = BQ + AQ .2、如圖，在 ABC中，ADPB + PC與AB + AC的大小，3、在 ABC 中，AB > AC , 求證：AB - AC > PB - PC .是/ BAC的外角平分線， 并說(shuō)明理由.AD是/ BAC的平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較P是線段AD上任意一點(diǎn)（不與 A重合）.4、如圖， ABC 中，AB = AC，/ A = 100 ° ,Z B5、 如圖， ABC中，BC = AC, / C =

4、 90 ° ,Z A的平分線交的平分線交AC 于 D，求證：AD + BD = BC .BC 于 D，求證：AC + CD = AB .二、等腰直角三角形模型(一)旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點(diǎn)，在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等:操作過(guò)程：(1 )將厶ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 °，得厶ACM旦 ABD，從而推出 ADM為等腰直角三角形(2) 輔助線作法：過(guò)點(diǎn) C作MC丄BC ,使CM = BD，連結(jié)AM.(二) 旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等： 操作過(guò)程：連結(jié)AD.(1 )使 BF = AE (或 AF = CE )，導(dǎo)出 BDF 旦 ADE.(2)使/ EDF +Z BA

5、C = 180 °，導(dǎo)出 BDF 旦 ADE.1、如圖，在等腰直角 ABC中，/ BAC = 90。，點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動(dòng)，且/ MAN = 45 試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.2、 兩個(gè)全等的含有30 ° , 60 °角的直角三角板 ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在 一條直線上，連接 BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC.試判斷 EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.3、 已知，如圖所示，Rt ABC中，AB = AC，/ BAC = 90° , O為BC中點(diǎn)，若 M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN = CM.(1

6、) 試判斷 OMN的形狀，并證明你的結(jié)論(2) 當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)時(shí)，四邊形 AMON的面積如何變化？4、 在正方形 ABCD 中，BE = 3 , EF = 5 , DF = 4，求/ BAE +/ DCF 為多少度.（三）構(gòu)造等腰直角三角形（1 ）利用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略）； （2 ）利用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖:1、如圖，在等腰直角 ABC中，AC = BC,/ ACB = 90 ° , P為三角形 ABC內(nèi)部一點(diǎn)， 滿足 PB = PC , AP = AC，求證：/ BCP

7、= 15 ° .三、三垂直模型（弦圖模型）U VIM IU D ；A、例題已知：如圖所示，在ABC中，AB = AC，/ BAC = 90 ° , D為AC中點(diǎn)，AF丄BD于點(diǎn)E ,交BC于F，連接DF .變式1、已知：如圖所示，在ABC中，AB = AC , AM = CN , AF丄BM于E,交BC于F，連接 NF .求證：（1） / AMB =/ CNF ;（ 2） BM = AF + FN .變式2、在變式 1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,求證：(1) PM = PN ;( 2) PB = PF + AF .1 > ABE和厶ACF

8、均為等邊三角形四、手拉手模型結(jié)論：(1) ABF AEC .(2) Z BOE = Z BAE = 60 °.Z>(3) 0A平分Z EOF .(四點(diǎn)共圓證) 拓展： ABC和厶CDE均為等邊三角形結(jié)論：(1) AD = BE ;(2) Z ACB =Z AOB ;(3) PCQ為等邊三角形；(4) PQ / AE ;(5) AP = BQ ;(6) CO平分Z AOE ;(四點(diǎn)共圓證 )(7) OA = OB + OC ;(8) OE = OC + OD .(7) ,( 8)需構(gòu)造等邊三角形證明)例、如圖，點(diǎn) M為銳角三角形 ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM .以AB為

9、一邊向外作等邊三角形厶ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60。得到BN，連接EN .(1)求證： AMB ENB ;(2)若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn) M ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn).若點(diǎn) M ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)Z AMB、/ BMC、/ CMA的度數(shù)；(3 )小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖，分別以厶ABC的AB、AC為一邊向外作等邊 ABE和等邊 ACF，連接 CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為 M，則點(diǎn) M 即為 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn).試說(shuō)明這種作法的依據(jù).2、 ABD和厶ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：(1) BE = CD ;( 2) BE 丄 CD .(1 ) BD =

10、CF ;( 2) BD 丄 CF .3、四邊形 ABEF和四邊形 ACHD均為正方形。結(jié)論: 變式1、四邊形ABEF和四邊形 ACHD均為正方形， AS丄BC交FD于T,求 證：（1） T 為 FD 中點(diǎn)；（2） SABC S ADF .T為FD中點(diǎn)，TA交BC于S，求變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，證：AS丄BC .4、如圖，以 ABC的邊AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有:360°-180 14 ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明五、半角模型條件:嘩=-1P,且+ =180，廻兩邊相等.2思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：延長(zhǎng) CD到E，使ED=BM，連AE或延長(zhǎng)CB

11、到F，使FB=DN，連AFF、B、M三點(diǎn)共將 ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °得厶ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證線結(jié)論：（1） MN = BM + DN ; （ 2） C cmn =2 AB ； （ 3） AM、AN 分別平分/ BMN、/ MND .2、翻折（對(duì)稱）輔助線：作 AP丄MN交MN于點(diǎn)P將 ADN、A、例題例1、在正方形 ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿足 MN = BM + DN，求 證：(1) Z MAN = 45 ° ;(2) C|CMN =2AB ；(3) AM、AN 分別平分Z BMN 和Z DNM .N分別在邊CB、MAN = 45 ° ,若 M、O變式：在正方形 ABCD中，已知ZAH丄MN，垂足為H,(1) 試探究線段MN、BM、(2) 求證：AB =例2、