微積分基本定理與應用

1、§3.4定積分與微積分基本定理一、明確復習目標i. 直觀了解微積分基本定理的含義.2 .會求簡單的定積分.3. 會用定積分的知識解決一些簡單的應用問題.二. 建構知識網(wǎng)絡1. 定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a = Xq ： % ：:：:：Xi：備：:：Xn = b將區(qū)間a,b等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間l.xiJL,xi 1 上任取一點(i=1,2,，n)作和式當n時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做b函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作，在f(x)dx中，和分別叫做積分下限和積分上限， 叫做被積函數(shù)，叫做積分變量， 叫做被積式.2. 定積分的性

2、質b(L) k f (x)dx =(為常數(shù))；? ab(2) .afi(x)f2(x)dx 二；b(3) f (x)dx =(其中 a ： c ： b). a3 .微積分基本定理*b一般地，如果f (x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且 F (x) = f(x)，那么 f(x)dx =a ，這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓一一萊布尼茲公式，可b以把 F(b) -F(a)記作，即 f(x)dx =.a0.4. 通過定積分的運算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是(1) 當對應的曲邊梯形位于軸上方時，定積分的值取正值，且等于(2) 當對應的曲邊梯形位于軸下方時，定積分的值取負

3、值，且等于(3) 當位于軸上方的曲邊梯形的面積等于當位于軸下方的曲邊梯形的面積時，定積分的值為定積分的值等于位于軸上方的曲邊梯形的面積 位于軸下方的曲邊梯形的面積.4. 定積分求曲邊梯形面積如右圖所示，由三條直線：x =a, x = b a . b , x軸及一條曲線y二f x f x > 0圍成的曲邊梯形的面積為 S二若在區(qū)間l.a,b上，f x < 0,則S =若在區(qū)間l.a,c 1上，f x > 0 ,在區(qū)間l.c,b 1上，f x < 0,則S二5. 勻變速運動的路程公式：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)v=v(t) v(t) > 0在時間

4、區(qū)間l-a,b 上的定積分，即6. 變力作功公式：一物體在變力 F x (單位：N)的作用下作直線運動，如果物體沿著F x與相同的方向從x =a移動x = b a : b (單位：m )，則力所做的功為 W =三、雙基題目練練手1 1 101dxD. 02dx1下列值等于1的積分是()1 1A. xdx B. I I：x 1 dx C.* 0*0fn2. 2二 sinx cosx dx 的值 (2兀B.C. 2D. 424A.B. 1C.-D. 233.2 14 In xdx =( )1 xA 】ln22B ln .2Cln2223如圖，直線y =1與拋物線y =x2相交，則陰影部分面積為（）

5、D a的值為a1口(2x )dx = 3 In2，且 a> 1,1 xB. 4C - g2B.已知自由落體運動的速率 v = gt，則落體運動從t = 0到t = to所走的路程為 A 血3x0 F' t dt -四、經(jīng)典例題做一做【例2 21】(1)1 (x2 2x 1)dx(2)o(sin x-cosx)dx【例2 o 1（3）（xx2 ）dx1x2】求兩曲線y2 =x和y =X2所圍成圖形的面積.0(4)(cosx ex)dx* -it【例3】一物體在做變速直線運動，其V -1曲線如圖所示，求該1物體在一s間的運動路程.232D(JT1 -S_L)1111A7B1111o1

6、36;(s)【例4】如圖，陰影部分的面積是B. 9-2.335D.332C.3293【例5】拋物線：y=x -2ax a 0 ,若過原點的直線I與拋物線所圍成的圖形面積為 -a , 求直線l的方程.五.提煉總結以為師1用定積分的定義求定積分的一般步驟：分割、近似代替、求和、取極限要借助于求曲邊梯 形的面積和求變速直線運動的路程去體會定積分的基本思想.2. 用微積分基本定理求定積分：關鍵是找到F，x二f x滿足的函數(shù)F x，即找被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導運算與求原函數(shù)運算互為逆運算，運用基本初等函數(shù)求導公式和四則運算法則從反方向上求出F x .3 .利用微積分基本定理求定積分，有時需先化簡，再積

7、分.4.在利用定積分求平面圖形的面積時,般要先畫出它的草圖,再借助圖形的直觀地確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限.5 .要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩個概念區(qū)分開,定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當絕對值處理為正，一般情況下是借助定積分求出兩個曲邊梯形的面積，然后相加起來，例如:當函數(shù)f x在區(qū)間l.a,b上恒為正時，定積分 b f (x)dx的幾何意義是以曲線 f x為曲邊梯 ab形的面積，一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于軸、函數(shù)* af x的圖象以及之間各部分面積的代數(shù)和,軸下方和面積取負號.6 .體會定積分的

8、化歸和逼近的思想方法.在軸上方的面積取正號,同步練習1.下列有定義的定積分為()1dx4xB.2 1 dx2 cosx4 dx0(x-2)2D . In xdx02. (2007 年山東濰坊) ° sin xdx 二()A . 0B .C .D .3.設 a>0,a 1,若亠 2 x ._ xf0a dx = -2a20，貝V a等于()A .B .1C . e于1D . e26 64. (2007年廣東潮州)已知 f(x)為偶函數(shù)且 o f(x)dx=8，則.上f(x)dx二()A . 0B. 4C. 8D. 165. 4 exdx的值等于()£ 24_242424

9、_2A. e-e B . e e C . e e -2D . e e - 26. (2007年廣東汕頭)2 2o (4 -2x)(4 -3x2)dx 二7.使F(x)=xn_1成立的所有F(x)可以表示為F(x)= 8. (2006年山東濰坊)汽車從 A處起以速度v(t)二v0 -at(m/s)(其中v0,a均為正的常數(shù))開始減速度行駛，至 B點停止，則A、B之間的距離s =(m).9.由y=x3及y=2x圍成平面圖形的面積，若選為積分變量，利用定積分應表達為；若選為積 分變量，利用定積分應表達為10 .求下列定積分的值.(1) 2|x2 -1| dx ； (2)l.9-x2dx ;5J011

10、1. 已知 f(a) (2ax2-a2x)dx，求 f (a)的最大值.212. 一質點在直線上從時刻t =0(s)開始以速度v=t -4t 3(m/s)運動.求(1 )在t =4s的位置；(2) 在t =4s內運動的路程.§ 3.3定積分自主學習匕基礎自測1. 當n無限趨近于 k時，丄(sin二+sin +, +sin (n1)一：)寫成定積分的形式，可記為n nnn答案 1 sin xdx512.1d x=.答案13. 由曲線y=ex,x=0,y=2所圍成的曲邊梯形的面積為(用定積分表示)答案 ln ydy 或(2-e x)d x4. 已知f (x)為偶函數(shù)且f (x) dx=8

11、，則f (x) dx=.答案165. 已知-1 w a w 1, f (a) = (2ax2- a2x) dx，求 f (a)的值域.解 f (a)=(2 ax2- a2x)dx+ 2a=-1(a-£)2+£一 一 9(a)故f (a)的值域為例1計算下列定積分(1) x(x+1)dx;典例剖析(2) (e2x+l)dx;x2(3) sin xdx.解(1 )v x (x + 1)=x2+x 且(x3) ' =x2,( x2)' =x22/ x(x+1)dx=(x +x)dx21312143=x dx+xdx= x |+ x | 2=(-X 23-0)+(

12、- X 22-0)=32/ (in x)'(e 2x)'x=e2x (2x) ' =2e2x,得 e2x=( 1 e2)'2所以(e2x+1 )d x=e2xdx+1 dx=1 e2x|+ln x| xx 2=e4- 1e2+ln2-ln1= 1e4- 1e2+ln2.2 2 2 2(3)由(sin2 x) ' =cos2x (2x) ' =2cos2x,得1cos2x= ( sin2 x)',2所以 sin 2xdx= ( 1- cos2x) dx2 21 1= dx- cos2xdx2 2111=丄 x|- (丄 sin2 x) |2

13、 2 2=c -0 ) - 1 ( - sin2 -1 sin0 )=二.2 2 2 2 2例2計算下列定積分(1) |sin x|dx;(2)| x2-1|d x.解(1) v( -cos x) ' =sin x,/ |sin x|d x=|sin x|d x+|sin x|d x=sin xdx-sin xdx=-cosx|+cos x|=-(cos-cosO ) + (cos2-cos ) =4.廠2/c、 cc 十冃 I 2x 1(1 <X 蘭2)(2) v 0< x< 2,于是 | x2-1|=丿 ')1 _x2(0 Ex <1)2 2 2/.

14、 | x-1|d x=(1- x)dx+(x -1)d x =x x3 |+ ( 1 x3-x) |.3 3=(1-丄)+ ( 1 X 23-2 )-(丄-1 ) =2.x32 xx3例3求函數(shù)f (x)=x 0,1x E(1,2在區(qū)間0, 3上的積分x (2,3解由積分性質知f (x)d x=f (x)dx+f (x)dx+f (x)d x=x3dx+x2dx +2* dx4x=I+ 1 x3|+ |4 3 In 21丄81丄84= + + -.433 ln 2 ln 2431= + .In 212例 4 (14 分)求定積分.16 6x -x2 dx.解設 y= ,16 6x _x2 ,即

15、(x-3)2+y2=25 ( y > 0).5 分16 6x -x2 dx表示以5為半徑的圓的四分之一面積.10分4.16 6x -x2dx=44知能遷移1. 求(cos x+ex)d x.解(cos x+ex)d x=cosxdx+exdx=sin x|+ex|=1-1 .eH2. 求(| x-1|+| x-3| ) dx.-2x 4(x 乞 1)解設 y=|x-1|+| x-3|=2(1 ：x : 3)2x 4(x _3)(I x-1|+| x-3|)d x=(-2 x+4)dx+2dx+(2x-4)d x2 2=(-x +4x)|+2 x|+( x -4x)| =-1+4+6-2+

16、16-16-9+12=10.2(x 北)(0 蘭x <1)3. 已知函數(shù):f (x)=, x(1 乞x：:2)C-2)xJ(2_x_3)求 f (x)d x.解 f (x)d x=2(x+1)-1 dx +dx+() x-1dx=2ln( x+1)|+ - /|+3In(2=2ln2+ 2 (2-1)+ 1(2_.2).3In 124. ( ： 1 _(x -1)2 -x)dx=.答案二-2活頁作業(yè)、填空題1. 定積分 1 二cosx dx=.答案6x=a, x=b所圍成的平面區(qū)域的2. 若y=f(x)與y=g(x)是a, b上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線 面積為(用定積分表

17、示).答案 | f(x)- g(x)|d x3. 定積分(32x+3)dx=.答案2 In 324. 設函數(shù) f (x)= / 也,。蘭x則 f( %)dx=.3 _x,1 <x <2,答案1765. 定積分 2(x3+5x5)dx=.答案06. 根據(jù)sin xdx=0推斷，直線x=0，x=2，y=0和正弦曲線y=sin x所圍成的曲邊梯形的面積時，曲邊梯形在x軸上方的面積在x軸下方的面積.(用“大于”，“小于”，“等于”填空)答案等于7. 若 f (x)d x=1, f(x)dx=-1,則 f (x)d x=.答案-28. 定積分 x dx的值是.1 +x一1乞x乞00 : x

18、：:12/ f (x)dx=x dx+1dx答案-In22二、解答題9. 求下列定積分的值9 -x2 dx;f2 _已知f ( x)= <x一1蘭X蘭0，求f( x)d X的值.1 0 ex £1解(1)9 -x2 dx表示以y= . 9 -x2與x=0, x=3所圍成圖形的面積，而 y='. 9-x2與x=0,x=3圍成的圖形為圓x2+y2=9在第一象限內的部分，因此所求的面積為-.4=1 x3|+x|= 1 +1 = 4 .33310. 已知 f (x) =ax2+bx+c，且 f (-1 ) =2, f'( 0) =0, f (x) dx=-2，求 a、b

19、、c 的值.解由 f (-1 ) =2,得 a- b+c=2，又 f ' (x)=2ax+b,由 f ' (0)=0 得 b=0,2f (x)d x=(ax +bx+c)dx,13 b 2,.=( ax + x +cx)|32= la+1b+c.32即 1a+1b+c=-2，32由得：a=6, b=0, c=-4.11. 已知 f( a)=(2 ax2- a2x)dx,求 f (a)的最大值.解(2ax2- a2x)dx=( ax3- a2x2)|= a - 1a23232即 f (a)= a- 1 a2=-丄(a2- 4 a+4) + 322399-1 (a-2)所以當a=&

20、#163;時，f(a)有最大值.3912. (2009 青島模擬)對于函數(shù) f(x)=bx3+ax2-3x.22sin t cost -2cos t+,P的軌跡所圍成的圖(1 )若f(x)在x=1和x=3處取得極值，且f(x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超過試求實數(shù)t的取值范圍；(2)若f(x)為實數(shù)集R上的單調函數(shù)，且 b>-1,設點P的坐標為(a, b)，試求出點 形的面積S.解(1 )由 f ( x)=bx3+ax2-3x,則 f ' (x)=3bx2+2ax-3,/f (x)在x=1和x=3處取得極值，x=1和x=3是f' ( x)=0的兩個根且 b工0.丄-2

21、a1七二a =23b-3b =1X3 -l.3b f ' (x)=- x2+4x-3.1.3T f (x)的圖象上每一點的切線的斜率不超過22sin t cost -2cos t +,/ f ' (x) < 2sin tcost-2cos 2t + 對 x R恒成立, 而f ' (x)=-( x-2) 2+1,其最大值為1.故 2sin t cost -2cos 2t +> 12sin(2 t-二)> 12k+二 <2t-匸 <2k+?, k Z3636k+二 < t < k+ 匕，k 乙412(2)當b=0時，由f(x)在R上

22、單調，知a=0.當b半0時，由f(x)在R上單調f' (x) >0恒成立，或者f' (x) < 0恒成立./f ' (x)=3 bx2+2ax-3,2 1 2- =4a +36b w 0 可得 bw - a .9從而知滿足條件的點 P （a, b）在直角坐標平面aOb上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲線b=-丄a2與直線b=-19所圍成的封閉圖形，1 ,其面積為 S=( 1- - a )d a=4.9§ 3.4定積分的簡單應用j*自主學習 1%由基礎自測x=0, x=, y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為答案 # cosxdx+| 耳 cosxdx|

23、22. 一物體沿直線以v=3t +2 （ t單位：s, v單位：m/s）的速度運動，則該物體在3 s 6 s間的運動路程為 m.答案46.53. 用力把彈簧從平衡位置拉長10 cm,此時用的力是200 N，變力F做的功W為J.答案104.曲線y=cosx （ 0 w x w ）與坐標軸所圍成的面積是2答案35.有一質量非均勻分布的細棒，已知其線密度為（ x） =x3 （取細棒的一端為原點，所在直線為x軸），棒長為1，則棒的質量M為.答案14例1求拋物線y2=2x與直線面圖形的面積.典例剖析y=4- x圍成的平解由方程組汀2 =2x解出拋物線和直線的交點為（2，2）及（8,-4）.方法一選x作為

24、積分變量，由圖可看出S=A+A2在A部分：由于拋物線的上半支方程為y =、2x ,下半支方程為y=-x，所以iS= : . 2x-(- y 2x ) dx=2x 2 dx3=2 2x2|=16,33S= :4- x-(-, 2x) dx=(4 x-丄 x2+ 2、2 x 2 )|= 38 ,233于是：S=16 +2® =18.33方法二選y作積分變量,2將曲線方程寫為x=及x=4-y.22S= (4-y) - d y=(4y-2=30-12=18.解拋物線y=x-x2與x軸兩交點的橫坐標xi=0,X2=1,所以拋物線與x軸所圍圖形的面積例2 （14分）如圖所示，直線y=kx分拋物線

25、y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.23S=（x-x2）dx=（ x ）|2 33=6.6 分=丄2拋物線y=x-x2與y=kx兩交點的橫坐標為Xi' =0,X2 =1-k,9 分所以 S = (x-x2-kx) dx2=-(1- k) ,12 分6又知S=,所以(1- k)=丄6 2于是七“沙分1 min內所行駛的路程例3 一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示，求此汽車在這解由速度一時間曲線易知，3tto,io)v( t)=J30t 可10,40)_1.5t90t 三40,60由變速直線運動的路程公式可得s=3t dt +30dt +(-1.5 t +90)dt= 2

26、t2|+30t |+( - 2t 2+90t)|2 4=1 350 (m).答此汽車在這1 min內所行駛的路程是1 350 m.知能遷移1. 求拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍成的平面圖形的面積S.2 _解方法一由"=x得拋物線與直線的交點為 P( 1，-1)，Q( 9, 3)(如圖)x 2 y 3 =0 S= : -(-) dx+(- 土弓)d x2=2dx+(- - +-)dx2 2、.x3 |+蘭+乙|=電+28=絲.42333方法二若選取積分變量為y，則兩個函數(shù)分別為 x=y2, x=2y+3.由方法一知上限為 3,下限為-1.S=(2 y+3- y2) dy= (

27、y2+3y- 1 y3)|31 32=(9+9-9)-(1-3+1 )= 32 .3 32. 如圖所示，陰影部分的面積是y=2xf -尸3-*答案3233. 一物體按規(guī)律x=bt3做直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力與速度的平方成正比，試求物 體由x=0運動到x=a時，阻力做的功.解物體的速度 v=x ' (t)=(bt3) ' =3bt2,媒質阻力f E=kv2=k (3bt2) 2=9kb2t4.(其中k為比例常數(shù)，k>0)當 x=0 時，t=0，當 x=a 時，t =t 1 =1阻力做的功是：2W阻 =f 阻 dx=kv vdt =kv3dt =k (

28、3bt2) 3dt=號吩尹血=汁2. 口 活頁作業(yè)一 = 一、填空題1.如圖所示，陰影部分面積為答案:g(x)-f(x) dx+ :f(x)-g(x) dx 2j 2. 設 f (x) = / ,x0,1,則 f( x)dx=.2 -x,x 迂(1,2,答案563. 設 f (x)=sin t dt,則 f (f (丄)=.2答案1-C0S1r4. 一物體在力F(x)=°(0蘭x蘭2)(單位：N)的作用下沿與力f相同的方向，從x=0處運動到x=4?x+4(x>2)(單位：m)處，則力F (x)做的功為J.答案465. 一物體在變力F(x)=5- x2(力單位：N,位移單位:m)

29、作用下，沿與F( x)成30°方向作直線運動，則由x=1運動到 x=2時F(x)做的功為J.答案6. 函數(shù)F(x)=t(t-4)d t在-1,5 上的最大值為，最小值為答案0- 3237. 汽車以v=3t+2 (單位：m/s)作變速直線運動時，在第1 s至第2 s間的1 s內經(jīng)過的路程是 m.答案6.58. 若f (x)是一次函數(shù)，且f (x)d x=5, xf (x)dx= H ,那么函數(shù)f (x)的解析式是.6答案 f (x)=4x+3二、解答題9. 證明：把質量為 m (單位：kg)的物體從地球的表面升高h(單位：m)處所做的功V=G- Mmh ，其中G是k(k+h)地球引力常

30、數(shù)，M是地球的質量，k是地球的半徑.證明根扌居萬有引力定律：知道對于兩個距離為，質量分別為m、m的質點，它們之間的引力為(r8罩2， 其中G為引力常數(shù).則當質量為m的物體距地面高度為 x(0 < x< h)時，地心對它的引力f (x) =G- Mm(k+x)2故該物體從地面升到 h高處所做的功為W (x) dx=G.皿需 dx (k x)2=GM _1d ( k+x)(k x)2=GMm_ |(kh丿=GMm L 1I k +h k 丿=G， Mmhk(k +h)10. 設函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx在點x=1處有極值-2.(1) 求常數(shù)a, b的值；(2) 求曲線y=f (x)與x軸所圍成的圖形的面積解(1 )由題意知 f' (x)=3 x2+2ax+b,f(1)=-2 且 f' (1)=0,f1 +a b = 2即/丄丄 ，解得a=0, b=-3,3 +2a